Funkcje analityczne

1. Student umie obliczać całki oznaczone o stopniu trudności \[\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos z}{(1+z^2)(1+z^4)}\] lub \[\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^3 x}{x^3}dx\]
2. Student umie badać liczbę rozwiązań równania stosując twierdzenie Rouche, w sytuacji nie trudniejszej niż: znajdź liczbę rozwiązań równania \(e^z+z^8-2z+3=0\) w zbiorze \(\frac12<|z|<2\).
3. Student stosuje zasadę argumentu do badania liczby pierwiastków wielomianu w zbiorze \(\operatorname{Re} z>0\) lub podobnym.

1. Student wyznacza nietrywialne automorfizmy zbiorów jednospójnych lub z grupą podstawową \(\mathbb{Z}\). Na przykład, wyznacza automorfizm koła \(|z|<1\) z wyciętym odcinkiem \((-1,0)\), który przeprowadza \(i/2\) na \(1/2\).
2. Student wykorzystuje całkowanie po konturach do wyznaczania sum szeregu typu \(\sum\frac{1}{n^4+1}\).
3. Student oblicza całki oznaczone o wyższym stopniu złożoności, w tym wykorzystujące funkcje wieloznaczne. Dla przykładu, umie obliczyć całkę \[\int_0^1 \frac{x^{1-p}(1-x)^p}{(1+x)^3}dx.\] gdy $p\in(-1,2)$ oraz jeśli podana jest wskazówka, jaki kontur należy rozważyć.
4. Student stosuje zasadę identyczności do analizowania funkcji, jak w przykładzie: czy istnieje funkcja analityczna, na dysku, która w punkcie \(\frac{1}{n}\) przyjmuje wartość \((-1)^n\frac{1}{n}\)?
5. Student znajduje rozwinięcie funkcji meromorficznej w szereg Laurenta.
6. Student znajduje punkty osobliwe funkcji, określa ich charakter, oblicza residua.

Student przeprowadza rozumowanie i argumentację wykorzystującą metody i idee funkcji zespolonych. Dla przykładu, rozwiązuje zadania typu:

• Wykaż, że nie istnieje funkcja holomorficzna w kole, ciągła na domknięciu, która przyjmuje wartość \(\overline{z}\) w punkcie \(z\in S^1\).
• Przypuśćmy, że funckja całkowita \(f\) dla \(|z|>r_0\) spełnia oszacowanie \( |f(z)|\le C|z|^N \). Wykaż, że \(f\) jest wielomianem.