Na dzisiejszym wykładzie rozpoczęliśmy ostatnią partię materiału --- krótki kurs teorii miary i całki Lebesgue’a. Oto, co się pojawiło:

1. 1.Przypomnienie przykładu Vitali’ego (miary niezmienniczej na przesunięcia, przeliczalnie addytywnej i równej długości przedziału dla wszystkich przedziałów nie można określić na wszystkich podzbiorach prostej).
   

2. 2.Definicja ciała i sigma-ciała podzbiorów dowolnego zbioru, proste przykłady. Zbiory borelowskie w przestrzeni metrycznej.
   

3. 3.Miara zewnętrzna i miara. Twierdzenie Caratheodory’ego (tylko sformułowanie). Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Miara Lebesgue’a i sigma-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Pojęcie miary zewnętrznej metrycznej, relacja między zbiorami borelowskimi a zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a (przez przybliżanie zbiorami otwartymi od zewnątrz, zbiorami domkniętymi od wewnątrz).
   

4. 4.Trzy własności miary Lebesgue’a:
   

1. -charakteryzacja: to jedyna miara na sigma-ciele zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, która jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia i równa 1 na kostce jednostkowej;
   

2. -miara Lebesgue’a zbioru F(A), gdzie F jest liniowe, to iloczyn wyznacznika |det F| oraz miary zbioru A,
   

3. -zachowanie przy braniu produktu kartezjańskiego zbiorów („wzór na pole prostokąta”).
   

5. 5.Na koniec: hasłowa informacja o twierdzeniu Dehna (nie wszystkie wielościany w R^3 o równych objętościach są równoważne przez podział skończony).
   

Skrypt [PS2], podrozdziały 4.1-4.2, pokrywają cały materiał wykładu.