Geometria krzywych algebraicznych

Data	Tytuł	Referent	Główne źródło	Uwagi
9.X.2008	Twierdzenie Puiseux	Piotr Achinger	Singular points of plane curves, rozdz. 2.1 i 2.2
16.X.2008	Krotności przecięć krzywych	Karol Szumiło	Hartshorne, Szafarewicz i inni.	Literatura będzie sprecyzowana
23.X.2008	Rozdmuchanie osobliwości krzywych płaskich	Marcin Kotowski	Singular points of plane curves, rozdz. 3
30.X.2008	Rozdmuchanie osobliwości cd.	Marcin Kotowski + prowadzący seminarium	Własne przykłady.	Będzie liczenie dużej liczby przykładów.
6.XI.2008	Algebraiczna definicja liczby Milnora	Maciej Borodzik	Arnold, Varchenko, Gussein--Zade, tom 1.	Może ktoś się zgłosi i mnie wyręczy?
13.XI.2008	Twierdzenie Milnora o bukiecie	Stanisław Szawiel	Milnor, "Singular points of complex hypersurfaces"
20.XI.2008	Liczba Milnora i wzór Poincarego -- Hopfa	Michał Kotowski	np. Borodzik, Żołądek "Complex algebraic curves via Poincare--Hopf formula. I. Parametric lines"	Jako współautor podejścia mogę pomóc wyjaśnić
27.XI.2008	Wstęp do teorii węzłów.	Agnieszka Bodzenta	np. Kauffman "On knots", Rolfsen, Eisenbud--Neumann	Referat z pozoru niezwiązany z seminarium.
4.XII.2008	Węzły algebraiczne.	Maciej Borodzik	Eisenbud--Neumann	Znów może mnie ktoś wyręczy.
11.XII.2008	Ciągi charakterystyczne	Dominika Pawlik	podam wkrótce	ten referat zbiera niektóre rzeczy, które pojawią się wcześniej, np. wzór na liczbę Milnora przez ciąg charakterystyczny itd.
18.XII.2008	Dowód twierdzenia AMS przez teorię węzłów.	Maciej Borodzik	praca Rudolpha.	Też referat do wzięcia.
8.I.2009	Wstęp do geometrii rzutowej	??	??	Może zostać zamienione z poprzednim. O przestrzeni rzutowej, współrzędnych rzutowych itd.
15 i 22.I.2009	Geometria algebraiczna w pigułce	Mariusz Koras	Griffiths--Harris, Szafarewicz, Hartshorne (może bez przesady).	Pojęcia dywizoru na krzywej i powierzchni, twierdzenie Riemanna--Rocha, dualność Serre'a ew. twierdzenie Kodairy o znikaniu.
Po przerwie semestralnej	Teoria przecięć na powierzchniach algebraicznych.	??	jak wyżej, ewentualnie też Fulton "Intersection theory"	push-pull formula, zachowanie dywizora kanonicznego przy rozdmuchaniu, Hodge Index Theorem, wyjaśnienie wzoru Milnora przez formułę o dołączaniu

Ponadto, w przyszłości:

jeden z dowodów formuły na genus
wymiar Kodairy, zastosowanie: twierdzenie o klasyfikacji powierzchni
logarytmiczny wymiar Kodairy
nierówność Bogomołowa--Miyaoki--Yau, jeden albo dwa dowody najprostszego przypadku.
interpretacja nierówności BMY przez MB, Żołądka, zastosowania
ewentualnie: dowód Gurjara--Miyanishie'go twierdzenia Zajdenberga--Lina
ewentualnie: klasyfikacja gładkich zanurzeń C^* w C^2.

Oszacowanie liczby punktów osobliwych krzywej afinicznej w terminach pierwszej liczby Bettiego. Zrobione przez M.B. dla krzywych z jednym miejscem w nieskończoności. Ogólny przypadek wymaga nietrywialnych rachunków i jakiegoś pomysłu na liczenie.
Dokończenie klasyfikacji osobliwych pierścieni (zanurzeń C^* w C^2). Klasyfikacja M.B. i Żołądka zakłada prawdziwość pewnej nierówności, która jest udowodniona w nieco słabszej wersji. Prawdopodobnie parę tygodni (conajwyżej) dość żmudnych rachunków pozwoli na zakończenie sprawy. A wynik będzie wtedy bardzo mocny.
Dłubanie przy stopniu odwzorowania Expan z pracy "Geometry of Puiseux expansions". Tutaj do zrobienia (i wymyślenia) jest bardzo dużo, w szczególności odpowiedź na pytanie: do czego może to być potrzebne. Niemniej teoria jest bardzo ciekawa.
Zastosowanie sygnatury Tristrama--Levina (z teorii węzłów) do badania krzywych algebraicznych. Do tej pory wychodzą wnioski ze zwykłej sygnatury. Uwaga! Może się okazać, że sam tym się zajmę i problem będzie nieaktualny.
Mam też kilka problemów w stylu: policzyć wyznacznik macierzy złożonej z współczynników dwumianowych i pokazać, że jest on niezerowy, bo ten wyznacznik jest jakoś tam ważny.

Geometria krzywych algebraicznych na płaszczyźnie.

Maciej Borodzik