Październik minął w okamgnieniu. Następny czwartek wypada w dzień Wszystkich Świętych, więc spotkamy się następny raz dopiero 8 listopada.

Na dzisiejszym wykładzie omówione zostały:

1. 1.Twierdzenie 2.23 ze skryptu [PS1] : każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny, z dowodem. Omówliśmy też jeden przykład zastosowania (2.25 z [PS1] ).
   

2. 2.Definicja podciągu i Twierdzenie 2.35 (Bolzano-Weierstrassa: każdy ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny). Omówiliśmy szkice dwóch dowodów: (a) z wykorzystaniem lematu Sierpińskiego, orzekającego, że każdy ciąg ma podciąg monotoniczny, (b) bardziej tradycyjnego, polegającego w istocie na stabilizowaniu kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego (czy dwójkowego) wyrazów wybieranego podciągu.
   

3. 3.Twierdzenie „o scalaniu” (kiedy na podstawie zbieżności podciągów można mówić o zbieżności całego ciągu, patrz Stw. 2.37 w [PS1]).
   

4. 4.Lemat 3.1 (o ciągach szybko zbieżnych do 1) i twierdzenie 3.2 z [PS1] , wyliczające własności funkcji wykładniczej: nie skończyliśmy jeszcze  dowodu, ale wykazaliśmy wszystkie własności (E1)-(E8) z listy w tw. 3.2 opróc (E4), (E7) i (E8). Od tych uzupełnień zaczniemy następny wykład.
   

Nie mówiliśmy o granicach niewłaściwych ani warunku Cauchy’ego - znajdzie się jeszcze na to czas.