Pierwszy wykład w 2019 roku poświęcony był wypukłości; omówiliśmy większość podrozdziału 5.7 w [PS1]. Zaczęliśmy od definicji funkcji wypukłej / wklęsłej (za pomocą nierówności Jensena) oraz od interpretacji geometrycznej tej definicji: każdy odcinek siecznej leży w całości nad / pod wykresem funkcji.

Powiedzieliśmy sobie, że funkcja wypukła na odcinku domkniętym nie musi być ciągła (możliwe są nieciągłości w końcach odcinka), ale funkcja wypukła zdefiniowana na przedziale otwartym jest ciągła (naszkicowaliśmy dowód tego twierdzenia i jego główną, geometryczną ideę). Potem omówiliśmy kryterium wypukłości funkcji ciągłych:

1. -jeśli f jest ciągła na odcinku I i nierówność Jensena zachodzi dla wszystkich x, y oraz dla t=1/2 (tzn. wiadomo o położeniu środka każdego odcinka siecznej), to f jest wypukła;
   

2. -dopowiedzieliśmy, że ostre nierówności dla x, y różnych gwarantują ścisłą wypukłość.
   

Sprawdziliśmy dzięki temu kryterium:

1. -ścisłą wypukłość exp na prostej i ścisłą wklęsłość logarytmu na dodatniej półosi;
   

2. -ścisłą wklęsłość sinusa na przedziale (0, π).
   

Powiedzieliśmy też, co to jest uogólniona nierówność Jensena (dla n punktów i n wag nieujemnych o sumie 1), i pokazaliśmy dwa zastosowania:

1. -wklęsłość sinusa na (0, π) implikuje, że spośród N-kątów wpisanych w ustalone koło największe pole ma N-kąt foremny;
   

2. -wklęsłość logarytmu łatwo pociąga za sobą nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną.
   

Zakończyliśmy informacją (sformułowanie + rysunki), że wypukłość równoważna jest monotoniczności ilorazów różnicowych, patrz Tw. 5.76 w skrypcie [PS1].