Aktualności
8 kwietnia 2022 r.
Szymon Pancewicz z sumą 23 punktów zwycięża w kolejnym okrążeniu! Serdeczne gratulacje!
Kończymy tegoroczną ligę. Dziękujemy bardzo za aktywny udział. Gratulujemy Wam wszystkim
świetnych geometrycznych pomysłów!
2 kwietnia 2022 r.
Ponieważ dziś jeszcze odbywa się finał OM, zadanie 21 pojawi się jutro (3 kwietnia) o godz. 10:00.
19 marca 2022 r.
Ze względu na zbliżający się finał Olimpiady Matematycznej robimy tygodniową przerwę w lidze. Zadanie 21 pojawi się w sobotę 2 kwietnia. Gratuluję Anowi, Miłoszowi i wszystkim uczestnikom ligi, którzy zostali zakwalifikowani do finału OM. Trzymam za Was kciuki podczas finału! :)
9 marca 2022 r.
Ze względu na spiętrzenie różnych obowiązków mieliśmy przerwę w lidze w ostatnią sobotę 5 marca. Zadanie 19 pojawi się z tygodniowym opóźnieniem, czyli w sobotę 12 marca o godz. 10:00.
26 lutego 2022 r.
Agata Stępińska, uzyskując 22 punkty, zwycięża w kolejnym okrążeniu ligi! Drugie miejsce: Piotr Wielgolewski z sumą 20 punktów, tuż za Agatą! Serdecznie gratulujemy! Zadaniem 18 zaczynami dziś kolejne okrążenie. Zapraszamy do udziału!
5 lutego 2022 r.
W przyszłą sobotę 12 lutego, ze względu na odbywający się tego dnia 2 etap Olimpiady Matematycznej, robimy przerwę w lidze. Zadanie 17 pojawi się 19 lutego. Trzymamy za Was kciuki za tydzień, powodzenia! :)
29 stycznia 2022 r.
Zadanie 15 pojawi się wyjątkowo z 24-godzinnym opóźnieniem, tzn. w niedzielę 30 stycznia o godz. 10:00. Za opóźnienie przepraszamy.
12 stycznia 2022 r.
W trzecim etapie tegorocznej ligi Agata Stępińska nie dała nikomu najmniejszych szans! Zwyciężyła z rewelacyjnym wynikiem 26 punktów, rozwiązując jako jedyna zadanie 12. Drugie miejsce zajął Stefan Świerczewski, uzyskując 13 punktów. Serdeczne gratulacje!
Po przerwie świąteczno-noworocznej wznawiamy ligę w najbliższą sobotę, 15 stycznia 2022 r.
Uwaga! Zmieniamy godzinę publikacji zadania z godziny 12 na godzinę 10.
3 grudnia 2021 r.
Zwycięzcą drugiego etapu ligi zostaje Stefan Świerczewski, który jako jedyny rozwiązał zadanie 9 i zgarniając całą pulę punktów za to zadanie osiągnął wyśmienity wynik 31 punktów! Drugie miejsce zajął Mikołaj Cudny (20 p.), a trzecie Jacek Rak (12 p.). Serdecznie gratulujemy! Jutro zadaniem 10 rozpoczynamy kolejny etap ligi. Zapraszamy!
11 listopada 2021 r.
W najbliższą sobotę 13 listopada pojawią się wyjątkowo dwa zadania konkursowe, przy czym jedno z nich będzie punktowane na nieco innych zasadach. Szczegóły w sobotę o 12:00.
3 listopada 2021 r.
Serdeczne gratulacje dla Agaty Stępińskiej, która uzyskując 21 punktów zwycięża w pierwszym etapie tegorocznej ligi. Agata zgarnia także drugą szóstkę z geometrii! Gratulujemy także Stefanowi Świerczewskiemu, który uzyskał niewiele mniejszy i równie wspaniały wynik 19 punktów, niewiele ustępując Agacie. Zadaniem 5 rozpoczniemy drugi etap ligi w najbliższą sobotę. Zapraszamy i życzymy powodzenia! :)
23 października 2021 r.
Ze względu na spiętrzenie innych obowiązków nieco opóźnia się nam ocena prac zadania 2. Pomimo tego zadanie 3 pojawi się dziś punktualnie o 12:00, a ranking po zadaniu 2 uzupełnimy tak szybko, jak to możliwe. Przepraszamy Was za opóźnienie.
14 października 2021 r.
Pierwsze zadanie za nami. Gratulacje dla Tomka Puczela za wyczucie momentu i zgarnięcie całej drugiej puli! :)
7 października 2021 r.
Już 9 października br. rozpoczynamy kolejną edycję geometrycznej ligi zadaniowej „Pompetition”! Zadanie 1 ukaże się w najbliższą sobotę punktualnie o godzinie 12:00. Wszystkich uczestników ligi prosimy o zapoznanie się z regulaminem. Zapraszamy do udziału!
8 kwietnia 2022 r.
Bieżący ranking
| Imię i nazwisko, szkoła (klasa) | pkt. | |
|---|---|---|
| 1. | Szymon Pancewicz, XIV LO Warszawa (1a) | 23 |
| 2. | Stefan Świerczewski, XIV LO Warszawa (3a) | 14 |
| 3. | Antoni Łuczak, XIV LO Warszawa (1a) | 13 |
| 3. | Agata Stępińska, XIV LO Warszawa (2b) | 13 |
| 4. | Jacek Rak, XIV LO Warszawa (3a) | 11 |
| 5. | Jakub Bereza, XIV LO Warszawa (3b) | 6 |
| 5. | Hubert Wach, XIV LO Warszawa (3b) | 6 |
| 5. | Piotr Wielgolewski, XIV LO Warszawa (1a) | 6 |
| 5. | Krzysztof Zdon, XIV LO Warszawa (3a) | 6 |
| 6. | Tomasz Puczel, II LO Olsztyn (3) | 5 |
| 6. | Maria Żelewska, XIV LO Warszawa (3b) | 5 |
| 7. | Alicja Przybylik, XIV LO Warszawa (2b) | 3 |
3 kwietnia 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 21
Okrąg ω wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie D. Niech E będzie spodkiem wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C. Punkt K jest środkiem odcinka CE. Prosta KD przecina ponownie okrąg ω w punkcie L. Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie ALB jest styczny do okręgu ω.
Zadanie rozwiązali: Stefan Świerczewski (05.04, 16:38, 9p), Szymon Pancewicz (05.04, 21:50, 6p).
19 marca 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 20
Dany jest trójkąt ABC. Punkty D, E, F są odpowiednio środkami boków BC, CA, AB. Prosta AD przecina ponownie okrąg opisany na trójkącie DEF w punkcie P, a okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie Q. Dowieść, że długość odcinka PD jest równa sumie długości odcinków AP i DQ.
Zadanie rozwiązali: Antoni Łuczak (19.03, 10:24, 3p), Jacek Rak (19.03, 10:28, 3p), Agata Stępińska (19.03, 11:50, 3p), Piotr Wielgolewski (20.03, 09:17, 3p), Szymon Pancewicz (21.03, 13:26, 3p).
12 marca 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 19
Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i AC, przy czym EA=AB=BD. Niech N będzie środkiem odcinka DE, a M — środkiem boku AB. Wykazać, że IN > IM.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (12.03, 10:56, 6p), Szymon Pancewicz (12.03, 17:06, 5p), Antoni Łuczak (12.03, 19:49, 4p). Ponadto nadeszło jedno rozwiązanie rachunkowe (13.03, 01:11).
26 lutego 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 18
Dany jest równoległobok ABCD, którym kąt DAB jest ostry. Punkt K leży na łuku AB, nie zawierającym punktu D, okręgu opisanego na trójkącie ABD. Proste AK i CD przecinają się w punkcie L. Niech O będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie CKL. Udowodnić, że jeżeli punkty D i O są różne, to kąt ADO jest prosty.
Zadanie rozwiązali: Jacek Rak (26.02, 13:58, 5p), Agata Stępińska (26.02, 15:13, 4p), Piotr Wielgolewski (26.02, 15:38, 3p), Szymon Pancewicz (26.02, 19:01, 3p).
19 lutego 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 17
Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkt D jest punktem styczności okręgu wpisanego w trójkąt ABC z bokiem AB. Niech P będzie dowolnym punktem leżącym na odcinku AI, natomiast Q takim punktem na odcinku BI, że miara kąta PCQ stanowi połowę miary kąta ACB. Wykazać, że kąt PDQ jest prosty.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (19.02, 10:26, 9p), Szymon Pancewicz (20.02, 17:19, 6p).
5 lutego 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 16
Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w nierównoramienny trójkąt ABC. Punkt D jest rzutem prostokątnym punktu C na prostą AB.
Oznaczmy przez M środek odcinka AB. Proste CD i IM przecinają się w punkcie E. Wykazać, że
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (08.02, 16:43, 6p), Piotr Wielgolewski (08.02, 19:33, 5p), Zofia Adamowska (09.02, 14:00, 4p).
30 stycznia 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 15
Dany jest trójkąt ABC. Dwusieczna kąta wewnętrznego i zewnętrznego ACB przecinają prostą AB odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o średnicy DE przecina odcinek BC ponownie w punkcie F. Prosta styczna w punkcie C do okręgu opisanego na trójkącie ACF przecina okrąg o średnicy DE ponownie w punkcie G. Dowieść, że CF=CG.
Zadanie rozwiązali: Piotr Wielgolewski (31.01, 09:55, 9p), Antoni Łuczak (31.01, 13:57, 6p).
22 stycznia 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 14
Dany jest kwadrat ABCD. Punkty M i L są odpowiednio środkami boków AB i BC. Punkt K leży na boku AD, przy czym DK=3AK. Oznaczmy przez P punkt przecięcia prostych DM i KL, a przez H punkt przecięcia prostych AL i BK. Udowodnić, że H jest punktem przecięcia wysokości w trójkącie APM.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (22.01, 10:40, 3p), Piotr Wielgolewski (22.01, 21:37, 3p), Hubert Wach (24.01, 02:06, 3p), Jacek Rak (24.01, 18:01, 3p), Zofia Adamowska (26.01, 12:44, 3p).
15 stycznia 2022 r., godz. 10:00
Zadanie 13
Dany jest nierównoramienny trójkąt ostrokątny ABC. Punkt H jest punktem przecięcia wysokości, a punkt O środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Niech K będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie CHO. Wykazać, że punkt symetryczny do punktu K względem prostej OH leży na prostej AB.
Zadanie rozwiązali: Stefan Świerczewski (15.01, 10:49:28, 5p), Agata Stępińska (15.01, 10:50:14, 4p), Zofia Adamowska (15.01, 13:38, 3p), Piotr Wielgolewski (17.01, 22:22, 3p).
18 grudnia 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 12
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC=BC. Punkt D leży na odcinku BC. Udowodnić, że wspólna styczna zewnętrzna do okręgów wpisanych w trójkąty ACD i BCD (różna od prostej AB) tworzy taki sam kąt z prostą CD, jak wspólna styczna zewnętrzna (różna od prostej AB) okręgów dopisanych do tych trójkątów, stycznych do odcinków AD i BD.
Zadanie rozwiązała Agata Stępińska (18.12, 16:17, 15p). Zadanie (poza konkursem) rozwiązał także Jerzy Bednarczuk.
11 grudnia 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 11
Dane są trzy okręgi o wspólnym środku. Skonstruować (cyrklem i linijką) trójkąt równoboczny, którego każdy wierzchołek leży na innym okręgu. Podać warunki konieczne i dostateczne na to, aby istniał taki trójkąt.
Zadanie rozwiązali: Stefan Świerczewski (11.12, 12:30, 9p). Agata Stępińska (11.12, 13:07, 6p).
4 grudnia 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 10
Punkty I oraz O są odpowiednio środkami okręgu wpisanego i opisanego trójkąta ABC. Punkty P i Q leżą odpowiednio na bokach AC i BC, przy czym PA=AB=BQ. Udowodnić, że promień okręgu opisanego na trójkącie CPQ jest równy długości odcinka OI.
Zadanie rozwiązał: Krzysztof Zdon (04.12, 17:29, 6p). Agata Stępińska (04.12, 18:09, 5p). Stefan Świerczewski (05.12, 02:33, 4p).
27 listopada 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 9
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym AC=BD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Okręgi opisane na trójkatach APD i BPC przecinają bok AB ponownie odpowiednio w punktach E i F. Niech M będzie środkiem łuku PF niezawierającego punktu C oraz N środkiem łuku PE niezawierającego punktu D. Wykazać, że prosta MN jest równoległa do prostej łączącej środki okręgów opisanych na trójkątach APD i BPC.
Zadanie rozwiązał: Stefan Świerczewski (28.12, 14:14, 15p).
20 listopada 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 8
Dany jest równoległobok ABCD. Dwusieczna kąta CAD przecina bok CD w punkcie K. Dwusieczna kąta zewnętrznego CAD przecina prostą BC w punkcie L. Punkt M jest środkiem odcinka AK. Dowieść, że proste DM oraz KL są równoległe.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (20.11, 12:29, 5p). Mikołaj Cudny (20.11, 12:50, 4p), Stefan Świerczewski (20.11, 16:05, 3p), Jacek Rak (21.11, 14:58, 3p).
13 listopada 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 7
Okrąg o środku I wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC i CA odpowiednio w punktach D i E. Punkt M jest środkiem boku AB. Punkty P i Q są obrazami symetrycznymi odpowiednio punktów D i E względem punktu I. Proste PQ oraz AB przecinają się w punckie R. Dowieść, że kąt MIR jest prosty.
Zadanie rozwiązali: Mikołaj Cudny (16.11, 20:40, 9p), Stefan Świerczewski (16.11, 22:36, 6p).
13 listopada 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 6
Punkty A, B, C, D leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności. Okrąg ω jest styczny zewnętrznie do okręgów o średniach AB, CD. Okrąg Ω jest styczny wewnętrznie do okręgów o średniach AB, CD oraz przecina okrąg ω w punktach E i F. Dowieść, że miary kątów AEB oraz CFD są równe.
Zadanie bonusowe rozwiązali: Mikołaj Cudny (13.11, 20:44, 4p), Stefan Świerczewski (14.11, 22:08, 4p).
6 listopada 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 5
Dane są okręgi Ω i ω leżące jeden na zewnątrz drugiego. Prosta łącząca środki tych okręgów przecina okrąg Ω w punkcie A, a okrąg ω w punkcie B, przy czym odcinek AB zawiera środki tych okręgów. Wspólna styczna zewnętrzna obu okręgów jest styczna do okręgu ω w punkcie C, a do okręgu Ω w punkcie D. Wykazać, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg oraz obliczyć jego promień r, znając długości odcinków AB oraz CD.
Zadanie rozwiązali: Stefan Świerczewski (06.11, 12:25, 3p), Hubert Wach (06.11, 16:38, 3p), Mikołaj Cudny (06.11, 20:34, 3p), Jacek Rak (07.11, 16:30, 3p), Agata Stępińska (07.11, 17:26, 3p). Ponadto nadeszło jedno rozwiązanie rachunkowe (07.11, 00:20).
30 października 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 4
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (30.10, 13:28, 5p), Stefan Świerczewski (30.10, 15:08, 4p), Jakub Bereza (30.10, 15:59, 3p), Jacek Rak (02.11, 22:07, 3p).
23 października 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 3
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC oraz punkt X poruszający się po krótszym łuku AC okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt P jest punktem przecięcia prostych AX i BC, a Q punktem przecięcia prostych CX i AB. Prosta k jest prostopadła do prostej łączącej środki odcinków AX, BC i przechodzi przez punkt P. Podobnie prosta l to prosta prostopadła do prostej łączącej środki odcinków CX, AB i przechodząca przez punkt Q. Oznaczmy przez Y punkt przecięcia prostych k i l. Udowodnić, że Y porusza się po pewnym ustalonym okręgu.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (24.10, 07:13, 9p) i Stefan Świerczewski (24.10, 16:08, 6p).
16 października 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 2
Dany jest kwadrat ABCD oraz taki punkt P, że odcinki AP i BP przecinają bok CD odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że środki okręgów wpisanych w trójkąty ADQ, PQR, BCR, PAB leżą na jednym okręgu.
Zadanie rozwiązali: Stefan Świerczewski (16.10, 15:55, 6p), Maria Żelewska (16.10, 19:54, 5p), Agata Stępińska (17.10, 18:46, 4p). Ponadto nadeszło jedno niepoprawne rozwiązanie (16.10, 21:30).
9 października 2021 r., godz. 12:00
Zadanie 1
Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są rzutami prostokątnymi punktu C odpowiednio na proste BI i DI, a punkty M i N są rzutami prostokątnymi punktu A odpowiednio na proste BI i DI. Dowieść, że punkty K, L, M, N leżą na jednym okręgu.
Zadanie rozwiązali: Agata Stępińska (09.10, 12:23, 3p), Jacek Rak (09.10, 12:42, 3p), Stefan Świerczewski (09.10, 13:30, 3p), Alicja Przybylik (09.10, 13:22, 3p), Jakub Bereza (13.10, 00:24, 3p), Tomasz Puczel (13.10, 12:23, 5p). Ponadto nadeszło jedno niepełne rozwiązanie (09.10, 21:33).
Projekt i wykonanie strony: Waldemar Pompe
2021-2022