Kartkówka 1 gr.1, 29 października 2007

1. Przestrzenie (X, ∥·∥_{1}) oraz (Y, ∥·∥_{2}) są przestrzeniami Banacha. Wykaż, że wzór ∥(x, y)∥ = ∥x∥_{1} + ∥y∥_{2} zadaje normę na X × Y oraz X × Y z tą normą jest przestrzenią Banacha.

2. Wykaż, że operator T dany wzorem T ((x_{n})_{n 1} ) = ((−\frac{1}{2})^{n}x_{n})_{n 1} jest ciągłym operatorem z c_{0} w l_{3}. Ile wynosi jego norma?

Kartkówka 1 gr.2, 29 października 2007

1. Wykaż, że operator T dany wzorem T ((x_{n})_{n 1} ) = ((−\frac{1}{3})^{n}x_{n})_{n 1} jest ciągłym operatorem z c_{0} w l_{2}. Ile wynosi jego norma?

2. Przestrzenie (X, ∥·∥_{1}) oraz (Y, ∥·∥_{2}) są przestrzeniami Banacha. Wykaż, że wzór ∥(x, y)∥ = max{∥x∥_{1}, ∥y∥_{2}} zadaje normę na X ×Y oraz X ×Y z tą normą jest przestrzenią Banacha.

Kartkówka 1 gr.3, 29 października 2007

1. Niech c_{00} będzie przestrzenią wszystkich ciągów, które mają tylko skończenie wiele wyrazów niezerowych. Wykaż, że wzór ∥(x_{n})∥ = sup_{n} |n^{2}x_{n}| zadaje normę na c_{00}. Czy c_{00} z tą normą jest przestrzenią Banacha?

2. Wykaż, że operator T dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x}(y − 1)f(y)dy jest ciągłym operatorem z C[0, 2] w C[0, 2]. Ile wynosi jego norma?

Kartkówka 1 gr.4, 29 października 2007

1. Wykaż, że operator T dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x}(y − 3)f(y)dy jest ciągłym operatorem z C[0, 4] w C[0, 4]. Ile wynosi jego norma?

2. Niech c_{00} będzie przestrzenią wszystkich ciągów, które mają tylko skończenie wiele wyrazów niezerowych. Wykaż, że wzór ∥(x_{n})∥ = sup_{n} |nx_{n}| zadaje normę na c_{00}. Czy c_{00} z tą normą jest przestrzenią Banacha?