Na wykładach 5 i 12 grudnia skończyliśmy omawiać własności funkcji trygonometrycznych (udowodniliśmy m.in., że cosinus ma dokładnie jedno miejsce zerowe b w przedziale (0,2); dwukrotność b to z definicji liczba π; udowodnilliśmy słynny wzór

exp(i π) + 1 = 0

i okresowość exp, sin i cos), a zaczęliśmy omawiać granicę i ciągłość funkcji.

Sformułowane zostały definicje Heinego i Cauchy’ego; jeszcze 5 grudnia wykazaliśmy ich równoważność. Pojawiły się też następujące pojęcia / fakty:

1. -twierdzenie o arytmetycznych własnościach granicy;
   

2. -pojęcie granicy jednostronnej i związek granic jednostronnych z istnieniem granicy;
   

3. -definicja ciągłości (wiadomo z wykładu, że ciągłe są wielomiany, exp, sin, cos, ln);
   

4. -bez dowodu: twierdzenie o tym, że funkcja odwrotna do funkcji ciągłej, różnowartościowej jest ciągła;
   

5. -różne przykłady, w tym np. sin(1/x) w zerze oraz znana funkcja Riemanna (ciągła tylko w punktach niewymiernych);
   

6. -twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów (z dowodem);
   

7. -własność Darboux (ze szkicem dowodu i komentarzem, że w szczególnych przypadkach oparte w istocie na niej rozumowania oglądaliśmy już na wykładzie).
   

Następnym razem cd. Po Nowym Roku zaczniemy różniczkować.