Dodatkowy komentarz do twierdzenia Abela: o szeregach potęgowych dobrze jest myśleć jako o sposobie definiowania funkcji (zmiennej zespolonej) ogólniejszym niż wielomiany, ale w zasadzie równie prostym i wygodnym we wszelkich rachunkach. Otrzymujemy w wyniku funkcje ciągłe, a ponadto taki szereg można różniczkować (tyle razy, ile kto zechce) wyraz po wyrazie, tzn. zupełnie tak samo, jak sumę skończoną, patrz twierdzenie 8.13 i wniosek 8.15 w skrypcie [PS1]. (Patrz też przykład 8.23).

Są dwie różnice. Po pierwsze, każdy szereg potęgowy jest zbieżny w pewnym kole na płaszczyźnie. Promień tego koła wyraża się przez współczynniki za pomocą wzoru Cauchy’ego-Hadamarda, patrz tw. 8.7 w [PS1]. To niby inna sytuacja niż dla wielomianów: przecież każdy wielomian jest określony na całej płaszczyźnie zespolonej, a szereg tylko w pewnym kole. Z drugiej strony, proszę zauważyć, że wielomian to szereg, który ma wszystkie współczynniki od pewnego miejsca równe zero - a więc zgodnie ze wzorem C-H ma nieskończony promień zbieżności.

Druga różnica to fakt, że na brzegu koła zbieżności szereg potęgowy może być, w zależności od tempa zmian współczynników,

- wszędzie zbieżny;

- wszędzie zbieżny;

1. -wreszcie, tu i ówdzie zbieżny, a w pozostałych punktach rozbieżny.
   

Każda z tych sytuacji może się zdarzyć.

Powstaje naturalne pytanie: jeśli w jakimś punkcie brzegu koła zbieżności szereg jest zbieżny, to co się tam dzieje z jego sumą? Czy jest w tym punkcie funkcją ciągłą? Twierdzenie Abela 8.28 przynosi odpowiedź (zasadniczo) twierdzącą: tak, suma szeregu potęgowego zależy w sposób ciągły od punktu, także na brzegu koła zbieżności - pod warunkiem, że w punkcie z_0 na brzegu koła zbieżności dopuszczamy z --> z_0 wewnątrz każdego sektora kątowego o wierzchołku z_0 . Wykluczona jest zbieżność z do z_0 wzdłuż krzywych, stycznych do brzegu i podchodzących do niego zbyt szybko; w dowodzie Tw. 8.28 w skrypcie [PS1] nietrudno w końcowej fazie rozumowania (nierówność (8.17) i jej uzasadnienie) odnaleźć miejsce, gdzie ten fakt jest wykorzystany w sposób istotny.

Twierdzenie Abela w połączeniu z twierdzeniem o różniczkowaniu szeregów potęgowych ma zastosowania do sumowania konkretnych szeregów liczbowych (patrz wspomniane w dzisiejszym porannym liście przykłady 8.31, 8.32 ze skryptu).

Na koniec wspomnijmy o innym ciekawym zastosowaniu szeregów potęgowych, do znajdowania jawnych wzorów na wyrazy ciągów rekurencyjnych takich jak ciąg Fibonacciego. Tutaj kluczowa jest jednoznaczność rozwinięcia w szereg. Patrz np. przykład 8.24, który wiąże klasyczny wzór Bineta na wyrazy ciągu Fibonacciego z rozwinięciem funkcji 1/(1-z-z^2) w szereg potęgowy. Każdy z Państwa powinien łatwo skonstruować analogiczne przykłady (dla dowolnego rekurencyjnego ciągu liniowego “głębokości 2”).

Zainteresowanych proszę o listy i pytania.