Dzisiejszy wykład zaczął się od przypomnienia sformułowania zasady indukcji zupełnej, a następnie przedstawione zostały dwa różne dowody indukcyjne (patrz skrypt [PS1], podrozdział 1.2, stw. 1.8 i tw. 1.9):

1. -łatwy, nierówności Bernoulliego;
   

2. -trudniejszy, nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną (z nierównością Bernoulli’ego jako kluczowym narzędziem),
   

Powiedzieliśmy też sobie, analizując wspólnie oba dowody, że równość w nierówności między średnimi n liczb nieujemnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te liczby są równe.

W drugiej części wykładu pojawiły się:

1. -definicja entier,
   

2. -pojęcie gęstego podzbioru R i twierdzenie o gęstości zbioru liczb wymiernych oraz zbioru liczb niewymiernych,
   

3. -twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności nieujemnych pierwiastków n-tego stopnia z liczb nieujemnych (Tw. 1.11 w [PS1]), z solidnym szkicem dowodu i podkreśleniem roli aksjomatu ciągłości w tej części dowodu, gdzie mowa jest o istnieniu pierwiastka (powiedzieliśmy sobie ze słuchaczami, że jest to typowy dowód czysto egzystencjalny, nie dostarczający żadnej metody obliczania pierwiastków).
   

Na następnym wykładzie planuję wprowadzić pojęcie granicy ciągu.