Na dzisiejszym wykładzie mówiliśmy o pochodnych cząstkowych wyższych rzędów, pochodnej drugiego rzędu, wzorze Taylora i jego zastosowaniu do badania ekstremów.

Materiał podrozdziału 2.5 skryptu [PS2] pokrywa treść wykładu z dużą nawiązką.

Wspomniany został przykład Peano (funkcji, której pochodne mieszane w pewnym punkcie zależą od kolejności różniczkowań). Zdefiniowaliśmy funkcje klasy C^k i drugą pochodną (jako przekształcenie dwuliniowe; mówiliśmy chwilę o kanonicznym izomorfizmie odpowiednich przestrzeni liniowych, patrz 2.5.2 w [PS2]). Sformułowane było twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej pochodnej; powiedzieliśmy też sobie, że macierz drugiej pochodnej funkcji n zmiennych składa się po prostu z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (w odpowiednim punkcie).

Pojawił się wzór Taylora (drugiego rzędu, ze szkicem dowodu) i jego zastosowanie do rozpoznawania ekstremów funkcji wielu zmiennych; sformułowaliśmy twierdzenie, obejmujące Tw. 2.63 (ii) oraz (iv) i Tw. 2.65 z [PS2]. Pokazaliśmy kilka prostych przykładów zastosowań tych kryteriów - w tym przykłady, w których założenia twierdzeń nie są spełnione i o niczym wnioskować nie można.

Na koniec wykładu, czysto informacyjnie i wskutek pytań z sali o formę wzoru Taylora z pochodnymi wyższych rzędów, wspomniana została notacja wielowskaźnikowa i pojawiło się sformułowanie wzoru Taylora w tej notacji. Zainteresowanych większą liczbą szczegółów - niekoniecznie potrzebnych do rozwiązywania typowych zadań egzaminacyjnych, ale wspomagających pełniejsze zrozumienie teorii - odsyłam do podrozdziału 2.5.4 w [PS2].