Dzisiejszy wykład miał dwie części:

1. 1.Warunek Cauchy’ego: definicja, twierdzenie o równoważności warunku Cauchy’ego i zbieżności ciągu liczb rzeczywistych. Informacja, że liczby rzeczywiste można skonstruować, dzieląc zbiór ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego przez relację równoważności, utożsamiającą ciągi, których różnica zbiega do zera (zarówno to, że ciąg liczb wymiernych spełnia warunek Cauchy’ego, jak i to, że taki ciąg jest zbieżny do zera, można zdefiniować, używając tylko liczb wymiernych).
   
   

2. 2.Szeregi: definicja, warunek Cauchy’ego dla szeregów, zbieżność wyrazów do zera jako warunek konieczny zbieżności. Rozbieżność szeregu harmonicznego. Zbieżność szeregu geometrycznego i szeregu o wyrazach 1/n^2. Szeregi o wyrazach dodatnich: kryterium porównawcze w wersji najprostszej i w wersji asymptotycznej. Przykłady cd: szereg 1/n^p dla p>0, szereg 1/ (n log n).
   
   Na koniec dwa przykłady bardziej subtelne: szereg odwrotności liczb pierwszych, szereg odwrotności liczb, w których zapisie dziesiętnym nie ma cyfry 9. Oba z solidnymi szkicami dowodów.
   
   W skrypcie  [PS1] odpowiedni materiał można znaleźć w rozdziale 2 (Tw. 2.38 o warunku Cauchy’ego) i rozdziale 4 (podrozdziały 4.1-4.2).
   
   Następnym razem zaczniemy mówić o szeregach o wyrazach dowolnych.