Procesy Stochastyczne 2

Radosław Adamczak, Witold Bendorz 30 listopada 2005

Rozdział 1

Wstęp

Niech W (t), t ∈ ℝ_{+} będzie procesem Wienera, X(t)- procesem stochastycznym. Zasadniczym celem teorii jest zdefiniowanie całki stochastycznej ∫_{0}^{t} X(s)dW (s). Problem polega na tym, że trajektorie procesu Wienera nie mają ograniczonego wahania, a zatem nie można całki definiować dla każdej trajektorii z osobna (na ćwiczenia). Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, zupełną. Niech (F_{t})_{t∈ℝ_{+}}, F_{t} ⊂ F, będzie (zupełną) filtracją. Dla uproszczenia określamy F_{∞} = σ(⋃_{t} F_{t}). Niech 0 < T ⩽ ∞.

Definicja 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} będą stanowiły ciągłe martyngały, adaptowalne względem filtracji (F_{t}) takie, że sup_{t⩽T} EM^{2}(t) < ∞.

Zauważmy, że

1. jeśli T < ∞ sup_{t⩽T} EM^{2}(t) = EM^{2}(t).

2. jeśli T = ∞, to M_{∞}^{2,c} tworzą martyngały ciągłe takie, że sup_{t<∞} EM^{2}(t) < ∞. Z nierówności Dooba wynika, że

E sup_{t<∞} M^{2}(t) ⩽ 4 sup_{t<∞} EM^{2}(t) < ∞.

Twierdzenia o zbieżności martyngałów implikują, że M(t) → M(∞) p.n. i w L^{2}(Ω). Ponadto zachodzi wzór M(t) = E(M(s)|F_{t}) → E(M(∞)|F_{t}), gdy s → ∞, s > t. Zatem M(t), 0 ⩽ t ⩽ ∞ tworzą martyngał ciągły taki, że sup_{t⩽∞} EM^{2}(t) < ∞.

Uwaga 1 Przez M^{2,c}, będziemy oznaczać ogólnie martyngały ciągłe takie, że EM^{2}(t) < ∞ dla każdego t < ∞.

Definicja 2 Powiemy, że dwa procesy X(t) i Y (t), t ∈ [0, T] są nieodróżnialne, jeśli

P(X(t) = Y (t) dla t ∈ [0, T]) = 1.

Uwaga 2 W przestrzeni M_{T}^{2,c} identyfikujemy procesy nieodróżnialne.

Stwierdzenie 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym

(M, N) = (M, N)_{T} = EM(T)N(T).

Dowód. Zauważmy, że

1. Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest liniowa.

2. (M, N) jest iloczynem skalarnym, który istotnie definiuje metrykę na M_{T}^{2,c}. Wystarczy sprawdzić, że (M, M) = 0 daje M = 0. Tak jest gdyż 0 = (M, M) = EM^{2}(T). Z nierówności Dooba dostajemy E sup_{t⩽T} M^{2}(t) = 0, a to znaczy, że proces M jest nieodróżnialny od 0.

3. Rzecz jasna ∥M∥^{2} = (M, M) wprowadza metrykę ∥ · ∥ na przestrzeni M_{T}^{2,c}. Udowodnimy zupełność M_{T}^{2,c} w tej metryce. Niech M_{n} będzie ciągiem martyngałów spełniających warunek Cauchy’ego (zachodzi M_{n}(t) = E(M(T)|F_{t})). Ponieważ

∥M_{n} − M_{m}∥ = E(M_{n}(T) − M_{m}(T))^{2} → 0, gdy m, n → ∞,

więc z zupełności L^{2}(Ω) wynika, że istnieje M(T) takie, że M_{n}(T) → M(T) w L^{2}(Ω). Ponadto z nierówności Dooba

E sup_{t⩽T}(M_{n}(t) − M_{m}(t))^{2} ⩽ 4 sup_{t⩽T}E(M_{n}(t) − M_{m}(t))^{2} =

= 4E(M_{n}(T) − M_{m}(T))^{2} → 0, gdy m, n → ∞.

Czyli przechodząc do podciągu (n_{k}) (żeby mieć zbieżność p.n.) dostajemy

P(sup_{t⩽T}(M_{n_{k}}(t) − M_{n_{l}}(t))^{2} → 0, l, k → ∞) = 1.

Zatem M_{n_{k}} jest z P = 1 zbieżny jednostajnie na odcinku [0, T] (k → ∞). Konsekwentnie M_{n_{k}} jest zbieżny do pewnego procesu ciągłego M. Ponieważ

M(t) ← M_{n_{k}}(t) = E(M_{n_{k}}(T)|F_{t}) → E(M_{T} |F_{t}),

gdzie zbieżność po lewej stronie jest p.n., a po prawej w L^{2}(Ω). Stąd dostajemy, że M_{n} → M w M_{T}^{2,c}

■

Wniosek 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest izometryczna z domkniętą podprzestrzenią L^{2}(Ω).

Definicja 3 Przez E oznaczamy klasę procesów elementarnych, to znaczy procesów postaci

X(t) = ξ_{0}1_{0} + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]},

gdzie 0 = t_{0} ⩽ t_{1} < t_{2} < ... < t_{m}, ξ_{j} jest F_{t_{j}} mierzalne.

Zauważmy, że E jest przestrzenią liniową. Niech W będzie procesem Wienera względem filtracji (F_{t}) (filtracji zupełnej, wyznaczonej przez proces). Zauważmy, że W (t) − W (s) jest niezależnym procesem od F_{s}.

Definicja 4 Dla X ∈ E definiujemy proces

I(X) = I(X)(t) = ∫_{0}^{t} XdW := ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}(W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)).

Zauważmy, że I(X) nie zależy od reprezentacji X.

Całka stochastyczna Ito

2.1 Całka Ito jako izometria liniowa

W tym rozdziale zdefiniujemy całkę stochastyczną Ito.

Twierdzenie 1 Dla każdego X ∈ E, proces I(X) ∈ M_{T}^{2,c}, I(X)(0) = 0, a ponadto

∥I(X)∥_{T}^{2} = E(∫_{0}^{T} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

Dowód. Ponieważ X ∈ E, więc dla pewnego ciągu 0 = t_{0} ⩽ t_{1} < t_{2} < ... < t_{m}

X(t) = ξ_{0}1_{{0}} + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]},

gdzie, ξ_{j} są F_{t_{j}} mierzalne. Z definicji

I(X)(t) = ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}(W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)).

Jest jasne, że I(X)(0) = 0. Po drugie jest oczywiste (z definicji), że I(X)(t) ∈ L^{2}(Ω). Po trzecie trajektorie procesu I(X) są ciągłe. Istotnie wystarczy zauważyć, że funkcje

t → (W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)), t ∈ (t_{j}, t_{j+1}]

są ciągłe, co wynika z ciągłości trajektorii procesu Wienera. Pozostaje pokazać, że proces I(X) jest martyngałem. Zauważmy zatem, że I(X)(t) t ∈ [0, T] jest adaptowalny do filtracji (F_{t}). Pokażemy, że

E(I(X)(t)|F_{s}) = I(X)(s), dla t_{k} ⩽ s < t ⩽ t_{k+1}, k ∈ {0, 1, ..., m − 1}.  (2.1)

Powyższa równość łatwo wynika z definicji

E(I(X)(t) − I(X)(s)|F_{s}) = E(ξ_{k}(W (t) − W (s))|F_{s}) = ξ_{k}E(W (t) − W (s)|F_{s}) = 0. W istocie to wystarcza do udowodnienia, że

E(I(X)(t)|F_{s}) = I(X)(s), dla0 ⩽ s < t ⩽ T.

Przypuśćmy, że s ∈ (t_{l}, t_{l+1}], t ∈ (t_{k}, t_{k+1}], l < k, to E(I(X)(t)|F_{s}) = E(E(I(X)(t)|F_{t_{k}})|F_{s}) = E(I(X)(t_{k})|F_{s}) =

= E(E(I(X)(t_{k})|F_{t_{k−1}})|F_{s}) = E(I(X)(t_{k−1})|F_{s}) = ... =
= E(I(X)(t_{l+1})|F_{s}) = I(X)(s).

Za każdym razem korzystaliśmy wyłącznie z równości (2.1). Pozostaje jeszcze udowodnić wzór

∥I(X)∥ = EI(X)^{2}(t) = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

Skorzystamy z następującej równości.

EI(X)^{2}(T) = ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))) +

+2 ∑_{l<k} E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))).

Niech

A := ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}).

B := 2 ∑_{l<k} E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))).

Zauważmy, że

B = 2 ∑_{l<k} E(E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}})) =

= 2 ∑_{l<k} E(ξ_{k}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}})) = 0

Ostatnia równość wynika z faktu, że E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}}) = 0 (bo W jest martyngałem). Wystarczy obliczyć A. Przypomnijmy, że W (t) i W^{2}(t) − t są martyngałami, stąd

E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}}) = E(W^{2}(t_{k+1})|F_{t_{k}}) − 2W (t_{k})E(W (t_{k+1})|F_{t_{k}}) +
+W^{2}(t_{k}) = E(W^{2}(t_{k+1}) − t_{k+1}|F_{t_{k}}) + t_{k+1} − W^{2}(t_{k}) = t_{k+1} − t_{k}.

Zatem

A = ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}) = ∑_{k=1}^{m−1} E(E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}})) =

= ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}})) = E(∑_{k=1}^{m−1} ξ_{k}^{2}(t_{k+1} − t_{k})) = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

To kończy dowód.

■

Uwaga 3 Łatwo zauważyć, że I jest przekształceniem liniowym z E w M_{T}^{2,c}. Co więcej, jeśli potraktować E jako liniową podprzestrzeń

L_{T}^{2} := L^{2}([0, T] × Ω, B([0, T]) ⊗ F, | · | ⊗ F),

to I jest liniową izometrią (bo ∥I(X)∥ = ∥X∥_{L_{T}^{2}}^{2} ).

Ogólnie całkę stochastyczną otrzymamy przechodząc do domknięcia E. Warto zwrócić uwagę, że każda izometria liniowa I z podprzestrzeni L_{T}^{2} w M_{T}^{2,c} (przestrzeń Banacha) ma jednoznaczne rozszerzenie na domknięcie \overline{E} przestrzeni E w L_{T}^{2} .

Definicja 5 Rozszerzenie I na domknięcie \overline{E} w L_{T}^{2} nazywamy całką stochastyczną Ito i oznaczamy

I(X)(t) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} XdW.

Uwaga 4 Dla każdego X ∈ \overline{E}, zachodzi I(X) ∈ M_{T}^{2,c}. Ponadto I jest izometrią liniową, to znaczy I jest liniowe i zachodzi wzór

∥I(X)∥^{2} = E(∫_{0}^{T} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

2.2 Opis procesów z klasy \overline{E}.

Definicja 6 Przez P będziemy oznaczać σ-ciało zbiorów prognozowalnych, to znaczy σciało podzbiorów ℝ_{+} × Ω generowane przez

{{0} × A, A ∈ F_{0}} ∪ {(s, t] × A, s < t, A ∈ F_{s}}.

Proces X będziemy nazywać prognozowalnym, gdy jest mierzalny względem P jako funkcja [0, T] × Ω ∋ (t, ω) → X(t, ω).

Uwaga 5 Każdy proces prognozowalny jest progresywnie mierzalny.

Stwierdzenie 2 Jeśli X jest procesem adaptowalnym, lewostronnie ciągłym, to jest procesem prognozowalnym.

Dowód. Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, to znaczy

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = T, max_{j}(t_{j}^{n} − t_{j−1}^{n}) → 0 gdy n → ∞.

Definiujemy

X_{n}(t) := X(0)1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m_{n}−1} X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]}(t).

Z lewostronnej ciągłości wynika, że X_{n}(t) → X(t) dla każdego t, dla prawie wszystkich ω ∈ Ω. Co więcej procesy X_{n} są prognozowalne bo są skończonymi sumami procesów progonozwalnych. W istocie Wystarczy zauważyć, że prognozowalne są procesy

X(0)1_{{0}}, X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]}.

To z kolei wynika z definicji σ-ciała P

{(t, ω) : X(0)1_{{0}} ⩽ a} = {0} × {X(0) ⩽ a} ∈ P
{(t, ω) : X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]} ⩽ a} = (t_{k}^{n}, t_{k+1}^{n}] × {X(t_{k}^{n}) ⩽ a} ∈ P.  (2.2)
■

Stwierdzenie 3 Zachodzi równość \overline{E} = L^{2}([0, T] × Ω, P, | · | ⊗ P).

Dowód. Zauważmy, że po pierwsze każdy proces z klasy \overline{E} jest prognozowalny, bo jest granicą według | · | ⊗ P procesów prognozowalnych (a więc granicą p.n. dla pewnego podciągu). Wynika to z faktu, że zbieżność w L^{2} implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa (ogólnie miary). Wystarczy pokazać, że procesy z E są gęste w klasie L^{2}([0, T] × Ω, P, | · | ⊗ P). Jest jasne, że gęste w tej klasie są sumy postaci

X := ∑_{k=1}^{m} a_{i}1_{Γ_{i}}, gdzie a_{i} ∈ ℝ, Γ_{i} ∈ P.

Wystarczy udowodnić, że 1_{Γ_{i}} ∈ \overline{E}. Ten fakt dostajemy z lematu o π − λ układach. Zwróćmy uwagę, że klasa A zbiorów Γ dla których 1_{Γ} ∈ \overline{E} zawiera π-układ B złożony ze zbiorów

Γ = {0} × A A ∈ F_{0}, Γ := (s, t] × A A ∈ F_{s}.

Z definicji 1_{Γ} dla takich zbiorów należy do E ⊂ \overline{E}. Wystarczy pokazać, że klasa A jest λ-układem (na ćwiczenia).

■

Wniosek 2 Jeśli X jest procesem prognozowalnym takim, że E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞, to całka Ito ∫ XdW jest dobrze określona. Klasę takich procesów oznaczamy przez L_{T}^{2} .

Uwaga 6 Można pokazać, że ∫ XdW jest dobrze określone dla każdego X progresywnie mierzalnego takiego, że E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞, a nawet dla procesu nieantycypującego, to znaczy adaptowalnego, mierzalnego i spełniającego warunek E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞ (patrz książka Karatzas-Shreve).

Uwaga 7 Niech X ∈ L_{T}^{2} , wówczas 1_{[0,t]}X ∈ L_{T}^{2} , dla t ⩽ T. Ponadto

∫_{0}^{T} 1_{[0,t]}X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s)

oraz E(∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{t} X^{2}(s)ds

Dowód. Ustalmy t < T. Istnieje ciąg procesów X_{n} ∈ E takich, że X_{n} → X w L_{T}^{2} . Jest jasne, że 1_{[0,t]}X_{n} ∈ E. Pokażemy, że

1_{[0,t]}X_{n} → 1_{[0,t]}X w L_{T}^{2} .

Istotnie

E ∫_{0}^{T} (1_{[0,t]}(s)X_{n}(s) − 1_{[0,t]}(s)X(s))^{2} = E ∫_{0}^{t}(X_{n}(s) − X(s))^{2}ds ⩽
⩽ E ∫_{0}^{T} (X_{n}(s) − X(s))^{2}ds → 0 gdy n → ∞.  (2.3)

Pozostała część tezy jest oczywista.

■

Zatrzymywanie całek stochastycznych

Twierdzenie 2 (o zatrzymywaniu całki stochastycznej) Jeśli X ∈ L_{T}^{2} , natomiast τ ≤ T jest momentem zatrzymania, to 1_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} oraz dla każdego t ∈ [0, t]

∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s}dW_{s} p.n.  (3.1)

Uwaga Ponieważ oba procesy występujące w (3.1) mają ciągłe trajektorie, z ich równości dla każdego t wynika natychmiast nieodróżnialność. Dowód.

Proces 1_{[0,τ]} jest prognozowalny, bo jest lewostronnie ciągły i adaptowany (łatwe). Zatem 1_{[0,τ]}X też jest prognozowalny. Ponadto

E ∫_{0}^{T} (1_{[0,τ]}(s)X_{s})^{2}ds ≤ ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}ds < ∞.

Stąd 1_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} .

Dalsza część dowodu przebiega standardową metodą, polegającą na udowodnieniu twierdzenia najpierw dla τ przyjmującego tylko skończenie wiele wartości oraz X ∈ E (E – procesy elementarne), a następnie rozszerzeniu tezy na przypadek ogólny poprzez prostą aproksymację.

a) Jeżeli τ przyjmuje tylko skończenie wiele wartości oraz X ∈ E, możemy bez straty ogólności założyć, że

X_{t} = ξ_{0}1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m−1} ξ_{k}1_{(t_{k},t_{k+1}]}(t)
τ ∈ {t_{1}, …, t_{k}},

dla pewnych liczb 0 ≤ t_{1} < … < t_{k} ≤ T.

Wprowadzając dodatkowe oznaczenie t_{0} = 0, otrzymujemy

1_{[0,τ]}(t) = 1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}}1_{(0,t_{k}]}(t) = 1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=0}^{k−1} 1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)

= 1_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t) ∑_{k=j+1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}}

= 1_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 1_{{τ>t_{j}}}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t).

Zatem

1_{[0,τ]}(t)X_{t} = ξ_{0}1_{{0}}(t) + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t).  (3.2)

Ponieważ ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}} jest F_{t_{j}} mierzalną i ograniczoną zmienną losową, powyższa równość pokazuje, że 1_{[0,τ]}X ∈ E oraz pozwala policzyć wprost z definicji całkę stochastyczną tego procesu. Dokładniej

∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} = ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t}) = ∑_{j=1}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{m} ξ_{j}1_{{τ=t_{k}}}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} ∑_{j=1}^{k−1} 1_{{τ=t_{k}}}ξ_{j}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=1}^{k−1} ξ_{j}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∫_{0}^{t∧t_{k}} X_{s}dW_{s} = ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s},  (3.3)

co kończy dowód w najprostszym przypadku.

Uwaga Powyższe rachunki są dość formalne i sprowadzają się do zmiany kolejności sumowania. Tak naprawdę równość (3.2) można dość łatwo sprawdzić na rysunku, przedstawiając symbolicznie zbiór [0, T]×Ω, dzieląc oś czasu na przedziały (t_{j}, t_{j+1}] (na których X jest przy ustalonej ω stały, równy ξ_{j}(ω)) i patrząc, co się „wyzeruje” po wymnożeniu przez 1_{[0,τ]}. Podobnie równość (3.3) można otrzymać, patrząc które części w sumie definiującej całkę się „wyzerują” dla τ = t_{k}. Jest to oczywiście w gruncie rzeczy to samo rozumowanie co zapisane powyżej, ale chyba bardziej pokazuje co się dzieje niż formalne napisy. b) W kolejnym kroku udowodnimy tezę dla τ – dowolnego momentu zatrzymania,

ciągle przy założeniu, że X ∈ E. W standardowy sposób konstruujemy ciąg τ_{n} momentów zatrzymania, przyjmujących tylko skończenie wiele wartości, takich że τ_{n} ↘ τ. Z ciągłości trajektorii całek stochastycznych, mamy

∫_{0}^{τ_{n}∧t} X_{s}dW s → ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s} p.n.

Aby uzyskać tezę, wystarczy więc pokazać, że ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s}dW_{s} → ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} w L^{2}(Ω). Udowodnimy więcej, mianowicie zbieżność ∫ 1_{[0,τ_{n}]}XdW → ∫ 1_{[0,τ]}XdW w przestrzeni M_{T}^{2,c}. Ponieważ całka Ito jest izometrią między L_{T}^{2} i M_{T}^{2,c}, wystarczy pokazać zbieżność 1_{[0,τ_{n}]}X → 1_{[0,τ]}X w L_{T}^{2} . To jednak jest proste

∥1_{[0,τ_{n}]}X − 1_{[0,τ]}X∥_{L_{T}^{2}}^{2} = E ∫_{0}^{T} (1_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s} − 1_{[0,τ]}(s)X_{s})^{2}ds
= E ∫_{0}^{T} 1_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s}^{2}ds → 0,

z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.

c) W ostatnim kroku udowodnimy twierdzenie dla dowolnych τ, X. Niech X_{n} ∈ E, X_{n} → X w L_{T}^{2} . Wówczas, jak łatwo sprawdzić, również ∫_{[0,τ]} X_{n} → 1_{[0,τ]}X w L_{T}^{2} , skąd dostajemy ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{n}(s)dW_{s} → ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)XdW_{s} w L^{2}(Ω) (argumentujemy jak w punkcie b)). Wystarczy zatem pokazać, że ∫_{0}^{τ∧t} X_{n}(s)dW_{s} → ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s}, również w L^{2}(Ω). Ale

E(∫_{0}^{τ∧t} X_{n}(s)dW_{s} − ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s})^{2} ≤ E(∫_{0}^{T} X_{n}(s)dW_{s} − ∫_{0}^{T} X_{s}dW_{s})^{2}
= ∥X − X_{n}∥_{L_{T}^{2}}^{2} → 0,

gdzie nierówność wynika z Twierdzenia Dooba (zastosowanego do ciągłego podmartyngału (∫ (X − X_{n})dW)^{2} oraz ograniczonego momentu stopu τ ∧ t) zaś równość, znów z faktu, że całka Ito jest izometrią, między L_{T}^{2} oraz M_{T}^{2,c}.

■

Wniosek 3 Niech X ∈ L_{T}^{2} . Wówczas proces

M(t) = ( ∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2} − ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds

jest martyngałem Dowód. Wystarczy pokazać, że dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EM_{τ} = 0. Ale z Twierdzenia o zatrzymywaniu całki stochastycznej

M_{τ} = ( ∫_{0}^{τ} X(s)dW (s))^{2}−∫_{0}^{τ} X(s)^{2}ds = ( ∫_{0}^{T} X(s)1_{[0,τ]}(s)dW (s))^{2}−∫_{0}^{T} X(s)^{2}1_{[0,τ]}(s)ds,

zatem rzeczywiście

EM_{τ} = E( ∫_{0}^{T} X(s)1_{[0,τ]}(s)dW (s))^{2} − E ∫_{0}^{T} X(s)^{2}1_{[0,τ]}(s)ds = 0,

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że całka stochastyczna jest izometrią między L_{T}^{2} oraz M_{T}^{2,c}.

■

Twierdzenie o zatrzymywaniu całki stochastycznej pozwoli nam na rozszerzenie definicji całki stochastycznej na szerszą klasę procesów niż L_{T}^{2} .

Definicja 7 Niech

Λ_{T}^{2} = {(X(t))_{t∈[0,T)} : X − prognozowalny , ∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X_{s}^{2}ds < ∞ p.n.}

Oczywiście L_{T}^{2} ⊊ Λ_{T}^{2} . Chcielibyśmy zdefiniować ∫ X(s)dW (s) dla X ∈ Λ_{T}^{2} , tak aby „nowa” całka stanowiła rozszerzenie całki Itô. W tym celu dla X ∈ |Lambda_{T}^{2} , wprowadźmy ciąg momentów stopu

τ_{n} = inf{t < T: ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds ≥ n},  (3.4)

gdzie jak zwykle przyjmujemy konwencję inf ∅ = T. Z definicji Λ_{T}^{2} , otrzymujemy natychmiast τ_{n} ↗ T p.n. Ponadto dla dowolnego n, 1_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} , zatem możemy zdefiniować proces

M_{n}(t) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}XdW,

jako całkę stochastyczną w sensie Itô).

Zachodzi następujący

Lemat 1 Dla m ≥ n oraz t ≤ τ_{n}

M_{n}(t) = M_{m}(t),

czyli (wobec ciągłości trajektorii) procesy M_{m}^{τ_{n}} oraz M_{n} są nierozróżnialne.

Dowód. Z twierdzenia o zatrzymywaniu całki stochastycznej oraz nierówności τ_{n} ≤ τ_{m} p.n., mamy

M_{m}(τ_{n} ∧ t) = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} 1_{[0,τ_{m}]}(s)X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)1_{[0,τ_{m}]}(s)X(s)dW (s)
= ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)X(s)dW (s) = M_{n}(t).
■

Zatem, dla pewnego zbioru Ω̃ ⊆ Ω o prawdopodobieństwie 1, dla ustalonych wartości ω ∈ Ω̃, t < T, ciąg M_{n}(ω, t) stabilizuje się, tzn. dla n, m ≥ n_{0}(w, t), M_{m}(ω, t) = M_{n}(ω, t). Pozwala nam to wprowadzić następującą definicję

Definicja 8 Jedyny (modulo nieodróżnialność) proces (M(t))_{t∈[0,T)}, taki że dla każdego n ∈ ℕ

∫ 1_{[0,τ_{n}]}(s)X(s)dW (s) = M^{τ_{n}},

gdzie wyrażenie po lewej stronie oznacza całkę Itô, nazywamy całką stochastyczną procesu X i oznaczamy

M(t) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} XdW.

Własności całki stochastycznej

1. M nie zależy od ciągu definiującego τ_{n}, tzn. gdybyśmy zamiast ciągu τ_{n} zdefiniowanego wzorem (3.4), użyli w definicji innego ciągu momentów zatrzymania τ′_{n}, takiego że τ′_{n} ↗ τ oraz X1_{[0,τ′_{n}]} ∈ L_{T}^{2} (są to jedyne własności, z których korzystaliśmy, konstruując całkę ∫ XdW), w wyniku dostalibyśmy ten sam proces.

2. ∫_{0}^{0} XdW = 0, ponadto ∫ XdW ma ciągłe trajektorie (wynika to bezpośrednio z konstrukcji, gdzie całkę stochastyczną otrzymaliśmy poprzez sklejanie procesów ciągłych).

3. Istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ τ, taki że dla każdego n ∈ ℕ, (∫ XdW)^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c} (co również wynika bezpośrednio z konstrukcji). Własność ta jest ważna i zostanie wraz z konsekwencjami dokładniej przedyskutowana w dalszej części wykładu (patrz Def. 9)

4. Zachodzi analog Twierdzenia 2, tzn. jeśli X ∈ Λ_{T}^{2} oraz τ ≤ T jest momentem stopu, to również X1_{[0,τ]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz

∫_{0}^{t∧τ} XdW = ∫ 1_{[0,τ]}XdW.

5. Przekształcenie Λ_{T}^{2} ∋ X ↦ ∫ XdW jest liniowe.

6. Zachodzi nierówność Dooba, tzn. dla dowolnego momentu zatrzymania τ ≤ T

E(sup_{t<τ}(∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2}) ≤ 4E ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2}ds

Przyjrzyjmy się teraz bliżej własności 3), która ukazuje istotną różnicę między całką izometryczną Ito, a jej rozszerzeniem na Λ_{T}^{2} . Całka Ito jest z definicji ciągłym martyngałem, własność 3) jest więc dla niej oczywista, momenty zatrzymania τ_{n} mogą być wręcz deterministyczne. Okazuje się, że dla X ∈ Λ_{T}^{2} , proces M = ∫ XdW nie musi być martyngałem (może się wręcz zdarzyć, że E|M_{t}| = ∞), niemniej może być w pewnym sensie przybliżany przez martyngały. Jest to bardzo użyteczna własność, motywująca wprowadzenie ogólniejszej definicji.

Definicja 9 Proces adaptowany (M_{t})_{t∈[0,T)} nazwiemy martyngałem lokalnym, jeśli istnieje ciąg momentów stopu τ_{n} ↗ T, taki że dla każdego n, proces M^{τ_{n}} jest martyngałem. Ciąg τ_{n} nazywamy wówczas ciągiem lokalizującym M.

Łatwo sprawdzić, że proces M jest ciągłym martyngałem lokalnym, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg momentów zatrzymania jak w Definicji 9, o tej własności, że dla każdego n, proces M^{τ_{n}} jest ciągłym martyngałem. Co więcej, dla każdego ciągłego martyngału lokalnego istnieje ciąg τ_{n} ↗ T, taki że M^{τ_{n}} ∈ M^{2,c}.

Własność 3) oznacza więc, że całka stochastyczna jest martyngałem lokalnym. Przy pewnych dodatkowych założeniach możemy jednak wnioskować, że całka stochastyczna jest martyngałem, o czym mówi następujące

Twierdzenie 3 Jeśli dla każdego t < T, E ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds < ∞, to M = ∫ XdW jest martyngałem.

Dowód. W definicji martyngału rozpatrujemy jedynie pary M(t_{1}), M(t_{2}), przy t_{1}, t_{2} < T, a nasze założenia mówią, że na odcinkach [0, t], t < T, proces M może być zdefiniowany jako całka Ito, więc jest martyngałem.

■

Na zakończenie rozdziału podamy jeszcze kilka własności martyngałów lokalnych, których udowodnienie pozostawimy jako ćwiczenie.

Twierdzenie 4 Każdy ciągły i ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem, zaś każdy ciągły, nieujemny martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

Całkowanie przez części

4.1 Proces wariacji kwadratowej

Uwaga 8 Można powtórzyć całą poprzednią dyskusję (teoria całki), biorąc zamiast W (proces Wienera) dowolny martyngał M ∈ M^{2,c} taki, że istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki:

1. adaptowalny,

2. ciągły, niemalejący, ⟨M⟩(0) = 0,

3. M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem. Pokazaliśmy na przykład, że jeśli M = ∫_{0}^{t} XdW, to ⟨M⟩(t) = ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds. Twierdzenie 5 (Tw. Dooba-Meyera) Dla każdego M ∈ M^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki 1.-4. (patrz np. książka Karatzas-Shreve). Definiujemy przestrzenie L_{T}^{2} (M) jako klasę procesów prognozowalnych, takich, że

E ∫_{0}^{T} X(s)^{2}d⟨M⟩ < ∞.

Dla ułatwienia L_{T}^{2} = L_{T}^{2} (W). Podobnie Λ_{T}^{2} (M) oznacza przestrzeń procesów prognozowalnych takich, że

∫_{0}^{t} X(s)^{2}d⟨M⟩ < ∞, p.n., dla t < T.

Uwaga 9 Proces ⟨M⟩ jest wyznaczony jednoznacznie.

Twierdzenie 6 Niech M ∈ M^{2,c}, t < T, a (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych odcinka [0, t]. To znaczy

0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n} < ... < t_{m_{n}}^{n} = t

oraz max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 jeśli n → ∞. Definiujemy

V_{n}(M, t) = ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))^{2}.

Wówczas lim_{n→∞} V_{n}(M, t) = ⟨M⟩(t) w L^{1}(Ω).

Dowód. Potrzebujemy dwóch prostych faktów (na ćwiczenia).

Lemat 2 Niech ξ_{n} n = 1, 2, ... będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni (Ω, F, P). Niech zbiory A_{k} ∈ F, k = 1, 2, ..., będą takie, że A_{k} ↗ Ω, a ciąg (1_{A_{k}}ξ_{n})_{n} zbiega według P. Wówczas (ξ_{n})_{n} zbiega według P.

Lemat 3 Jeśli ξ_{n} ⩾ 0, ξ_{n} →^{P} ξ oraz Eξ_{n} = Eξ < ∞, to ξ_{n} → ξ w L^{1}(Ω).

Można założyć, że M(0) = 0 zastępując M procesem M − M(0). W istocie wystarczy pokazać, że ⟨M →= ⟨M − M(0)⟩ oraz V_{n}(M, t) = V_{n}(M − M(0), t). Mamy

(M − M(0))^{2} − ⟨M⟩ = M^{2} − ⟨M⟩ + 2M(0)M + M^{2}(0).

Każdy z trzech składników jest martyngałem (sprawdzić!). Suma martyngałów jest martyngałem, a zatem z jednoznaczności procesu wariacji kwadratowej wynika, że ⟨M⟩ = ⟨M − M(0)⟩. Oczywiście V_{n}(M, t) = V_{n}(M − M(0), t).

(1) Załóżmy, że M jest ograniczony, M(t, ω) ⩽ C, dla t, ω. Przypomnijmy, że

M(t)^{2} = V_{n}(M, t) + 2 ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j})).  (4.1)

Niech N_{n}(t) := ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})). Ponadto niech

X_{n}(s) := ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})1_{(t_{j}^{n},t_{j+1}^{n}]}(s).

Oczywiście X_{n} ∈ E. Zauważmy, że N_{n}(t) = ∫_{0}^{t} X_{n}dM. Ponieważ X_{n} → M p.n. oraz w L_{t}^{2}(M), więc dobrze zdefiniowany jest proces N = ∫ MdM w M_{t}^{2,c}. Zauważmy, że

V_{n}(M, t) = M(t)^{2} − 2N_{n}(t) → M(t)^{2} − 2N(t) w L^{2}(Ω).

Z definicji M(t)^{2} − 2N(t) nie zależy od wyboru ciągu podziałów. Niech s < t, możemy brać podziały normalne [0, t] zawierające punkt s. Dla takich podziałów V_{n}(M, s) ⩽ V_{n}(M, t). Stąd

M(s)^{2} − 2N(s) ⩽ M(t)^{2} − 2N(t).

Z ciągłości M, N wynika ciągłość M^{2} − 2N. Zatem M^{2} − 2N jest ciągły , rosnący, 0 w 0. Ponieważ N jest martyngałem, więc M^{2} − (M^{2} − 2N) jest martyngałem. Stąd M^{2} − 2N = ⟨M⟩.

(2) Niech M ∈ M^{2,c}, τ_{n} ↗ T takie, że M^{τ_{k}} jest ograniczonym martyngałem. Na przykład τ_{k} := inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Z punktu (1) wiemy

V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → ⟨M^{τ_{k}}⟩(t), w L^{2}(Ω).

Potrzebujemy następującej obserwacji (na ćwiczenia).

Lemat 4 Zachodzi równość ⟨M^{τ_{k}}⟩ = ⟨M⟩^{τ_{k}}

Zauważmy, że dla k ∈ ℕ

1_{{t⩽τ_{k}}}V_{n}(M, t) = 1_{{t⩽τ_{k}}}V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → 1_{{t⩽τ_{k}}}⟨M^{τ_{k}}⟩(t) = 1_{{t⩽τ_{k}}}⟨M⟩(t),

gdzie zbieżność jest w sensie L^{2}(Ω), a więc i względem P. Ponieważ, {t ⩽ τ_{k}} ↗ Ω, więc na mocy Lematu 2 dostajemy, że V_{n}(M, t) → ⟨M⟩(t) względem P.

(3) Żeby pokazać, zbieżność w L^{1}(Ω) potrzebujemy następującego oszacowania (na ćwiczenia).

Lemat 5 Niech M, M′ ∈ M^{2,c}, M(0) = M′(0) = 0. Zachodzi nierówność

E|V_{n}(M, t) − V_{n}(M′, t)| ⩽ ∥M − M′∥^{2} + 2∥M′∥∥M − M′∥.

Niech teraz τ_{k} będzie jak w (2). Z twierdzenia Dooba wynika

E sup_{k} M^{2}(τ_{k} ∧ t) ⩽ 4EM^{2}(t),

co implikuje, że M(τ_{k} ∧ t) → M(t) w L^{2}(Ω). Zatem z Lematu 5 wynika zbieżność V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → ⟨M⟩(t) względem P. Ponadto

EV_{n}(M, t) ← EV_{n}(M^{τ_{k}}, t) = E(M^{τ_{k}})^{2}(t) → E⟨M⟩(t).

To znaczy EV_{n}(M, t) = E⟨M⟩(t). Z Lematu 3 wynika zbieżność V_{n}(M, t) → ⟨M⟩(t) w L^{1}(Ω).

■

Wniosek 4 Wariacja kwadratowa całki stochastycznej. Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, M = ∫ XdW, wówczas

1. X ∈ L_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds w L^{1}(Ω);

2. X ∈ Λ_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds względem P.

Dowód. Punkt (1) wynika z Twierdzenia 6. Punkt (2) dostajemy z Lematu 2.

■

4.2 Iloczyn skośny

Definicja 10 Niech M, N ∈ M^{2,c}. Definiujemy

⟨M, N⟩ := \frac{1}{4}(⟨M + N⟩ − ⟨M − N⟩).

Proces ten będziemy nazywać iloczynem skośnym procesów M, N.

Stwierdzenie 4 Tak zdefiniowany proces ⟨M, N⟩ jest jedynym procesem ciągłym, 0 w 0, o trajektoriach o wahaniu skończonym ma każdym przedziale ograniczonym takim, że MN − ⟨M, N⟩ jest martyngałem. Co więcej, dla każdego ciągu podziałów normalnych (t_{j}^{n})_{n}, to znaczy spełniającego warunki

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 gdy n → ∞,

zachodzi

∑_{j=0}^{n_{m}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(N(t_{j+1}^{n}) − N(t_{j}^{n})) →^{L_{1}} ⟨M, N⟩.

Dowód. Warto zwrócić uwagę, że dla a, b ∈ ℝ

ab = \frac{1}{4}((a + b)^{2} − (a − b)^{2}).

Ponadto (M + N)^{2} − ⟨M + N⟩ i (M − N)^{2} − ⟨M − N⟩ są martyngałami. Zatem z uwagi powyżej i z Twierdzenia 6 wynika teza stwierdzenia.

■

Własności iloczynu skośnego

1. ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩;

2. ⟨M, N⟩ jest dwuliniowy; 3. Jeśli M ∈ M^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M), to

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ 1_{(0,τ]}XdM.

4. Zachodzi równość M_{loc}^{c} = M_{loc}^{2,c}. To znaczy każdy martyngał lokalny, ciągły jest w klasie martyngałów lokalnych, ciągłych całkowalnych z kwadratem. Przypomnijmy, że M ∈ M_{loc}^{c} jeśli M jest ciągły, a ponadto istnieje ciąg lokalizujący momentów zatrzymania (τ_{n})_{n} taki, że τ_{n} ↗ T i M^{τ_{n}} jest martyngałem.

5. Dla dowolnego M ∈ M_{loc}^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ rosnący, 0 w 0 i taki, że M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem lokalnym. To znaczy τ_{n} ↗ T, M^{τ_{n}} ∈ M^{2,c} oraz (M^{τ_{n}})^{2} − ⟨M^{τ_{n}}⟩ jest martyngałem (na ćwiczenia).

W konsekwencji całka stochastyczna ∫ XdM jest dobrze zdefiniowana dla procesów z klasy Λ_{T}^{2} (M), gdzie M ∈ M_{loc}^{2,c}, oraz

∫_{0}^{t} X^{2}(s)d⟨M⟩ < ∞ p.n.

Zauważmy, że ∫ XdM jest, przy takich założeniach, martyngałem lokalnym takim, że

∫_{0}^{t∧τ_{k}} XdM := ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{k})}XdM^{τ_{k}}.

Poprawność tej definicji zostanie wykazana na ćwiczeniach.

6. Definicja ⟨M, N⟩ rozszerza się dla dowolnych M, N ∈ M_{loc}^{2,c}.

7. Z Wniosku 4 wynika, że jeśli M = ∫ XdW, X ∈ Λ_{T}^{2} , to

V_{n}(M, t) →^{P} ∫ X^{2}ds czyli ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds.

Niech teraz M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, X, Y ∈ Λ_{T}^{2} . Wówczas

⟨M, N⟩ = ∫ XY ds.

8. To samo co w powyższym punkcie zachodzi gdy zamiast pary (W, t), weźmiemy (M, ⟨M⟩).

Definicja 11 Proces Y nazywamy lokalnie ograniczonym, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że Y^{τ_{n}} − Y (0) jest ograniczony.

Na przykład jeśli Y ciągły, to jest lokalnie ograniczony. Istotnie wystarczy wziąć τ_{n} = {t : |Y (t) − Y (0)| ⩾ n}. Warto też zwrócić uwagę, że jeśli Y jest lokalnie ograniczony, to Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) dla dowolnego martyngału M ∈ M_{loc}^{2,c} (na ćwiczenia).

Stwierdzenie 5 Zachodzą następujące fakty

1. Niech X ∈ L_{T}^{2} , Y -prognozowalny ograniczony. Definiujemy M = ∫ XdW, wówczas ∫ Y dM = ∫ XY dW.

2. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} , Y -prognozowalny, lokalnie ograniczony, to zachodzi ten sam wzór co w punkcie 1., czyli ∫ Y dM = ∫ XY dW.

Dowód. (Punkt 1.) Niech X ∈ E, Y = η_{0}1_{0} + ∑_{j=1}^{m−1} η_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}, η_{j} ograniczone F_{t_{j}} mierzalne

∫_{0}^{t} Y dM = ∑_{j=1}^{m−1} η_{j}(M(t_{j+1} ∧ t) − M(t_{j} ∧ t)) =

= ∑_{j=1}^{m−1} η_{j} ∫_{0}^{t_{j+1}∧t} XdW − ∫_{0}^{t_{j}∧t} XdW = ∑_{j=1}^{m−1} η_{j} ∫_{t_{j}∧t}^{t_{j+1}∧t} XdW =

= ∑_{j=1}^{m−1} ∫_{t_{j}∧t}^{t_{j+1}∧t} η_{j}XdW = ∫_{0}^{t} Y dW.

Niech teraz Y_{n} ∈ E, Y_{n} → Y w L_{T}^{2} (M). To znaczy

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ → 0, gdy n → ∞.

Zauważmy (Własność 6.), że ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds. Zatem

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ = E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}X(s)^{2}ds.

Stąd

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s)X(s) − Y (s)X(s)|^{2}ds → 0 gdy n → ∞,

co oznacza, że Y_{n}X → Y X w L_{T}^{2} (W). (Punkt 2.) (na ćwiczenia)

■

Uwaga 10 Teza Stwierdzenia 4 pozostaje prawdziwa, gdy zamiast W, weźmiemy dowolny martyngał Z ∈ M^{2,c}.

4.3 Całkowanie przez części

Udowodnimy teraz zasadniczy wzór, jak się okaże niezbędny przy dowodzeniu wzoru Ito.

Twierdzenie 7 Niech X, Y ∈ Λ_{T}^{2} , M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, wówczas

MN = ∫ MdN + ∫ NdM + ∫ XY ds =
= ∫ MY dW + ∫ NXdW + ∫ XY ds.

Zauważmy, że druga równość wynika ze Stwierdzenia 4 (dla procesów lokalnie ograniczonych). Pierwsza równość wynika ze znacznie ogólniejszego faktu.

Twierdzenie 8 Niech M, N ∈ M_{loc}^{2,c}, wówczas

MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

Dowód. (1) Po pierwsze zauważmy, że całki ∫ MdN, ∫ NdM są dobrze określone, bo M, N są adaptowalne i ciągłe (stąd prognozowalne i lokalnie ograniczone). Zatem M ∈ Λ_{T}^{2} (N), N ∈ Λ_{T}^{2} (M). Zauważmy, że

⟨∫ MdN⟩ = ∫ M^{2}d⟨N⟩, ⟨∫ NdM⟩ = ∫ N^{2}d⟨M⟩.

(2) Można założyć, że M(0) = N(0) = 0. Istotnie z definicji

⟨M − M(0), N − N(0)⟩ = ⟨M, N⟩,
∫ Nd(M − M(0)) = ∫ NdM, ∫ Md(N − N(0)) = ∫ MdN

oraz ∫ M(0)dN = M(0)(N − N(0)), ∫ N(0)dM = N(0)(M − M(0)). Jeśli zatem pokażemy twierdzenie dla M − M(0), N − N(0), to

(M − M(0))(N − N(0)) = ∫ (M − M(0))d(N − N(0)) +
+ ∫ (N − N(0))d(M − M(0)) + ⟨(M − M(0)), (N − N(0))⟩ =
= ∫ MdN − M(0)(N − N(0)) + ∫ NdM − N(0)(N − N(0)) + ⟨M, N⟩.

Wystarczy zauważyć, że

(M − M(0))(N − N(0)) = MN − M(0)(N − N(0)) − N(0)(N − N(0)) + M(0)N(0).

Zatem zachodzi równość MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

(3) Wystarczy udowodnić tezę dla M = N, to znaczy

M^{2} = 2 ∫ MdM + ⟨M⟩.

Istotnie stosując powyższą równość do M + N, M − N dostajemy

MN = \frac{1}{4}((M + N)^{2} − (M − N)^{2}) = \frac{1}{4}(2 ∫ (M + N)d(M + N) + ⟨M + N⟩ −

−2 ∫ (M − N)d(M − N) − ⟨M − N⟩) = ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩,

gdzie w ostatniej linijce skorzystaliśmy ze wzoru na ⟨M, N⟩ oraz z liniowści całki stochastycznej, to znaczy

∫ (X + Y)d(Z_{1} + Z_{2}) = ∫ XdZ_{1} + ∫ XdZ_{2} + ∫ Y dZ_{1} + ∫ Y dZ_{2}.

Dokonane uproszczenia pozwalają nam przystąpić do zasadniczego dowodu.

(4) Niech τ_{n} = inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Zatem M^{τ_{n}} jest martyngałem ograniczonym. Przypomnijmy, że analogicznie jak dla procesu Wienera można pokazać, że

(M^{τ_{n}})^{2} = 2 ∫ M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} + ⟨M^{τ_{n}}⟩.  (4.2)

Zachodzi równość ⟨M⟩^{τ_{n}} = ⟨M^{τ_{n}}⟩, a ponadto

∫_{0}^{t} M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} M^{τ_{n}}dM = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} 1_{[0,τ_{n}]}M^{τ_{n}}dM =
= ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}MdM = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} MdM.

Przechodząc z n do ∞ w równości

(M^{τ_{n}})^{2}(t) = 2 ∫_{0}^{t∧τ_{n}} MdM + ⟨M⟩^{τ_{n}}(t)

kończymy dowód twierdzenia.

■

Definicja 12 Oznaczmy przez V^{c} procesy ciągłe adaptowalne o skończonym wahaniu na każdym odcinku [0, t] ⊂ [0, T).

Lemat 6 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, A ∈ V^{c}, wówczas

MA = M(0)A(0) + ∫ AdM + ∫ MdA,

gdzie całka ∫ AdM jest całką stochastyczną, a ∫ MdA zwykłą całką Stiltjesa (zdefiniowaną dla każdego ω).

Dowód. (1) Można założyć, że M(0) = A(0) = 0 oraz, że M, A są ograniczone.

(2) Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, to znaczy

t < T, 0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n}... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 gdy n → ∞.

Wówczas

M(t)A(t) = ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) +

+ ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) + ∑_{j=1}^{m_{n}} A(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})).

Zauważmy, że

∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) → ∫_{0}^{t} MdA, ∑_{j=0}^{m_{n}−1} A(t_{j−1}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})) → ∫_{0}^{t} AdM

oraz

| ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n}))| ⩽

⩽ \sqrt{( ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))^{2})( ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n}))^{2})} ⩽

⩽ ⟨M⟩(t) max_{j} |A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})|∥A∥(t) → 0,

gdzie ∥A∥(t) oznacza wahanie procesu A w punkcie t.

■

Mamy więc wzory na całkowanie przez części dla M, N ∈ M_{loc}^{2,c} jak również w przypadku gdy A ∈ V^{c}, M ∈ M_{loc}^{2,c}. Dla kompletnego zobrazowania zjawiska potrzebujemy następującego lematu.

Lemat 7 Jeśli A, B ∈ V^{c}, to

AB = A(0)B(0) + ∫ AdB + ∫ BdA.

Dowód lematu przebiega podobnie jak dowód Lematu 6.

Wzór Ito

Zaczniemy od następującego faktu (twierdzenia o zbieżności zdominowanej całek stochastycznych).

Stwierdzenie 6 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, X_{n} prognozowalne takie, że

X_{n}(t, ω) → X(t, ω).

Zakładamy ponadto, że X_{n} są zdominowane, to znaczy istnieje Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) takie, że |X_{n}(t, ω)| ⩽ Y (t, ω). Wówczas X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M) oraz

∫_{0}^{t} X_{n}dM →^{P} ∫_{0}^{t} XdM.

Dowód. Jest jasne, że X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M) (bo Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) dominuje te zmienne). Ponadto

∫_{0}^{t} X_{n}^{2}d⟨M⟩ ⩽ ∫_{0}^{t} Y^{2}⟨M⟩ < ∞.

Załóżmy, że τ_{k} jest ciągiem lokalizującym, czyli M^{τ_{k}} ∈ M_{T}^{2,c}. Twierdzenie o zatrzymywaniu całki stochastycznej daje nam 1_{(0,τ_{k}]}Y ∫ L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}). Zatem z nierówności 1_{(0,τ_{k}]}X_{n}^{2} ⩽ 1_{(0,τ_{k}]}Y wynika, że również 1_{(0,τ_{k}]}X_{n} ∈ L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}). Z klasycznego twierdzenia Lebesgue’a o zmajoryzowanej zbieżności

1_{(0,τ_{k}]}X_{n} → 1_{(0,τ_{k}]}X, w L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}).

Czyli

E ∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}(X_{n} − X)^{2}d⟨M⟩ → 0, gdy, n → ∞.

Co daje zbieżność w L^{2}(Ω)

∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}X_{n}dM^{τ_{k}} → ∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}XdM^{τ_{k}}

Zatem z definicji

∫_{0}^{t∧τ_{k}} X_{n}dM → ∫_{0}^{t∧τ_{k}} XdM

Uwaga, że A_{k} = {τ_{k} ⩾ t} ↗ Ω razem z Lematem 2 kończy dowód stwierdzenia.

■

Kluczowym pojęciem w teorii całki stochastycznej jest pojęcie semimartyngału.

Definicja 13 Proces Z(t), t < T nazywamy semimartyngałem ciągłym jeśli

Z = Z(0) + M + A, gdzie

Z(0) jest F_{0} mierzalne, M ∈ M_{loc}^{2,c} natomiast A ∈ V^{c}. Ponadto M(0) = A(0) = 0.

Uwaga 11 Jeśli Z = Z(0) + M + A semimartyngałem ciągłym, to M, A są wyznaczone jednoznacznie.

Dowód. Korzystamy z argumentu dyskutowanego na ćwiczeniach. Gdyby istniały dwa przedstawienia Z = Z(0) + M + A, Z = Z(0) + M′ + A′, to

M − M′ = −(A − A′) ∈ V^{c}.

Ponadto M − M′ ∈ M_{loc}^{2,c} oraz M(0) − M′(0) = 0. Stąd M − M′ ≡ 0. Pokazaliśmy wprawdzie ten fakt dla martyngałów, ale przez zatrzymywanie można go rozszerzyć na martyngały lokalne.

■

Najważniejszym przykładem są procesy

Z = Z(0) + ∫ XdW + ∫ Y ds,

gdzie X ∈ Λ_{T}^{2} , Y prognozowalny, mierzalny.

Wniosek 5 Jeśli Z_{1}, Z_{2} są semimartyngałami ciągłymi, to Z_{1}Z_{2} też jest semimartyngałem. Ponadto jeśli

Z_{1} = Z_{1}(0) + M_{1} + A_{1}, Z_{2} = Z_{2}(0) + M_{2} + A_{2}.

to

Z_{1}Z_{2} = Z_{1}(0)Z_{2}(0) + ∫ Z_{1}dZ_{2} + ∫ Z_{2}dZ_{1} + ⟨M_{1}, M_{2}⟩.  (5.1)

Definicja 14 Niech Z_{1}, Z_{2} będą semimartyngałami takimi, że Z_{1} = Z_{1}(0) + M_{1} + A_{1}, Z_{2} = Z_{2}(0) + M_{2} + A_{2}. Dla uproszczenia zapisu definiujemy ⟨Z_{1}, Z_{2}⟩ = ⟨M_{1}, M_{2}⟩.

W myśl powyższej uwagi wzór na całkowanie przez części przyjmuje szczególnie prostą postać

Z_{1}Z_{2} = Z_{1}(0)Z_{2}(0) + ∫ Z_{1}dZ_{2} + ∫ Z_{2}dZ_{1} + ⟨Z_{1}, Z_{2}⟩.

Zachodzi następujące uogólnienie Uwagi 10.

Uwaga 12 Niech Z = Z(0) + M + A będzie semimartyngałem. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} (M), Y -prognozowalny, lokalnie ograniczony. Definiujemy Z′ = ∫ XdZ. Zachodzi równość

∫ Y dZ′ = ∫ XY dZ.

Twierdzenie 9 (Wzór Ito) Niech Z = Z(0) + M + A będzie ciągłym semimartyngałem. Niech f : ℝ → ℝ, będzie klasy C^{2}. Wówczas zachodzi wzór

f(Z(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z(s))dZ(s) + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z(s))d⟨M⟩(s).

Innymi słowy f(Z) jest semimartyngałem, działanie funkcji f na semimartyngały (to znaczy Z → f ∘ Z) nie wyprowadza poza tą klasę.

Dowód. Warto zwrócić uwagę, że całki powyższych wzorach są dobrze określone. Ponadto wystarczy pokazać twierdzenie dla każdego t z osobna, bo stąd już wynika równość w sensie nieodróżnialności. (Np. dlatego, że trajektorie procesów po lewej i prawej stronie są ciągłe, a zatem równość na przeliczalnym zbiorze indeksów daje równość trajektorii). Będziemy systematycznie upraszczać zagadnienie.

(1) Można założyć, że Z(0) jest ograniczone. Istotnie jeśli Z(0) nie jest ograniczone, to możemy zdefiniować

Z_{n}(0) := Z(0)1_{{|Z(0)|⩽n}}.

Niech Z_{n} := Z_{n}(0)+M +A. Zauważmy, że Z_{n}(t) → Z(t) p.n. dla każdego t ⩽ T. Ponadto

|f′(Z_{n}(s)| ⩽ sup_{n⩾1}|f′(Z_{n}(s))| ⩽ C(t), dla s ⩽ t,

gdzie C(t) jest zmienną losową. Stąd wynika, że sup_{n⩾1} |f′(Z_{n})| ∈ Λ_{T}^{2} (M), gdyż

∫_{0}^{t} sup_{n⩾1}|f′(Z_{n})|d⟨M⟩ ⩽ C(t)⟨M⟩(t) < ∞.

Zatem na mocy Stwierdzenia 6 dostajemy, że

∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dM →^{P} ∫_{0}^{t} f′(Z)dM.

Ponieważ w oczywisty sposób pozostałe całki we wzorze Ito zbiegają według P, więc po lewej stronie mamy ciąg zmiennych ξ_{n} := f(Z_{n})(t) zbieżny p.n. do ξ := f(Z)(t), a po prawej ciąg zmiennych

η_{n} := f(Z_{n}(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dZ_{n} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{n})d⟨M⟩(s)

zbieżny według P do zmiennej η. Równość ξ_{n} = η_{n} wraz z jednoznacznością granic dają ξ = η.

(2) Można założyć, że Z jest ograniczony. Przypuśćmy, że mamy wzór Ito dla Z ograniczonych. Niech Z dowolny taki, że Z(0) ograniczony. Definiujemy momenty zatrzymania

τ′_{n} := inf{t |M(t)| ⩾ n} ∧ T; τ′′_{n} := inf{t |A(t)| ⩾ n} ∧ T.

Niech wreszcie τ_{n} := τ′_{n} ∧ τ′′_{n}. Mamy τ_{n} ↗ T, ponadto

Z_{n} := Z(0) + M^{τ_{n}} + A^{τ_{n}}

jest semimartyngałem ciągłym, ograniczonym. Zauważmy, że Z_{n}(t) → Z(t) p.n. Ponadto jeśli wzór Ito jest prawdziwy dla Z_{n}, to

f(Z_{n}(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dM^{τ_{n}} + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dA^{τ_{n}} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{n})d⟨M^{τ_{n}}⟩ =

= f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{n})dM + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{n})dA\frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z_{n})d⟨M⟩.

Dla s ⩽ τ_{n} mamy równości A^{τ_{n}}(s) = A(s), M^{τ_{n}}(s) = M(s), Z_{n}(s) = Z(s). Stąd wynika

f(Z_{n}(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z)d⟨M⟩.

Pozostaje zauważyć, że

p.n. f(Z) ← f(Z_{n}) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z)d⟨M⟩ →

→ f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z)d⟨M⟩ p.n.

Możemy przejść do najważniejszej części dowodu.

(3) Wystarczy pokazać wzór Ito dla wielomianu. Przypuśćmy, że wiemy, że wzór Ito jest prawdziwy dla wielomianu. Ponieważ f jest klasy C^{2}, więc istnieje ciąg wielomianów f_{n} taki, że

f_{n} → f, f′_{n} → f′, f′′_{n} → f′′, jednostajnie na [−k, k],

gdzie k dowolne naturalne. Zauważmy, że skoro Z jest ograniczony, to istnieje k ∈ ℕ takie, że Z(s) ∈ [−k, k] dla każdego s ⩽ t. Zatem f_{n}(Z) → f(Z) jednostajnie. Podobnie ponieważ

|f′_{n}(Z(s))| ⩽ sup_{n} sup_{x∈[−k,k]} |f′(x)| ⩽ C < ∞,

(jest oczywiste, proces stały C ∈ Λ_{T}^{2} (M)), więc korzystając ze Stwierdzenia 6

∫_{0}^{t} f′_{n}(Z)dZ → ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ, według P.

Analogicznie dla f′′_{n}(Z) dostajemy zbieżność

∫_{0}^{t} f′′_{n}(Z)d⟨M⟩ → ∫_{0}^{t} f′(Z)d⟨M⟩, według P.

Zatem znowu korzystając z jednoznaczności granic dostajemy

f(Z(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z)d⟨M⟩.

Pozostaje nam sprawdzić wzór Ito dla wielomianów.

(4) Zauważmy najpierw, że obie strony wzoru Ito są liniowe względem f. Wystarczy zatem sprawdzić wzór Ito dla f = x^{n}, n ∈ ℕ. Dla f ≡ 1 wzór Ito jest oczywisty. Udowodnimy teraz, że jeśli wzór Ito jest prawdziwy dla wielomianu f to jest prawdziwy dla g(x) ≡ xf(x). Potrzebujemy wzorów

g′(x) = f(x) + xf′(x), g′′(x) = 2f′(x) + xf′′(x).

W istocie musimy wykazać, że

g(Z(t)) = Z(t)f(Z(t)) = Z(0)f(Z(0)) + ∫_{0}^{t}(f(Z) + Zf′(Z))dZ +

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(2f′(Z) + Zf′′(Z))d⟨M⟩ = g(Z(0)) + ∫_{0}^{t} g′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} g′′(Z)d⟨M⟩.

Zauważmy, że do Zf(Z) możemy zastosować wzór na całkowanie przez części. To znaczy

Zf(Z) = Z(0)f(Z(0)) + ∫ Zdf(Z) + ∫ f(Z)dZ + ⟨Z, f(Z)⟩.

Korzystając ze wzoru Ito dla f mamy równość

∫ Zdf(Z) = ∫ Zd(∫ f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)⟨M⟩)

Warto przypomnieć, że ∫ Zdf(Z) = ∫ Zd(f(Z) − f(0)). Na mocy Uwagi 12

∫ Zd(∫ f′(Z)dZ) = ∫ Zf′(Z)dZ.  (5.2)

Podobnie

∫ Zd(\frac{1}{2} ∫ f′′(Z)⟨M⟩) = \frac{1}{2} ∫ Zf′′(Z)d⟨M⟩.  (5.3)

Pozostaje obliczyć ⟨Z, f(Z)⟩. Ze wzoru Ito

f(Z) = f(Z(0)) + ∫ f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)d⟨M⟩ =

= f(Z(0)) + ∫ f′(Z)d(M + A) + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)d⟨M⟩

a zatem martyngałem lokalnym w rozkładzie f(Z) jest ∫ f′(Z)dM. Z definicji

⟨Z, f(Z)⟩ = ⟨M, ∫ f′(Z)dM⟩ = ⟨∫ 1dM, ∫ f′(Z)dM⟩.

Zatem z własności nawiasu skośnego

⟨Z, f(Z)⟩ = ∫ f′(Z)⟨M⟩.  (5.4)

Równości (5.2), (5.3), (5.4) dają Z(0)f(Z(0)) + ∫ Zdf(Z) + ∫ f(Z)dZ + ⟨Z, f(Z)⟩ =

= Z(0)f(Z(0)) + ∫ (f(Z) + Zf′(Z))dZ + \frac{1}{2} ∫ (f′(Z) + Zf′′(Z))⟨M⟩.

Zatem wzór Ito jest prawdziwy dla funkcji g. To kończy dowód twierdzenia.

■

Możemy sformułować wersję wielowymiarową twierdzenia Ito. Twierdzenie 10 Niech Z_{1}, ..., Z_{d} będą semimartyngałami ciągłymi, f : ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2}. Oznaczmy Z = (Z_{1}, ..., Z_{d}), Z = Z(0) + M + A. Zachodzi równość

f(Z) = f(Z(0)) + ∫ ∇f(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ ∇^{2}f(Z)d⟨M⟩,

gdzie

∫ ∇f(Z)dZ = ∑_{i=1}^{d} \frac{∂f(Z)}{∂x_{i}},

∫ ∇^{2}f(Z)d⟨M⟩ = ∑_{i,j=1}^{d} ∫ \frac{∂^{2}f(Z)}{∂x_{i}∂x_{j}}d⟨M_{i}, M_{j}⟩.  (5.5)

Charakteryzacje procesu Wienera

6.1 Twierdzenie Levy’ego

Twierdzenie 11 ( TW. Levy’ego) Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M(0) = 0. Proces M jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy M^{2}(t) − t jest martyngałem lokalnym, to znaczy ⟨M⟩(t) = t.

Dowód. Jeśli M = W, to oczywiście ⟨M⟩ = t. Cała trudność jest w dowodzie twierdzenia przeciwnego.

(1) Pokażemy najpierw, że M ∈ M^{2,c}. Niech τ_{n} będzie lokalizacją martyngału lokalnego M. Z definicji M^{2}(t ∧ τ_{n}) − t ∧ τ_{n} jest martyngałem. Stosujemy nierówność Dooba

E sup_{s⩽t}M^{2}(s ∧ τ_{n}) = E sup_{s⩽t∧τ_{n}} M^{2}(s) ⩽ 4EM^{2}(t ∧ τ_{n}).

Z lematu Fatou dostajemy

E sup_{s⩽t}M^{2}(s) ⩽ lim_{n→∞} 4E(t ∧ tau_{n}) = 4 lim_{n→∞}(t ∧ τ_{n}) = 4t.

Czyli

E sup_{s⩽t}M^{2}(s ∧ τ_{n}) ⩽ E sup_{s⩽t}M^{2}(s) ⩽ 4t,  (6.1)

co w szczególności oznacza, że rodzina M^{2}(s) dla s ∈ [0, t] jest jednostajnie całkowalna. Niech s < t. Wiemy, że dla każdego n

E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}),

zatem ponieważ M(t ∧ τ_{n}) → M(t), M(s ∧ τ_{n}) → M(s) p.n., więc

E(M(t)|F_{s}) ← E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}) → M(s), p.n.

Korzystamy tu z faktu, że rodzina zmiennych (M(t ∧ τ_{n})) jest jednostajnie całkowalna (nierówność (6.1)). Pokazaliśmy, że M jest martyngałem oraz EM^{2}(t) < ∞, dla każdego t < ∞, co daje M ∈ M^{2,c}.

(2) Wystarczy pokazać, że dla każdego h ∈ ℝ, t ⩾ s mamy

E(e^{ih(M(t)−M(s))}|F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h^{2}}  (6.2)

W szczególności

E(e^{ih(M(t)−M(s))}) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h^{2}}

czyli przyrosty M(t) − M(s) są gaussowskie. Pokażemy, że z (5.2) wynika niezależność M(t) − M(s) od σ-ciała F_{s}. Równoważnie dla każdej zmiennej η mierzalnej względem F_{s} zmienne M(t) − M(s), η są niezależne. Korzystamy z równości

E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))+ih_{2}η}) = E(E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))+ih_{2}η}|F_{s})) =

= E(e^{ih_{2}η}E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))}|F_{s})) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h_{1}^{2}}E(e^{ih_{2}η}) = E(e^{ih(M(t)−M(s))})E(e^{ih_{2}η}),

dla każdego h_{1}, h_{2} ∈ ℝ, co jest równoważne niezależności M(t) − M(s), η.

(3) Udowodnimy równość (5.2). Stosujemy wzór Ito do funkcji f(x) = e^{ihx}. Wzór Ito dla funkcji o wartościach zespolonych jest prostym uogólnieniem klasycznego wzoru Ito (sprawdza oddzielnie dla części rzeczywistej i urojonej). Mamy wzory

f′(x) = ihe^{ihx}, f′′(x) = −h^{2}e^{ihx}.

Zatem na mocy wzoru Ito zachodzi równość

e^{ihM(t)} = 1 + ih ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}dM(u) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}du =

= e^{ihM(s)} + ∫_{s}^{t} e^{ihM(u)}dM(u) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} e^{ihM(u)}du.

Wiemy, że M ∈ M^{2,c}, oraz |e^{ihM(u)}| = 1, zatem ∫ e^{ihM}dM ∈ L_{t}^{2}(M) (dla każdego t < ∞). Ustalmy dowolny zbiór A ∈ F_{s}. Z definicji martyngału wynika, że

E(1_{A} ∫_{s}^{t} e^{ihM}dM) = E(1_{A}(∫_{0}^{t} e^{ihM}dM − ∫_{0}^{s} e^{ihM}dM)) = 0.

Zatem

E(1_{A}e^{ihM(t)}) = E(1_{A}e^{ihM(s)}) − \frac{h^{2}}{2} E(1_{A} ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}du).

Oznaczmy g(r) := E(1_{A}e^{ihM(u+s)}). Możemy przepisać powyższe równanie

g(t − s) = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} g(u − s)du = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{t−s} g(u)du.

Jest to równanie liniowe, które ma dokładnie jedno rozwiązanie

g(r) = g(0)e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}.

Co oznacza, że

E(1_{A}e^{ihM(t)}) = e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}E(1_{A}e^{ihM(s)}).

Ponieważ tak jest dla każdego A ∈ F_{s}, więc z definicji warunkowej wartości oczekiwanej

E(e^{ihM(t)}|F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}e^{ihM(s)}.

To kończy dowód twierdzenia. Z definicji proces gaussowski, ciągły o przyrostach niezależnych, taki, że EM(t) = 0, EM^{2}(t) = t (wnioski z (5.2) jest procesem Wienera.

■

Zachodzi następujące uogólnienie twierdzenia Levy’ego (na ćwiczenia).

Twierdzenie 12 Niech M_{1}, ..., M_{d} będą martyngałami lokalnymi, M_{i}(0) = 0, i = 1, ..., d. Wówczas M = (M_{1}, ..., M_{d}) jest d-wymiarowym procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

⟨M_{i}, M_{j}⟩(t) = δ_{i,j}t, dla 1 ⩽ i, j ⩽ d.

6.2 Martyngały eksponencjalne

Twierdzenie 13 Niech M będzie procesem ciągłym adaptowalnym, M(0) = 0. Wówczas M jest procesem Wienera względem filtracji (F_{t}) wtedy i tylko wtedy, gdy e^{λM(t)− \frac{λ^{2}}{2} t} dla każdego λ ∈ ℝ jest martyngałem lokalnym.

Dowód. Podobnie jak w twierdzeniu Levy’ego jeśli M = W, to w oczywisty sposób e^{λM(t)− \frac{λ^{2}}{2} t} jest martyngałem lokalnym dla każdego λ ∈ ℝ. Definiujemy momenty zatrzymania

τ_{n} = inf{t : |M(t)| ⩾ n} ∧ n.

Stąd |M(t ∧ τ_{n})| ⩽ n oraz

e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})} ⩽ e^{|λn|}.

Ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem. Niech s < t, A ∈ F_{s}. Mamy równość

E(1_{A}e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}) = E(1_{A}e^{λM(s∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (s∧τ_{n})})  (6.3)

Oznaczmy

g(λ) = e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}.

Mamy

|g′(λ)| = |(M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))g(λ)| ⩽ n(1 + |λ|)e^{n|λ|}.

W szczególności |g′(λ)| ⩽ n(1 + λ_{0})e^{nλ_{0}}, dla |λ| ⩽ λ_{0}. Zatem można przejść z różniczkowaniem pod znak całki w równości (6.3). Stąd

E(1_{A}(M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}) =
= E(1_{A}(M(s ∧ τ_{n}) − λ(s ∧ τ_{n}))e^{λM(s∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (s∧τ_{n})})

w pewnym otoczeniu 0 (|λ| < λ_{0}). Kładąc λ = 0 dostajemy

E(1_{A}M(t ∧ τ_{n})) = E(1_{A}M(s ∧ τ_{n})).

To oznacza, że E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}), czyli M jest martyngałem lokalnym. Analogicznie dowodzi sie, że g′′(λ) ⩽ C(n, λ_{0}), dla |λ| < λ_{0}. Ponadto zachodzą wzory

g′′(λ) = (M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))^{2}g(λ) − (t ∧ τ_{n})g(λ)

oraz

g′′(0) = M^{2}(t ∧ τ_{n}) − (t ∧ τ_{n}).

Zatem możemy dwukrotnie przejść z różniczkowaniem pod znak całki w równości (6.3). Dla λ = 0 dostajemy równość

E(1_{A}(M^{2}(t ∧ τ_{n}) − (t ∧ τ_{n}))) = E(1_{A}(M^{2}(s ∧ τ_{n}) − (s ∧ τ_{n}))),

czyli E(M^{2}(t∧τ_{n})−(t∧τ_{n})|F_{s}) = M^{2}(s∧τ_{n})−(s∧τ_{n}). Stąd M^{2}(t)−t jest martyngałem lokalnym. Na mocy twierdzenia Levy’ego dostajemy tezę.

■

6.3 Zanurzenie Skorohoda

Bibliografia

[1] Elliot, R. (1982) Stochastic calculus and applications. Applications of Mathematics, 18, viii+302 pp., Springer, New York

[2] Karatzas, I. and Shreve, S. (1988). Brownian Motion and Stochastic Calculus Graduate Texts in Mathematics, 113, xxiii+470 pp., Springer, New York.

[3] Wentzel, A.D. (1980). Wykłady z teorii procesów stochastycznych. Podręcznik akademicki, 383 pp., PWN, Warszawa.

[4] Revuz, D. and Yor, M. (1999) Continuous Martingales and Brownian Motion Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 293, 599 pp., Springer, New York.

[5] Watanabe, S. and Ikeda, N. (1981) Stochastic differential equations and diffusion processes. North-Holland Mathematical Library, 24, xiv+464 pp., Kodansha, North-Holland.