Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - seria 1 Warunkowa wartość oczekiwana

1. Niech ([0, 1], B([0, 1]), | · |) będzie przestrzenią probabilistyczną, a F będzie σ-ciałem generowanym przez zbiory [0, \frac{1}{2}), [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}). Zmienna losowa X dana jest wzorem X(ω) = ω. Wyznaczyć 𝔼(X|F).

2. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkłady

a) Poissona z parametrami λ, μ, odpowiednio,

b) Bernoulliego B(n, p), B(m, p), odpowiednio.

Wyznaczyć 𝔼(X|X + Y).

3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny U([0, n]). Wyznaczyć 𝔼(X|[X]), gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x.

4. Podać przykład niezależnych zmiennych losowych X, Y i σ-ciała F takich, że

𝔼(XY |F) ≠ 𝔼(X|F)𝔼(Y |F).

5. Podać przykład zmiennych losowych X, Y, które nie są niezależne, ale 𝔼(X|Y) = 𝔼X.

6. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej. Wyznaczyć E(X|X + Y). Wynik uogólnić na n zmiennych losowych.

7. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś f mierzalną funkcją dwu zmiennych, taką że 𝔼|f(X, Y)| < ∞. Niech g(x) = 𝔼f(x, Y). Udowodnić, że 𝔼(f(X, Y)|X) = g(X) p.n.

8. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkład jednostajny U(0, 1). Wyznaczyć

a) 𝔼(X − Y |X + Y),

b) 𝔼(X + Y |X − Y),

c) 𝔼(X^{2}Y |Y)

d) 𝔼(cos(XY)|Y),

e) E(U|V),

f) E(V |U), gdzie U = min(X, Y), V = max(X, Y).

9. Udowodnić, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy 𝔼(X|X^{2}) = 0.

10. Zmienne X, Y są niezależne i mają rozkład N(0, 1). Wyznaczyć

a) 𝔼(X|aX + bY), gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi takimi, że (a, b) ≠ (0, 0),

b) 𝔼(XY |X + Y).