Next: About this document ...
Wykład 5 dn.24.10.2000
Zacznijmy od definicji, niech
Def. 1
Ciałem liczb zespolonych nazywamy
z następującymi działaniami
(a,b) +(a', b')=(a+a',b+b'),
Trzeba sprawdzić, ze są spełnione aksjomaty ciała przemiennego.
Jest to łatwe, sprawdzimy tylko istnienie elementu odwrotnego
dla dowolnego
.
Kładziemy,
z-1=(a,b)-1=(a/(a2+b2), -b/(a2+b2)),
pozostawiając czytelnikowi sprawdzenie, ze
.
Wprowadzmy bardziej znaną notację, będziemy pisaćć
i=(0,1) i będziemy utozsamiać liczby rzeczywiste z liczbami
zespolonymi postaci (a,0). Od tej pory będziemy pisać
a+bi zamiast (a,b). Zauwazmy teraz, ze
Wprowadzamy nowe operacje, gdzie z=a+bi:
liczbę
nazywamy liczbą sprzęzoną do z. Dalej,
są to
część rzeczywista i
to część urojona z.
Dalej
to wartość bezwzględna z. Trzeba sprawdzić, ze ostatnia
definicja jest poprawna, tj. ze argument pierwiastka jest dodatni:
Wymieńmy najprostsze właściwości
Jest to łatwe, bo
.
Inną prostą ale wazna
właściwością jest nierówność trójkąta:
Równowaznym sformułowaniem jest
"Latwe do sprawdzenia jest, ze
|z1z2|=|z1||z2|,
bo
Lewa = (aa'-bb')2+( ab'+a'b)2 = prawa.
Wprowadzimy jeszcze jedną funkcję mając świadomość, ze jest ona
nieuprowaniona na obecnym etapie.
Definiujemy argument liczby zespolonej z
(i nie wiemy jeszcze co to jest
). Mianowicie piszemy,
ze
gdy jest jedynym rozwiązaniem układu równań
Zatem,
co więcej owo przedstawienie jest jednoznaczne. Zauwazmy, ze
wzór (1) pozwala na ciekawe zapisanie mnozenia liczb zespolonych.
Jeśli
i
,
to wtedy korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów
dostaniemy, ze
Z definicji argumentu liczby zespolonej wynika natychmiast, ze
"Latwym wnioskiem ze wzoru (2) jest wzór de Moivre'a dla
liczby zespolonej
mamy
"Sciśle rzecz ujmując nalezy zastosować indukcję na n.
Zauwazmy, ze ten wzór pozwala obliczyć pierwiastki n-tego
stopnia z dowolnej liczby zespolonej, tj. znalezć n rozwiązań
równania yn - x=0. Z (1) wynika, ze
|y|=|x|1/n.
Zatem
wzór de Moivre'a daje, ze
tj.
albo
Wykazaliśmy więc, ze istnieje n róznych pierwiastków z
dowolnej liczby. Zadejemy pytanie:
czy ten fakt mozna powiązać z rozwiązywaniem
równań wielomianowych? Odpowiedz jest podana ponizej. W
chwili obecnej nie mamy środków by ją udowodnić. Zaczynamy od określenia:
Def. Funkcję
postaci
gdzie
nazywamy wielomianem o współczynnikach
zespolonych.
Tw. (zasadnicze tw. algebry) Kazdy wielomian o
współczynnikach zespolnych, rózny od stałej, ma pierwiastek
zespolony.
Wynika stąd:
Wniosek Kazdy wielomian o wspołczynnikach zespolonych
rozkłada się na iloczyn czynników linowych.
Na koniec paragrafu o liczbach zespolonych wykazemy pewną
wazną nierówność - mozna nie znać jej dowodu, ale nie
mozna jej nie znać.
Tw. (nierówność Schwarza albo
Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza). Załózmy, ze
są liczbami zespolonymi. Wtedy
D.: Niech
Jeśli B=0, to nie mamy nic do roboty. Do pracy przystępujemy
mając tylko na uwadze przypadek B>0. Zauwazmy jeszcze, ze
Po tym następują rachunki
i dalej
więc
Skoro B>0 wynika stąd, ze
co nalezało wykazać.
Next: About this document ...
Piotr Rybka
2000-10-30