Wykład 1.

Celem naszych spotkań jest zapoznanie słuchaczy z podstawami niezbędnymi do wysłuchania wykładu mechaniki kwantowej i termodynamiki. Nasz cel można przedstawić obrazowo. Porównam matematykę do samochodu:
1. do jego prowadzenia potrzebne jest prawo jazdy, jego posiadacz ma wiedzieć do czego służy kierownica i jakie są podstawowe funkcje różnych dźwigni i przycisków, ma znać przepisy ruchu. W matematyce odpowiada to znajomości tabliczki mnożenia, której wyrafinowaną formą jest umiejętność prawidłowego wypełnienia PITu.
2. Doświadczony kierowca dodatkowo zna się na budowie samochodu, potrafi rozpoznać problem i powiedzieć mechanikowi w warsztacie co ma zrobić. Potrafi też przeprowadzi drobne naprawy. Rozumie swój wóz.
3. Mechanik samochodowy zna działanie mechanizmów i wie co jak jest zbudowane.
4. Konstruktor zna ze szczegółami tajniki budowy i potrafi skonstruować nowy pojazd.
Studenci matematyki są kształceni do poziomu 4. Nasz cel to osięgnięcie poziomu 2 zrozumienie postaw mech. kwant. tak by móc pogadać z fachowcem a idealnie by było osiągnąć poziom czeladnika i majstra z (poz. 3.)

Będę opowiadał o matematyce, więcej i szerzej niż na wykładzie A, ale egzamin nie będzie trudniejszy Państwo mają przede wszystkim zrozumieć o co chodzi w wykładzie Nie będziemy zbyt głęboko wchodzić w szczegóły, dowody będą szkicowane lub pomijane, w całości przeprowadzane tylko te najbardziej typowe Państwa mają się nauczyć operowania pojęciami w praktyce (tj. liczyć).

Zwykle 1. wykład uniwersytecki matematyki zaczyna się od stwierdzenie, że od słuchaczy nie jest wymagana żadna wiedza. Jest to oczywiście przesada, bo bagaż doświadczeń jest bardzo pomocny. Ale kryje się w tym stwierdzeniu ziarno prawdy: mianowicie musimy zacząć od uzgodnienia języka. Językiem matematyki jest aksjomatyczna teoria mnogości ze swym zespołem pewników i pojęć pierwotnych. Pojęcia pierowtne to pojęcia niezdefiniowane uznane na znane. Pewniki to twierdzenia uznane za prawdziwe bez dowodu. Nie jest naszym celem poprawne konstruowanie tej teorii, bo jest staranny wykład zwieńczony staranna definicją liczby rzeczywistej trwałby pół roku, co nie wchodzi w grę.

Tym nie mniej musimy nieco liznąć teorii zbiorów Zakładam, że wszyscy wiedzą co to są zbiory (jest to właśnie owo nie definiowane pojęcie pierwotne). Zbiór A można zdefiniować wyliczając jego elementy, np. A={a,b,c}, jednak na ogół jest to niewykonalne jak w przypadku zbioru liczb rzeczywistych R, zespolonych C --- będą to nasze główne obiekty zainteresowania. Będziemy pisać x w A (x jest elementem A lub x należy do A). Uniwersalnym przykładem jest zbiór pusty Ó, który nie zawiera żadnego elementu (tj. jest prawdziwe zdanie: dla każdego x, nieprawdą jest, że x należy do Ó), inny przykład Ó w {Ó}

Działania na zbiorach

Mając dwa zbiory A i B możemy utworzyć ich sumę A v B.
Def. 1. Powiemy, że x należy do A v B wtedy i tylko wtedy (wtw, <=>) gdy x w A lub x w B.

Def. 2. Iloczynem (przecięciem) zbiorów A i B jest zbiór A/\B określony następująco: x w A/\B wtw x należy do A i x należy do B.

Przykład: A liczby parzyste, B liczby nieparzyste Wtedy A/\B = Ó i A v B = zbiór liczb całkowitych

Def 3. Różnicę zbiorów A i B określamy następująco: x w A\B <=> x należy do A i x nie należy do B.

Przykłady. Jeśli B to zbiór liczb dodatnich liczb rzeczywistych, to R \B to zbiór rzeczywistych liczb rzeczywistych

(A\B)/\B = Ó

Ważnym pojęciem jest pojęcie podzbioru i zawierania się zbiorów.
Def. Powiemy, że A jest podzbiorem B (piszemy A c B) lub A zawiera się w B, wtw, jeśli x w A, to x w B.

Oczywiście, dla każdego zbioru A,

A c A,

Ó c A

Zauważmy, że
Stw. Jeśli A c B i B c A, to A=B. D. Z zał. jeśli x w A, to x w B dodatkowo, jeśli x w B, to x w A, tj. x w A wtw x w B.

Możemy następująco określać podzbiory B={x w A: x ma właściwość Fi}
Przykład R^+={x w R: x jest liczbą dodatnią }

Inną ważną operacją jest iloczyn kartezjański (lub po prostu produkt) A x B zbiorów A i B. Do jego definicji jest potrzebne pojęcie pary uporządkowanej Jest to intuicyjnie jasne (a,b): pierwszym elementem pary jest a , drugim b. Ściśle rzecz ujmując

(a,b):={{a},{a,b}}

Można wykazać że

(a,b)= (c,d) wtedy i tylko wtedy gdy a= c, i b=d. (ćwiczenia).

Teraz definiujemy A x B następująco:

A x B jest zbiorem par uporządkowanych (a,b) takich, że a w A i b w B.

Jeśli A=B to zamiast A x A piszemy A^2. Możemy kartezjańsko mnożyć większa ilość zbiorów pisząc

A1 x A2 x A3 x .... An

jest to zbiór n+tek uporządkowanych, definicja (a,b,c):=((a,b),c) itp.

Przykłady: R2 = R x R ,to płaszczyzna Euklidesowa, jej elementy (a,b), to punkty płaszczyzny
R3 = R x R xR, to przestrzeń Euklidesowa, jej elementy (a,b,c), to punkty

Relacje i funkcje

Pojęcie funkcji jest intuicyjnie dobrze znane: powiedzmy, że każdemu elementowi x zbioru X umiemy przypisać element f(x) należący do Y, (piszemy czasem x ---> f(x)). W niedalekiej przyszłości będziemy przeprowadzać operacje na funkcjach, tworzyć zbiory funkcji chcielibyśmy więc mieć jasność co do natury tego obiektu (więcej: mechanikę kwantową uprawia się w zbiorach, których elementami są funkcje właśnie!). Zaczniemy od definicji relacji R.
Def 4. Niech będą dane dwa zbiory A i B. Relacją R nazywamy dowolny podzbiór A x B. Jeśli A=B, to mamy relację R w A, piszemy xRy, czytamy x jest w relacji z y.

Przykład. R={(x,y) w R2: x jest mniejsze od y}, jest to relacja mniejszości. Zamiast xRy piszemy x

Def 5. Powiemy, że relacja R w A jest:
(a) zwrotna wtw jeśli x w A, to xRx
(b) symetryczna, wtw jeśli xRy, to yRx
(c) przechodnia, wtw jeśli xRy i yRz pociąga xRz.

Przykłady:
Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych. Relację R w A definiujemy następująco: xRy wtw x dzieli y. Wtedy R jest zwrotna, przechodnia, ale nie symetryczna.
Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych. Relację Rp w A definiujemy następująco: xRpy wtw x-y jest podzielne przez p, gdzie p jest liczbą pierwszą. Rp jest relacją równoważności

Relacje równoważności mają ciekawą właściwość: Oznaczmy przez [x] zbiór tych y z X, że xRy, tj.

[x] = { y w X: xRy}

Stwierdzenie
Niech R będzie relacją równoważności, wtedy dla dowolnych x y należących do X mamy: albo [x] = [y] albo [x ] /\ [y] =Ó

D. Mamy dwie możliwości, albo przecięcie [x ] /\ [y] jest puste i wtedy nie mamy nic do roboty, albo nie. Załóżmy więc , że z jest elementem [x ] /\ [y]. wtedy zRx a także zRy. Z przechodniości relacji równoważności R wynika, że xRy, tj. x jest elementem [y] . Wynika, że [x] zawiera się w [y] . Podobnie argumentujemy, że [y] zawiera się w [x]. Zatem [y] = [x]. Co kończy dowód.

Wynika stąd prosty wniosek, że relacja równoważności w X wprowadza rozbicie X na rodzinę rozłącznych zbiorów, które w sumie dadzą X. Mamy mianowicie

X = suma po x należących do x [x]

Zbiór [y] nazywa się klasą równoważności elementu y (klasą abstrakcji y). Zbiór klas abstrakcji oznaczamy następująco:

X/R

Przykład (ważny) Jeśli X to zbiór liczb naturalnych, to X/R oznacza się Z_p. Uwaga: można w nim w naturalny sposób wprowadzić działania arytmetyczne

Z drugiej strony przypuśćmy , że mamy rozbicie zbioru X :

X= suma Ai

gdzie sumowanie przebiega po zbiorze wskaźników I. Wtedy takie rozbicie definiuje nam relację ro:

x ro y wtw istnieje wskaźnik i, taki że x i y należą do Ai.

Łatwo sprawdzić , że jest to rel. rów. (ćw)

Relacje równoważności są b. często spotykane. Zetkniemy się z nimi ponownie wkrótce.