Metody numeryczne dla ZSI

Treści omawiane na wykładzie i ćwiczeniach

1. Równania nieliniowe. Metoda Newtona, siecznych i podobne. Rząd zbieżności. Metoda punktu stałego Banacha. Odwrotność bez dzielenia. Metoda Herona. Metoda bisekcji.
2. Zbieżność metody Newtona w różnych przypadkach. Podsumowanie równań nieliniowych. Arytmetyka zmiennopozycyjna, precyzja. Działania arytmetyczne. Zjawisko redukcji cyfr przy odejmowaniu. Kilka przykładów destrukcyjnego działania tego zjawiska.
3. Uwarunkowanie zadania, numeryczna poprawność algorytmów. Przykłady, w tym: uwarunkowanie układu równań Ax = b. Przy okazji: normy wektorowe i macierzowe.
4. Układy równań liniowych. Metoda rozwiązywania Ax = b, korzystająca z rozkładu A = LU: algorytm, koszt, warunki wykonalności. Realizacja in situ. Wariant z wyborem elementu głównego w kolumnie (GEPP) i jego interpretacja jako PA = LU. Szybki algorytm dla macierzy trójdiagonalnej (realizacja in situ). Do domu: Metoda Cholesky'ego dla macierzy symetrycznej dodatnio określonej i jej koszt (realizacja in situ).
5. Algorytm Hornera. Interpolacja Lagrange'a. Błąd interpolacji. Bazy wielomianowe: Lagrange'a i Newtona. Algorytm różnic dzielonych (realizacja in situ) Przykład Rungego.
6. Układy równań liniowych - c.d. Uwarunkowanie. Numeryczna poprawność GEPP. Biblioteki: BLAS, ATLAS, LAPACK. Macierze w C i w Fortranie. Wykorzystanie bibliotek fortranowskich w C na przykładzie DNRM2 i DGESV.
7. Zadanie najmniejszych kwadratów ||b-Ax||₂ = min!. Rozkład QR metodą Householdera. Układ normalny A^TAx = A^Tb. Zagadnienie własne. Metoda potęgowa, odwrotna potęgowa i RQI. Iloraz Rayleigh. Informacja o pełnym zadaniu własnym.
8. Splajny i interpolacja splajnowa. Splajny naturalne, kubiczne.
9. FFT (równania motylkowe) i jej zastosowania, m.in. interpolacja trygonometryczna i splot. FFTW. Kwadratury: prostokątów, trapezów i Simpsona oraz ich błąd. Kwadratury złożone na przykładzie trapezów. QUADPACK i jak z niego korzystać.
10. Kwadratury adaptacyjne. Równania różniczkowe.

Zobacz także: Opis wykładu w USOSwebie

Materiały przygotowawcze do egzaminu

Ostatnie zajęcia z Metod numerycznych odbędą się 28. czerwca 2007. Kilka przykładowych zestawów egzaminacyjnych z lat ubiegłych:

• Egzamin 2007 (testowy)
• Egzamin 2006 (zadaniowy)
• Przykładowy egzamin (testowy)
• Inny przykładowy egzamin (też testowy)

Podręczniki

• P. Krzyżanowski, L. Plaskota Metody numeryczne, materiały w serwisie internetowym dla studiów informatycznych na odległość, 2006
• D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT 2006
• K. Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Wiley
• A. Bjorck, G. Dahlquist, Metody numeryczne, WNT 1987
• G. Stewart, Afternotes on numerical analysis, SIAM 1996

Na wykładzie będą omawiane także zagadnienia spoza podanej literatury.