Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - seria 2

Słaba zbieżność rozkładów i zmiennych losowych.

1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów w przestrzeni metrycznej (E, d), δ_{x_{n}} ⇒ δ_{x} wtedy i tylko wtedy, gdy x_{n} → x.

2. Niech X, X_{1}, X_{2}, … będą zmiennymi losowymi o wartości w przestrzeni metrycznej (E, d). Wykazać, że jeśli X_{n} →^{ℙ} X, to X_{n} →^{D} X, ale implikacja odwrotna nie musi zachodzić.

3. Wykazać, że jeśli zmienna X z poprzedniego zadania jest stała, to implikacja odwrotna zachodzi.

4. Niech μ, μ_{1}, μ_{2}, … będą miarami probabilistycznymi, skupionymi na pewnym zbiorze przeliczalnym S ⊆ E Wykazać, że

a) jeśli dla każdego x ∈ S, μ_{n}({x}) → μ({x}), to μ_{n} ⇒ μ,

b) jeśli każdy punkt zbioru S jest izolowany, to implikację w punkcie a) można odwrócić,

c) w ogólności implikacji z punktu a) nie można odwrócić.

5. Wykazać, że \frac{1}{n} ∑ _{k=1}^{n} δ_{k/n} →^{D} λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na (0, 1).

6. (Twierdzenie Słuckiego) Niech X_{n}, Y_{n} będą rzeczywistymi zmiennymi losowymi, takimi że X_{n} →^{D} X, Y_{n} →^{D} c, gdzie c jest pewną stałą. Wykazać, że wówczas

a) X_{n} + Y_{n} →^{D} X + c,

b) X_{n}Y_{n} →^{D} cX.

W szczególności, jeśli X_{n} →^{D} X, a_{n} → a, b_{n} → b, to a_{n}X_{n} + b_{n} →^{D} aX + b.

7. (Twierdzenie Scheffe’go) Niech μ będzie miarą σ-skończoną, ν, ν_{n} miarami probabilistycz-

nymi z gęstościami odpowiednio f, f_{n} względem μ. Wykazać, że jeśli f_{n} → f μ-p.n., to

sup_{A}|ν(A) − ν_{n}(A)| ∫_{Ω} |f − f_{n}|dμ → 0.

W szczególności ν_{m} ⇒ ν.

8. Niech P_{α} = N (m_{α}, σ_{α}^{2}). Udowodnić, że rodzina {P_{α} : α ∈ Λ} jest ciasna, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała K, taka że |m_{α}|, |σ_{α}^{2}| K dla α ∈ Λ.

9. Udowodnić, że N (m_{n}, σ_{n}^{2}) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy gdy istnieją m = limm_{n}, σ^{2} = limσ_{n}^{2} i wówczas N (m_{n}, σ_{n}^{2}) ⇒ N (m, σ^{2}).

10. (Obserwacja Poincaré) Niech X_{n} będzie pierwszą współrzędną zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na kuli (bądź sferze) jednostkowej w ℝ^{n}. Wykazać, że

\sqrt{n}X_{n} →^{D} N (0, 1).

11. Udowodnij, że jeśli X_{n} →^{D} X, p > 0 oraz sup_{n} 𝔼|X_{n}|^{p} < ∞, to 𝔼|X| < ∞, ale niekoniecznie 𝔼|X_{n}|^{p} → 𝔼|X|^{p}. Jest to jednak prawdą jeśli sup_{n} 𝔼|X_{n}|^{p+ε} < ∞ dla pewnego ε > 0.

12. Niech α będzie liczbą zespoloną o module 1, nie będącą pierwiastkiem z jedynki. Wykazać,

że

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{α^{k}} ⇒ λ,

gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na okręgu jednostkowym. Co się dzieje, gdy α jest pierwiastkiem z jedynki?

13. (Twierdzenie Skorohoda) Wykazać, że jeśli X_{n}, X są rzeczywistymi zmiennymi losowymi oraz X_{n} →^{D} X, to istnieją zmienne Y_{n}, Y, takie że Y_{n} ∼ X_{n}, Y ∼ X oraz Y_{n} → Y p.n.