Zadania z Procesów stochastycznych II - 18 listopada 2005

1. Niech X ∈ Λ_{T}^{2}. Rozważmy 0 t_{1} < t_{2} T oraz ξ– F_{t_{1}} mierzalną zmienną losową (niekoniecznie ograniczoną). Wykazać, że ξX1_{(t_{1} ,t_{2} ]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz ∫_{0}^{t} ξX_{s}1_{(t_{1} ,t_{2} ]}(s)dW_{s} = ξ ∫_{0}^{t} X_{s}1_{(t_{1} ,t_{2} ]}(s)dW_{s}.

2. Wykazać, że dla dowolnego M ∈ M^{2,c} i momentu zatrzymania τ, zachodzi ⟨M⟩^{τ} = ⟨M^{τ}⟩.

3. Niech ξ_{n} będą dowolnymi zmiennymi losowymi, zaś A_{k} wstępującym ciągiem zbiorów, takim, że ⋃ _{k} A_{k} = Ω. Wykazać, że jeżeli dla każdego k ciąg (1_{A_{k}} ξ_{n})_{n} jest zbieżny wg prawdopodobieństwa, to również (ξ_{n})_{n} jest zbieżny wg prawdopodobieństwa.

4. Załóżmy, że ξ_{n} 0, ξ_{n} →^{ℙ} ξ, 𝔼ξ_{n} = 𝔼ξ < ∞. Wykazać, że wówczas ξ_{n} →^{L^{1}} ξ.

5. Niech M, M′∈ M_{T}^{2,c}, M_{0} = M′_{0} = 0. Wykazać, że 𝔼|V_{n}(M, t) − V_{n}(M′, t)| ∥M − M′∥_{M_{T}^{2,c}}^{2} + 2∥M′∥_{M_{T}^{2,c}} ∥M − M′∥_{M_{T}^{2,c}}

6. Wykazać, że M_{loc}^{c} = M_{loc}^{2,c}.

7. Wykazać, że a) każdy ciągły i ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem,

b) każdy nieujemny, ciągły, całkowalny martyngał lokalny jest nadmartyngałem,

8. Niech M ∈ M_{T}^{2,c}. Wykazać, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ (∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = (∫ 1_{[0,τ]}XdM)^{τ} = ∫ 1_{[0,τ]}XdM^{τ}.