4 i 11 kwietnia odbyły się w sumie aż trzy wykłady. Omawialiśmy nadal różne zastosowania całek oznaczonych; na ostatnim wykładzie wprowadzone zostały całki oznaczone niewłaściwe i zaczęliśmy mówić o funkcji Gamma. Materiał tych wykładów w większości pokrywają (w części z pewnym naddatkiem) rozdziały 9.2.2, 9.3, 10.1 i 10.2 skryptu [PS1].

Oto nieco bardziej szczegółowa lista zagadnień:

4 kwietnia:

1. -przedstawione zostało twierdzenie, pozwalające szacować błąd przybliżenia całki z funkcji klasy C^2 metodą trapezów (podział odcinka całkowania na n równych części daje wynik z dokładnością rzędu 1/n^2);
   

2. -udowodniliśmy wzór Stirlinga, znaną metodą przez przybliżanie całki z logarytmu naturalnego na długich odcinkach;
   

3. -udowodniliśmy niewymierność liczby π;
   

4. -powiedzieliśmy sobie kilka informacyjnych słów o liczbach przestępnych;
   

5. -potem zaś próbowaliśmy porozmawiać o ogólnym pytaniu: „jakie funkcje można właściwie całkować i czy każdy podzbiór prostej ma długość, a każda figura - pole”. Pojawił się przykład Vitaliego (zbioru niemierzalnego), tzn. wykazaliśmy, że nie ma funkcji d przeliczalnie addytywnej i niezmienniczej na przesunięcia, która byłaby określona na wszystkich podzbiorach prostej i dla każdego przedziału (x,y) byłoby d((x,y))=y-x.
   

6. -Na koniec porozmawialiśmy o całce Riemanna funkcji ograniczonej. Zdefiniowane zostały sumy całkowe górne i dolne oraz całka górna i dolna; sformułowaliśmy twierdzenie, które charakteryzuje funkcje ograniczone całkowalne w sensie Riemanna (całkowalność wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów nieciągłości ma miarę zero).
   

Natomiast 11 kwietnia:

1. -pokazaliśmy zastosowanie całki oznaczonej do obliczania granic pewnych ciągów (dzięki temu, że sumy Riemanna funkcji ciągłej zbiegają do całki);
   

2. -zdefiniowaliśmy całki niewłaściwe;
   

3. -pojawiły się dwa kryteria zbieżności: przez porównanie z odpowiednim szeregiem (dla f. monotonicznej) oraz - bez dowodu - kryterium Abela-Dirichleta;
   

4. -pojawiło się kilka przykładów: oczywiste całki z funkcji potęgowej na odcinku (0,1) i na półprostej, całki Fresnela z sin(x^2) i cos(x^2).
   

Potem zaś zdefiniowaliśmy funkcję Gamma, sprawdziliśmy poprawność jej definicji dla a>0, sprawdziliśmy jej najprostsze własności, wreszcie zaś pokazaliśmy, że z nierówności Hoeldera wynika logarytmiczna wypukłość funkcji Gamma. Na koniec pojawiło się twierdzenie Bohra: jeśli f jest logarytmicznie wypukła, f(1)=1 i f(x+1)=x f(x) dla wszystkich x>0, to f jest funkcją Gamma.

Wnioski z tego twierdzenia (czy raczej z jego dowodu) pozwolą nam następnym razem wyznaczyć wartość całki z funkcji exp(-x^2) na całej prostej.