Rozwiązujemy trzy równania:
Dodatkowo, na deser liczymy "strasznie trudną" całkę z funkcji 1/x.
Poniżej podaję wyniki rozwiązania(??) tych zadań uzyskane w różnych pakietach CAS (Computer Algebra System). A Twoim zdaniem, jakie naprawdę są wszystkie rozwiązania tych trzech równań? (O całkę nie pytam...)
> deq := diff(x(t),t) = sin(x(t)/2)^2; d 2 deq := ---- x(t) = sin(1/2 x(t)) dt -------------------------------------------------------------------------------- > dsolve(deq,x(t)); cos(1/2 x(t)) 2 ------------- + t = _C1 sin(1/2 x(t)) -------------------------------------------------------------------------------- > solve(",x(t)); 2 - 2 arctan(-------) t - _C1 -------------------------------------------------------------------------------- > deq := diff(x(t),t) = cos(x(t))^2; d 2 deq := ---- x(t) = cos(x(t)) dt -------------------------------------------------------------------------------- > dsolve(deq,x(t)); sin(x(t)) - --------- + t = _C1 cos(x(t)) -------------------------------------------------------------------------------- > solve(",x(t)); arctan(t - _C1) -------------------------------------------------------------------------------- > deq := diff(x(t),t) = sin(x(t))^2; d 2 deq := ---- x(t) = sin(x(t)) dt -------------------------------------------------------------------------------- > dsolve(deq,x(t)); cos(x(t)) --------- + t = _C1 sin(x(t)) -------------------------------------------------------------------------------- > solve(",x(t)); 1 - arctan(-------) t - _C1 -------------------------------------------------------------------------------- > int(1/t,t); ln(t) --------------------------------------------------------------------------------
>> deq := diff(x(t),t) = sin(x(t)/2)^2; / x(t) \2 diff(x(t), t) = sin| ---- | \ 2 / >> ode::solve(deq,x(t)) { / 2 \ } { 0, 2 arctan| ------ | } { \ C3 - t / } >> deq := diff(x(t),t) = cos(x(t))^2; 2 diff(x(t), t) = cos(x(t)) >> ode::solve(deq,x(t)) { / 2 2 1/2 \ { | (C10 - 2 C10 t + t + 1) - 1 | { - 2 arctan| -------------------------------- |, { \ C10 - t / / 2 2 1/2 \ } | (C10 - 2 C10 t + t + 1) + 1 | PI } 2 arctan| -------------------------------- |, -- } \ C10 - t / 2 } >> deq := diff(x(t),t) = sin(x(t))^2; 2 diff(x(t), t) = sin(x(t)) >> ode::solve(deq,x(t)) 2 2 1/2 {0, 2 arctan(t - C19 + (C19 - 2 C19 t + t + 1) ), 2 2 1/2 2 arctan(t - C19 - (C19 - 2 C19 t + t + 1) )} >> int(1/t,t) ln(t)
Maxima 5.9.2 http://maxima.sourceforge.net Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL) Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) ode2('diff(x,t) = sin(x/2)^2, x, t); 4 sin(x) (%o1) - -------------------------------- = t + %c 2 2 sin (x) + cos (x) - 2 cos(x) + 1 (%i2) trigsimp(%); 2 sin(x) (%o2) ---------- = t + %c cos(x) - 1 (%i3) solve([%], [x]); (t + %c) cos(x) - t - %c (%o3) [sin(x) = ------------------------] 2 (%i4) ode2('diff(x,t) = sin(x)^2, x, t); 1 (%o4) - ------ = t + %c tan(x) (%i5) solve([%], [x]); `solve' is using arc-trig functions to get a solution. Some solutions will be lost. 1 (%o5) [x = - atan(------)] t + %c (%i6) ode2('diff(x,t) = cos(x)^2, x, t); (%o6) tan(x) = t + %c (%i7) solve([%], [x]); `solve' is using arc-trig functions to get a solution. Some solutions will be lost. (%o7) [x = atan(t + %c)] (%i8) integrate(1/x, x); (%o8) log(x) (%i9)
No tak, było zabawnie... Jeśli jeszcze nie masz dosyć, zobacz, co Twój system CAS powie na temat tych równań, ewentualnie uzupełnionych o warunek początkowy, np. x(0) = Pi albo x(0) = 7. Możesz też policzyć w pakiecie całkę oznaczoną z 1/x na przedziale -7..-3 i porównać z różnicą wartości funkcji pierwotnej w tych punktach.
Wniosek. Chyba wciąż jeszcze warto chodzić na ćwiczenia (i wykład) z RRZ, a nawet z Analizy I...