next up previous
Next: About this document ...

Wykład 5 dn.24.10.2000
Zacznijmy od definicji, niech ${\bf C}={\bf R}\times{\bf R}$

Def. 1 Ciałem liczb zespolonych nazywamy $({\bf C}, +, (0,0), \cdot, (1,0))$z następującymi działaniami

(a,b) +(a', b')=(a+a',b+b'),


\begin{displaymath}(a,b) \cdot (a', b')=(aa'-bb', ab'+a'b).
\end{displaymath}

Trzeba sprawdzić, ze są spełnione aksjomaty ciała przemiennego. Jest to łatwe, sprawdzimy tylko istnienie elementu odwrotnego dla dowolnego $z=(a,b)\neq 0$. Kładziemy,

z-1=(a,b)-1=(a/(a2+b2), -b/(a2+b2)),

pozostawiając czytelnikowi sprawdzenie, ze $z \cdot z^{-1}=1$.

Wprowadzmy bardziej znaną notację, będziemy pisaćć i=(0,1) i będziemy utozsamiać liczby rzeczywiste z liczbami zespolonymi postaci (a,0). Od tej pory będziemy pisać a+bi zamiast (a,b). Zauwazmy teraz, ze

\begin{displaymath}i^2 = (0,1)\cdot (0,1) = (-1,0) =-1.
\end{displaymath}

Wprowadzamy nowe operacje, gdzie z=a+bi:

\begin{displaymath}\bar z:=a-bi
\end{displaymath}

liczbę $\bar z$ nazywamy liczbą sprzęzoną do z. Dalej,

\begin{displaymath}{\rm Re}z := (z+\bar z)/2,\quad {\rm Im}z := (z-\bar z)/2i
\end{displaymath}

są to ${\rm Re}z$ część rzeczywista i ${\rm Im}z$ to część urojona z. Dalej

\begin{displaymath}\vert z\vert:=\sqrt{z \bar z},
\end{displaymath}

to wartość bezwzględna z. Trzeba sprawdzić, ze ostatnia definicja jest poprawna, tj. ze argument pierwiastka jest dodatni:

\begin{displaymath}z \bar z= (a+bi)((a-bi)= a^2 - (bi)^2 = a^2 +b^2 \ge 0.
\end{displaymath}

Wymieńmy najprostsze właściwości

\begin{displaymath}\vert{\rm Re}z\vert\le \vert z\vert,\quad \vert{\rm Im}z\vert\le \vert z\vert.
\end{displaymath}

Jest to łatwe, bo $\vert {\rm Re}z\vert=\vert a\vert\le \sqrt{a^2 +b^2 } $. Inną prostą ale wazna właściwością jest nierówność trójkąta:

\begin{displaymath}\vert z_1+z_2\vert\le \vert z_1\vert+\vert z_2\vert \qquad\hbox{(''cwiczenia)}.
\end{displaymath}

Równowaznym sformułowaniem jest

\begin{displaymath}\vert z_1\vert\le \vert z_1-z_2\vert+\vert z_2\vert.
\end{displaymath}

"Latwe do sprawdzenia jest, ze

|z1z2|=|z1||z2|,

bo

Lewa = (aa'-bb')2+( ab'+a'b)2 = prawa.

Wprowadzimy jeszcze jedną funkcję mając świadomość, ze jest ona nieuprowaniona na obecnym etapie. Definiujemy argument liczby zespolonej z

\begin{displaymath}{\bf C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto {\rm arg}
z \in [0,2\pi)
\end{displaymath}

(i nie wiemy jeszcze co to jest $\pi$). Mianowicie piszemy, ze

\begin{displaymath}\varphi = {\rm arg}z
\end{displaymath}

$\varphi$gdy jest jedynym rozwiązaniem układu równań

\begin{displaymath}\cos\varphi ={{\rm Re}z\over \vert z\vert}\quad\sin\varphi ={{\rm Im}z\over \vert z\vert}.
\end{displaymath}

Zatem,

\begin{displaymath}z= \vert z\vert(\cos{\rm arg}z + i\sin{\rm arg}z ),\eqno(1)
\end{displaymath}

co więcej owo przedstawienie jest jednoznaczne. Zauwazmy, ze wzór (1) pozwala na ciekawe zapisanie mnozenia liczb zespolonych. Jeśli $z_1 =r (\cos\phi+i\sin\phi)$ i $z_2=R(\cos\psi+i\sin\psi)$, to wtedy korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów dostaniemy, ze

\begin{displaymath}z_1 \cdot z_2 = r R(\cos(\phi+\psi)+i\sin(\phi+\psi)).\eqno(2)
\end{displaymath}

Z definicji argumentu liczby zespolonej wynika natychmiast, ze

\begin{displaymath}{\rm arg}z^{-1} ={\rm arg}\bar z = 2\pi -{\rm arg}z.
\end{displaymath}

"Latwym wnioskiem ze wzoru (2) jest wzór de Moivre'a dla liczby zespolonej $z= \vert z\vert(\cos \phi +i\sin\phi)$ mamy

\begin{displaymath}z^n = \vert z\vert^n(\cos n\phi +i\sin n\phi) .
\end{displaymath}

"Sciśle rzecz ujmując nalezy zastosować indukcję na n. Zauwazmy, ze ten wzór pozwala obliczyć pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej, tj. znalezć n rozwiązań równania yn - x=0. Z (1) wynika, ze |y|=|x|1/n. Zatem wzór de Moivre'a daje, ze

\begin{displaymath}\vert x\vert(\cos \psi + i\sin \psi )=\vert y\vert^n(\cos n\phi+i\sin n\phi),
\end{displaymath}

tj.

\begin{displaymath}\psi = n\phi +2k\pi,
\end{displaymath}

albo

\begin{displaymath}\phi = {\psi \over n} + {2k\pi\over n}, \quad k=0,1,\ldots, n-1.
\end{displaymath}

Wykazaliśmy więc, ze istnieje n róznych pierwiastków z dowolnej liczby. Zadejemy pytanie: czy ten fakt mozna powiązać z rozwiązywaniem równań wielomianowych? Odpowiedz jest podana ponizej. W chwili obecnej nie mamy środków by ją udowodnić. Zaczynamy od określenia:

Def. Funkcję $f:{\bf C}\to {\bf C}$ postaci

\begin{displaymath}f(z)=\sum_{i=0}^n a_i z^i
\end{displaymath}

gdzie $a_i\in{\bf C}$ nazywamy wielomianem o współczynnikach zespolonych.

Tw. (zasadnicze tw. algebry) Kazdy wielomian o współczynnikach zespolnych, rózny od stałej, ma pierwiastek zespolony.

Wynika stąd:

Wniosek Kazdy wielomian o wspołczynnikach zespolonych rozkłada się na iloczyn czynników linowych.

Na koniec paragrafu o liczbach zespolonych wykazemy pewną wazną nierówność - mozna nie znać jej dowodu, ale nie mozna jej nie znać.

Tw. (nierówność Schwarza albo Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza). Załózmy, ze

\begin{displaymath}a_1,\ldots, a_n,\quad b_1\ldots, b_n
\end{displaymath}

są liczbami zespolonymi. Wtedy

\begin{displaymath}\left\vert\sum_{i=1}^n a_i \bar b_i\right\vert^2
\le \sum_{i=1}^n \vert a_i\vert^2 \sum_{i=1}^n \vert b_i\vert^2
\end{displaymath}

D.: Niech

\begin{displaymath}A = \sum_{i=1}^n \vert a_i\vert^2 ,\quad B= \sum_{i=1}^n \vert b_i\vert^2 \quad
C=\sum_{i=1}^n a_i \bar b_i.
\end{displaymath}

Jeśli B=0, to nie mamy nic do roboty. Do pracy przystępujemy mając tylko na uwadze przypadek B>0. Zauwazmy jeszcze, ze

\begin{displaymath}\overline{z_1z_2} =\bar z_1 \bar z_2.
\end{displaymath}

Po tym następują rachunki

\begin{displaymath}L=\sum_{i=1}^n \vert Ba_i -Cb_i\vert^2 =
\sum (Ba_i -Cb_i) (B\bar a_i -\bar{Cb_i})
\end{displaymath}

i dalej

\begin{displaymath}L =B^2 \sum_{i=1}^n \vert a_i\vert^2 - B\bar C \sum_{i=1}^n a...
...^n \bar a_i b_i +\vert C\vert^2\sum_{i=1}^n \vert b_i\vert^2 ,
\end{displaymath}

więc

\begin{displaymath}L=B(AB-\vert C\vert^2)\ge 0.
\end{displaymath}

Skoro B>0 wynika stąd, ze $AB-\vert C\vert^2\ge 0$ co nalezało wykazać.

 
next up previous
Next: About this document ...
Piotr Rybka
2000-10-30