W ostatni czwartek listopada omówiliśmy definicję exp w dziedzinie zespolonej za pomocą wiadomego szeregu i pokazaliśmy, że

a) szereg ten jest bezwzględnie zbieżny na całej płaszczyźnie;

b) jego suma jest równa granicy (1+z/n)^n dla n dążących do nieskończoności;

c) exp(z+w)=exp(z)exp(w) dzięki twierdzeniu Mertensa o mnożeniu szeregów;

500. d)rachując na szeregach, wykazaliśmy dwie kolejne własności:
     

** exp(z_n) zbiega do exp(z), gdy z_n zbiega do z,

** (exp(z+w_n)-epx(z)) / w_n zbiega do exp(z), gdy w_n zbiega do zera.

Pojawiły się też definicje sinusa i cosinusa w C (za pomocą wzorów Eulera, jako wiadomych kombinacji liniowych exp(iz)). Sprawdziliśmy jedynkę trygonometryczną, rozwinięcia obu funkcji w szeregi potęgowe, wzory na różnicę sinusów i cosinusów.

Następnym razem: cd. własności funkcji trygonometrycznych i liczba pi.

W skrypcie [PS1] odpowiedni materiał można znaleźć w podrozdziałach 4.4 i 4.5. Polecam też rysunki z „portretami” funkcji exp, ze stron 69-71 w [PS1]. Zainteresowani mogą samodzielnie poeksperymentować z podobnymi rysunkami; to wzmacnia wyobraźnię.