Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II - 25.11.2005

Za każde z zadań można otrzymać 8 punktów. Należy wybrać 5 zadań.

1. Niech wektor losowy (X, Y) ∈ ℝ^{2} ma rozkład jednostajny na kole o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1. Znaleźć 𝔼(X + Y |X − Y).

2. Rozważmy zbiór Λ ⊆ ℝ_{+} oraz rodzinę rozkładów na prostej M = {Exp(λ): λ ∈ Λ}, gdzie Exp(λ) oznacza rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wykazać, że rodzina M jest ciasna wtedy i tylko wtedy, gdy inf Λ > 0

3. Niech X_{1}, X_{2}, …, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Zbadać słabą zbieżność ciągu Z_{n} = n min(X_{1}, …, X_{n}).

4. Niech X_{n}, Y_{n} będą rzeczywistymi zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej, takimi że X_{n}Y_{n} ⇒ X oraz Y_{n} ⇒ 0. Niech ponadto f: ℝ → ℝ będzie funkcją rózniczkowalną. Wykazać, że

X_{n}(f(Y_{n}) − f(0)) ⇒ Xf′(0).

Wskazówka: Zauważyć, że X_{n}(f(Y_{n}) − f(0)) = X_{n}Y_{n}g(Y_{n}), gdzie

g(y) = \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(0)}{y} & gdy & y ≠ 0 \\ f′(0) & gdy & y = 0. \end{matrix}

Zbadać zbieżność g(Y_{n}), a następnie skorzystać z Lematu Słuckiego.

5. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi Poissona z parametrem 1. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej Z = X − Y.

6. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1] zaś ε zmienną Rademachera, niezależną od X, Y. Znaleźć 𝔼(cos(εX + Y)|X).

7. Rozważmy niezależne zmienne losowe N, X_{1}, X_{2}, …, gdzie N ma rozkład Poissona z parametrem 1, zaś X_{i} mają taki sam rozkład o funkcji charakterystycznej φ. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej Z = ∑ _{i=1}^{N} X_{i}.

Powodzenia!!!