Procesy Stochastyczne 2

Radosław Adamczak, Witold Bendorz 12 listopada 2005

Rozdział 1

Całkowanie przez części

1.1 Proces wariacji kwadratowej

Uwaga 1 Można powtórzyć całą poprzednią dyskusję (teoria całki), biorąc zamiast W (proces Wienera) dowolny martyngał M ∈ M^{2,c} taki, że istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki:

1. adaptowalny,

2. ciągły,

3. niemalejący,

4. M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem.

Pokazaliśmy na przykład, że jeśli M = ∫_{0}^{t} XdW, to ⟨M⟩ = ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds.

Twierdzenie 1 (Tw. Dooba-Meyera) Dla każdego M ∈ M^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki 1.-4. (patrz np. książka Karatzas-Shreve).

Definiujemy przestrzenie L_{T}^{2} (M) jako klasę procesów prognozowalnych, takich, że

E ∫_{0}^{T} X(s)^{2}d⟨M(s)⟩ < ∞.

Dla ułatwienia L_{T}^{2} = L_{T}^{2} (W). Podobnie Λ_{T}^{2} (M) oznacza przestrzeń procesów prognozowalnych takich, że

∫_{0}^{T} X(s)^{2}d⟨M(s)⟩ < ∞, p.n.

Uwaga 2 Proces ⟨M⟩ jest wyznaczony jednoznacznie.

Twierdzenie 2 Niech M ∈ M^{2,c}, t < T, a (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych odcinka [0, t]. To znaczy

0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n} < ... < t_{m_{n}}^{n} = t

oraz max_{j}(t_{j}^{n} − t_{j−1}^{n}) → 0 jeśli n → ∞. Definiujemy

V_{n}(M, t) = ∑_{j=1}^{m_{n}}(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n}))^{2}.

Wówczas lim_{n→∞} V_{n}(M, t) = ⟨M⟩ w L^{1}(Ω).

Dowód. Potrzebujemy dwóch prostych faktów (na ćwiczenia).

Lemat 1 Niech ξ_{n} n = 1, 2, ... będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni (Ω, F, P). Niech zbiory A_{k} ∈ F, k = 1, 2, ..., będą takie, że A_{k} ↗ Ω, a ciąg (1_{A_{k}}ξ_{n})_{n} zbiega według P. Wówczas (ξ_{n})_{n} zbiega według P.

Lemat 2 Jeśli ξ_{n} ⩾ 0, ξ_{n} →^{P} ξ oraz Eξ_{n} = Eξ < ∞, to ξ_{n} → ξ w L^{1}(Ω).

Można założyć, że M(0) = 0 zastępując M procesem M − M(0). Oczywiście V_{n}(M, t) = V_{n}(M − M(0), t) oraz ⟨M − M(0)⟩ = ⟨M⟩, czyli (M − M(0))^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem.

1) Załóżmy, że M jest ograniczony, M(t, ω) ⩽ c, dla t, ω. Przypomnijmy, że

M(t)^{2} = V_{n}(M, t) + 2 ∑_{j=1}^{m_{n}} M(t_{j−1}^{n})(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1})).  (1.1)

Niech N_{n} := ∑_{j=1}^{m_{n}} M(t_{j−1}^{n})(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n})). Ponadto niech

X_{n}(s) := ∑_{j=1}^{m_{n}} M(t_{j−1}^{n})1_{(t_{j−1}^{n},t_{j}^{n}]}.

Oczywiście X_{n} ∈ E. Zauważmy, że

N_{n}(t) = ∫_{0}^{t} X_{n}dM.

Ponieważ X_{n} → M p.n. oraz w L_{t}^{2}(M), więc dobrze zdefiniowany jest proces N = ∫ MdM w M_{t}^{2,c}. Zauważmy, że

V_{n}(M, t) = M(t)^{2} − 2N_{n}(t) → M(t)^{2} − 2N(t) w L^{1}(Ω).

Z definicji M(t)^{2} − 2N(t) nie zależy od wyboru ciągu podziałów. Niech s < t. Możemy wziąć podział [0, t] zawierający punkt s. Dla takich podziałów V_{n}(M, s) ⩽ V_{n}(M, t). Stąd

M(s)^{2} − 2N(s) ⩽ M(t)^{2} − 2N(t).

Z ciągłości M, N wynika ciągłość M^{2} − 2N. Zatem M^{2} − 2N jest ciągły , rosnący, 0 w 0. Niech ⟨M⟩ = M^{2}−2N. Ponieważ N jest martyngałem, więc M^{2}−⟨M⟩ jest martyngałem.

2) Niech M ∈ M^{2,c}, τ_{n} ↗ T takie, że M^{τ_{k}} jest ograniczonym martyngałem. Na przykład τ_{k} := inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Z punktu 1) wiemy

V_{n}(M^{τ_{k}}) → ⟨M^{τ_{k}}⟩, w L^{1}(Ω).

Potrzebujemy następującej obserwacji (na ćwiczenia).

Lemat 3 ⟨M^{τ_{k}}⟩ = ⟨M⟩^{τ_{k}}

Zauważmy, że dla k ∈ ℕ

1_{t⩽τ_{k}}V_{n}(M, t) → 1_{t⩽} = 1_{t⩽τ_{k}}V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → 1_{t⩽τ_{k}}⟨M^{τ_{k}}⟩ = 1_{t⩽τ_{k}}⟨M⟩,

gdzie zbieżność jest w sensie L^{1}(Ω), a więc i względem P. Ponieważ, {t ⩽ τ_{k}} ↗ Ω, więc na mocy Lematu 1 dostajemy, że V_{n}(M, t) → V_{n}(M, t) względem P.

3) Żeby pokazać, zbieżność w L^{1}(Ω) potrzebujemy następującego oszacowania (na ćwiczenia).

Lemat 4 Niech M, M′ ∈ M^{2,c}, M(0) = M′(0) = 0. Zachodzi nierówność

E|V_{n}(M, t) − V_{n}(M′, t)| ⩽ ∥M − M′∥^{2} + 2∥M′∥∥M − M′∥.

Niech teraz τ_{k} będzie jak w 2). Jest jasne, że M(τ_{k} ∧ t) → M(t) w L^{2}(Ω). Z twierdzenia Dooba

EM(τ_{k} ∧ t)^{2} ⩽ 4EM(t)^{2}.

Zauważmy, że z 3) wynika V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → V_{n}(M, t) w L^{1}(Ω). Ponadto

EV_{n}(M, t) ← EV_{n}(M^{τ_{k}}, t) = EM^{τ_{k}}(t)^{2} → E⟨M⟩(t).

To znaczy EM^{2}(t) − ⟨M⟩(t) = 0. Z Lematu 2 wynika zbieżność V_{n}(M, t) → ⟨M⟩(t) w L^{1}(Ω).

■

Wniosek 1 Wariacja kwadratowa całki stochastycznej. Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, M = ∫ XdW, wówczas

1. X ∈ L_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds w L^{1}(Ω);

2. X ∈ Λ_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds względem P.

Dowód. Punkt (1) wynika z Twierdzenia 2. Punkt (2) dostajemy z Lematu 1.

■

1.2 Iloczyn skalarny

Definicja 1 Niech M, N ∈ M^{2,c}. Definiujemy

⟨M, N⟩ := \frac{1}{4}(⟨M + N⟩ − ⟨M − N⟩).

Proces ten będziemy nazywać iloczynem skalarnym procesów M, N.

Stwierdzenie 1 Tak zdefiniowany proces ⟨M, N⟩ jest jedynym procesem ciągłym, 0 w 0, o trajektoriach o wahaniu skończonym ma każdym przedziale ograniczonym takim, że MN − ⟨M, N⟩ jest martyngałem. Co więcej, dla każdego ciągu podziałów normalnych (t_{j}^{n})_{n}, to znaczy spełniającego warunki

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j}^{n} − t_{j−1}^{n}) → 0 gdy n → ∞,

zachodzi

∑_{j=1}^{n_{m}}(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n}))(N(t_{j}^{n}) − N(t_{j−1}^{n})) →^{L_{1}} ⟨M, N⟩.

Dowód. Warto zwrócić uwagę, że dla a, b ∈ ℝ

ab = \frac{1}{4}((a + b)^{2} − (a − b)^{2}).

Ponadto (M + N)^{2} − ⟨M + N⟩ i (M − N)^{2} − ⟨M − N⟩ są martyngałami. Zatem z uwagi powyżej i z Twierdzenia 2 wynika teza stwierdzenia.

■

Własności iloczynu skalarnego

1. ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩;

2. ⟨M, N⟩ jest dwuliniowy;

3. Jeśli M ∈ M^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M), to

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ 1_{(0,τ]}XdM.

4. Zachodzi równość M_{loc}^{2,c} = M_{loc}^{c}. To znaczy każdy martyngał lokalny, ciągły jest w klasie martyngałów lokalnych, ciągłych całkowalnych z kwadratem. Przypomnijmy, że M ∈ M_{loc}^{c} jeśli M jest ciągły, a ponadto istnieje ciąg lokalizujący momentów zatrzymania (τ_{n})_{n} taki, że τ_{n} ↗ T i M^{τ_{n}} jest martyngałem.

5. Dla dowolnego M ∈ M_{loc}^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ rosnący, 0 w 0 i taki, że M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem lokalnym. To znaczy τ_{n} ↗ T, M^{τ_{n}} ∈ M^{2,c} oraz (M^{τ_{n}})^{2} − ⟨M^{τ_{n}}⟩ jest martyngałem (na ćwiczenia).

W konsekwencji całka stochastyczna ∫ XdM jest dobrze zdefiniowana dla procesów z klasy Λ_{T}^{2} (M), gdzie M ∈ M_{loc}^{2,c}, oraz

∫_{0}^{t} X^{2}(s)d⟨M_{s}⟩ < ∞ mboxp.n.

Zauważmy, że ∫ XdM jest, przy takich założeniach, martyngałem lokalnym.

6. Definicja ⟨M, N⟩ rozszerza się dla dowolnych M, N ∈ M_{loc}^{2,c}.

7. Z Wniosku 1 wynika, że jeśli M = ∫ XdW, X ∈ Λ_{T}^{2} , to

V_{n}(M, t) →^{P} ∫ X^{2}ds czyli ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds.

Niech teraz M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, X, Y ∈ Λ_{T}^{2} . Wówczas

← M, N →= ∫ XY ds.

8. To samo co w powyższym punkcie zachodzi gdy zamiast pary (W, t), weźmiemy (M, ⟨M⟩).

Definicja 2 Proces Y nazywamy lokalnie ograniczonym, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że Y^{τ_{n}} − Y (0) jest ograniczony.

Na przykład jeśli Y ciągły, to jest lokalnie ograniczony. Istotnie wystarczy wziąć τ_{n} = {t : |Y (t) − Y (0)| ⩾ n}.

Stwierdzenie 2 Zachodzą następujące fakty

1. Niech X ∈ L_{T}^{2} , Y -prognozowalny ograniczony. Definiujemy M = ∫ XdW, wówczas ∫ Y dM = ∫ XY dW.

2. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} , Y -prognozowalny, lokalnie ograniczony, to zachodzi ten sam wzór co w punkcie 1., czyli ∫ Y dM = ∫ XY dW.

Dowód. (Punkt 1.) Niech X ∈ E, Y = η_{0}1_{0} + ∑_{j=1}^{m} η_{j−1}1_{(t_{j−1},t_{j}]}, η_{j} ograniczone F_{t_{j}} mierzalne

∫_{0}^{t} Y dM = ∑_{j=1}^{m} η_{j−1}(M(t_{j} ∧ t) − M(t_{j−1} ∧ t)) =

= ∑_{j=1}^{m} η_{j−1} ∫_{0}^{t_{j}∧t} XdW − ∫_{0}^{t_{j−1}∧t} XdW = ∑_{j=1}^{m} η_{j−1} ∫_{t_{j−1}∧t}^{t_{j}∧t} XdW =

= ∑_{j=1}^{m} ∫_{t_{j−1}∧t}^{t_{j}∧t} η_{j−1}XdW = ∫_{0}^{t} Y dW.

Niech teraz Y_{n} ∈ E, Y_{n} → Y w L_{T}^{2} (M). To znaczy

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ → 0, gdy n → ∞.

Zauważmy (Własność 6.), że ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds. Zatem

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ = E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}X(s)^{2}ds.

Stąd

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s)X(s) − Y (s)X(s)|^{2}ds → 0 gdy n → ∞,

co oznacza, że Y_{n}X → Y X w L_{T}^{2} (W). (Punkt 2.) (na ćwiczenia)

■

Uwaga 3 Teza Stwierdzenia 1 pozostaje prawdziwa, gdy zamiast W, weźmiemy dowolny martyngał Z ∈ M^{2,c}.

1.3 Całkowanie przez części

Udowodnimy teraz zasadniczy wzór, jak się okaże niezbędny przy dowodzeniu wzoru Ito.

Twierdzenie 3 Niech X, Y ∈ Λ_{T}^{2} , M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, wówczas

MN = ∫ MdN + ∫ NdM + ∫ XY ds =
= ∫ MY dW + ∫ NXdW + ∫ XY ds.

Zauważmy, że druga równość wynika ze Stwierdzenia 1 (dla procesów lokalnie ograniczonych). Pierwsza równość wynika ze znacznie ogólniejszego faktu.

Twierdzenie 4 Niech M, N ∈ M_{loc}^{2,c}, wówczas

MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

Dowód. (1) Po pierwsze zauważmy, że całki ∫ MdN, ∫ NdM są dobrze określone, bo M, N są adaptowalne i ciągłe (stąd prognozowalne i lokalnie ograniczone). Zatem M ∈ Λ_{T}^{2} (N), N ∈ Λ_{T}^{2} (M). Zauwżmy, że

⟨∫ MdN⟩ = ∫ M^{2}d⟨N⟩, ⟨∫ NdM⟩ = ∫ N^{2}d⟨M⟩.

(2) Można założyć, że M(0) = N(0) = 0. Istotnie z definicji

⟨M − M(0), N − N(0)⟩ = ⟨M, N⟩,
∫ Nd(M − M(0)) = ∫ NdM, ∫ Md(N − N(0)) = ∫ MdN

oraz ∫ M(0)dN = M(0)(N − N(0)), ∫ N(0)dM = N(0)(M − M(0)). Jeśli zatem pokażemy twierdzenie dla M − M(0), N − N(0), to

(M − M(0))(N − N(0)) = ∫ (M − M(0))d(N − N(0)) +
+ ∫ (N − N(0))d(M − M(0)) + ⟨(M − M(0)), (N − N(0))⟩ =
= ∫ MdN − M(0)(N − N(0)) + ∫ NdM − N(0)(N − N(0)) + ⟨M, N⟩.

Wystarczy zauważyć, że

(M − M(0))(N − N(0)) = MN − M(0)(N − N(0)) − N(0)(N − N(0)) + M(0)N(0).

Zatem zachodzi równość MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

(3) Wystarczy udowodnić tezę dla M = N, to znaczy

M^{2} = 2 ∫ MdM + ⟨M⟩.

Istotnie stosując powyższą równość do M + N, M − N dostajemy

MN = \frac{1}{4}((M + N)^{2} − (M − N)^{2}) = \frac{1}{4}(2 ∫ (M + N)d(M + N) + ⟨M + N⟩ −

−2 ∫ (M − N)d(M − N) − ⟨M − N⟩) = ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩, gdzie w ostatniej linijce skorzystaliśmy ze wzoru na ⟨M, N⟩ oraz z liniowści całki stochastycznej, to znaczy

∫ (X + Y)d(Z_{1} + Z_{2}) = ∫ XdZ_{1} + ∫ XdZ_{2} + ∫ Y dZ_{1} + ∫ Y dZ_{2}.

Dokonane uproszczenia pozwalają nam przystąpić do zasadniczego dowodu.

(4) Niech τ_{n} = inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Zatem M^{τ_{n}} jest martyngałem ograniczonym. Przypomnijmy, że analogicznie jak dla procesu Wienera można pokazać, że

(M^{τ_{n}})^{2} = 2 ∫ M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} + ⟨M^{τ_{n}}⟩.  (1.2)

Zachodzi równość ⟨M⟩^{τ_{n}} = ⟨M^{τ_{n}}⟩, a ponadto

∫_{0}^{t} M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} M^{τ_{n}}dM = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} 1_{[0,τ_{n}]}M^{τ_{n}}dM =
= ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}MdM = ∫ ^{t∧τ_{n}} MdM.

Przechodząc z n do ∞ w równości

(M^{τ_{n}})^{2}(t) = 2 ∫ ^{t∧τ_{n}} MdM + ⟨M⟩^{τ_{n}}(t)

kończymy dowód twierdzenia.

■

Definicja 3 Oznaczmy przez V^{c}c-procesy ciągłe adaptowalne o skończonym wahaniu na każdym odcinku [0, t] ⊂ [0, T).

Lemat 5 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, A ∈ V^{c}, wówczas

MA = M(0)A(0) + ∫ AdM + ∫ MdA,

gdzie całka ∫ AdM jest całką stochastyczną, a ∫ MdA zwykłą całką Stiltjesa (zdefiniowaną dla każdego ω).

Dowód. (1) Można założyć, że M(0) = A(0) = 0 oraz, że M, A są ograniczone.

(2) Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, to znaczy

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j}^{n} − t_{j−1}^{n}) → 0 gdy n → ∞.

Wówczas

M(t)A(t) = ∑_{j=1}^{m_{n}}(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n}))(A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n})) +

+ ∑_{j=1}^{m_{n}} M(t_{j−1}^{n})(A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n})) + ∑_{j=1}^{m_{n}} A(t_{j−1}^{n})(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n})).

Zauważmy, że

∑_{j=1}^{m_{n}} M(t_{j−1}^{n})(A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n})) → ∫_{0}^{t} MdA, ∑_{j=1}^{m_{n}} A(t_{j−1}^{n})(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n})) → ∫_{0}^{t} AdM

oraz

| ∑_{j=1}^{m_{n}}(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n}))(A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n}))| ⩽

⩽ \sqrt{(∑_{j=1}^{m_{n}}(M(t_{j}^{n}) − M(t_{j−1}^{n}))^{2})(∑_{j=1}^{m_{n}}(A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n}))^{2})} ⩽

⩽ ⟨M⟩(t) max_{j} |A(t_{j}^{n}) − A(t_{j−1}^{n})|∥A∥(t) → 0,

gdzie ∥A∥(t) oznacza wahanie procesu A w punkcie t.

■