Nazwa przedmiotu: Rzut oka na współczesną matematykę

Semestr: zimowy 2011/12

Forma zajęć: konwersatorium, 30 godzin

Skrócony opis: Przedstawione zostaną przykłady wybranych wyników i otwartych problemów matematyki współczesnej (będę kierował się własną, subiektywną oceną ich znaczenia, intrygującego charakteru, prostoty sformułowań, związków z otwartymi pytaniami lub ze spektakularnymi zastosowaniami matematyki), należących do różnych dziedzin: od kombinatoryki i teorii grafów, przez teorię liczb, szeroko rozumianą geometrię, aż po analizę matematyczną i równania różniczkowe. Celem zajęć nie jest uczenie kogokolwiek matematyki, ale pokazanie jej panoramy w sposób zrozumiały dla humanisty, z jednoczesnym podkreśleniem specyfiki prowadzonych w matematyce badań.

Pełny opis: Podczas zajęć poruszone zostaną następujące zagadnienia.

1. 1.Co matematycy sami uważają o matematyce? Dowód jako sposób uznawania, co należy do matematyki, a co nie.
   

2. 2.Zasada szufladkowa Dirichleta: przykłady jej prostych, ale spektakularnych zastosowań. Matematyczny opis ruchu n ciał pod wpływem grawitacji. Osobliwości niezderzeniowe. Otwarte pytania metod matematycznych mechaniki Newtona.
   

3. 3.Co potrafi kryć się za zadaniem ze szkolnego kółka matematycznego? Od przybliżeń pierwiastka z dwóch do metody stycznych Newtona. Liczby zespolone. Dlaczego matematyk nie boi się tego, czego może obawiać się filozof.
   

4. 4.Czy i dlaczego Benoit Mandelbrot był matematykiem? O tym, że jego "geometria fraktalna" powstała na długo przed jego narodzinami i o przyjęciu jego prac i poglądów przez matematyków. Co bywa modne w matematyce?
   

5. 5.Od dziewiętnastowiecznych prac Liouville'a do współczesnej teorii zaburzeń, a także o tym, że większości równań różniczkowych matematyk nie potrafi rozwiązać dokładnie, choć potrafi czasem wystarczająco dokładnie opisać własności rozwiązań.
   

6. 6.Co to jest krzywa? O roli definicji w matematyce i o zaskakujących własnościach obiektów na pozór prostych, intuicyjnie dobrze uchwytnych. Wzmianka o teorii węzłów.
   

7. 7.Matematyka baniek mydlanych: o geometrii różniczkowej i zagadnieniu Plateau, a także o rachunku wariacyjnym, widzianym jako matematyka optymalnej formy. Gdzie w architekturze widać prawdziwą matematykę?
   

8. 8.Problemy upakowań: od Thomasa Harriota i Johannesa Keplera dyskusji o teorii atomistycznej do hipotezy Keplera, matematyki w krystalografii i dowodów wspieranych komputerowo.
   

9. 9.Teoria grafów i zagadnienie czterech barw. Powrót do dyskusji o roli dowodu i weryfikacji (oraz weryfikowalności) rozumowań.
   

10. 10.Piękno czy przydatność? Co przesądza o znaczeniu teorii matematycznych? Rozmowa o poglądach Hardy’ego i Wignera. Matematyka we współczesnej kryptografii.
    

11. 11.O teorii liczb: od dowodu Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych po otwarte pytania współczesnej teorii liczb. Wielkie Twierdzenie Fermata; inne zrozumiałe osiągnięcia tej dziedziny. „Psychologia odkrycia matematycznego” J. Hadamarda
    

12. 12.Problemy za milion dolarów. Hipoteza Riemanna; jej historia i znaczenie. Rozkład liczb pierwszych na osi liczbowej.
    

13. 13.Co zrobił Grisza Perelman? Jak wygląda katalog możliwych kształtów trójwymiarowego Wszechświata i dlaczego matematyka, związana z ostatecznym poznaniem tego katalogu, przydaje się także do oczyszczania zaszumionych tekstów, albo w metalurgii? O roli uczciwości w matematyce.
    

14. 14.(Jeśli czas pozwoli) Paradoksy probabilistyczne. O tym, jak nieznajomość prostych praw rachunku prawdopodobieństwa deformuje nasze postrzeganie rzeczywistości.
    

15. 15.(Jeśli czas pozwoli) O innych, intrygująco nietypowych zastosowaniach matematyki (np. o tym, jak FBI koduje odciski palców w swoich bazach danych i co to ma wspólnego ze standardem kodowania obrazów JPEG).
    

Wymagania wstępne: gotowość do regularnego czytania popularnych tekstów
o matematyce, w języku polskim i angielskim. Brak wstrętu do matematyki. Najlepiej także brak wstrętu do fizyki. Znajomość znaczenia słowa "dedukcja".

Efekty uczenia: Po zaliczeniu zajęć student potrafi wskazać kilka osiągnięć matematyki dwudziestowiecznej. Ma świadomość, że w matematyce istnieje wiele pytań otwartych; potrafi podać przykłady takich pytań. Rozumie znaczenie dowodów w matematyce. Na poziomie nieznacznie wykraczającym poza szkołę średnią potrafi odróżnić kompletne
i ścisłe rozumowanie od spekulacji i heurystyki.

Metody i kryteria oceniania: ocena zostanie wystawiona na podstawie pisemnych prac zaliczeniowych, o objętości do 12.000 znaków (wliczając spacje).

Sposób zaliczenia: zaliczenie na ocenę. Tematy prac zaliczeniowych można znaleźć tu.