\documentclass[licencjacka]{pracamgr}

\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}

\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{polski}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage{polski}

%\usepackage[latin2]{inputenc}

% Dane magistranta:

\author{Marcin Pilipczuk}

\nralbumu{214563}

\title{
  Uzwarcenie i Korona Higsona
}

\tytulang{
  Higson's compactification and Higson's corona
}

%kierunek: Matematyka, Informatyka, ...
\kierunek{Matematyka}

% miesiąc i~rok:
\date{Maj 2007}

%Podać dziedzinę wg klasyfikacji Socrates-Erasmus:
\dziedzina{ 
%11.0 Matematyka, Informatyka:\\ 
11.1 Matematyka\\ 
%11.2 Statystyka\\ 
%11.3 Informatyka\\ 
%11.4 Sztuczna inteligencja\\ 
%11.5 Nauki aktuarialne\\
%11.9 Inne nauki matematyczne i informatyczne
}

%Klasyfikacja tematyczna wedlug AMS (matematyka) lub ACM (informatyka)
  % TODO: dowiedziec sie
\klasyfikacja{
  54-xx General topology\\
  54Dxx Fairly general properties\\
  54D35 Extensions of spaces (compactifications, supercompactifications, completions, etc.)}

%%% MATEMATYKA
% Znaczki liczb
\newcommand{\Z}{{\ensuremath{\mathbb Z}}}
\newcommand{\N}{{\ensuremath{\mathbb N}}}
\newcommand{\C}{{\ensuremath{\mathbb C}}}
\newcommand{\Q}{{\ensuremath{\mathbb Q}}}
\newcommand{\R}{{\ensuremath{\mathbb R}}}
\newcommand{\E}{{\ensuremath{\mathbb E}}}
\newcommand{\bor}{{\ensuremath{\mathbb B}}}
\renewcommand{\P}{{\ensuremath{\mathbb P}}}
\newcommand{\eE}{\ensuremath{\mathcal E}}
% "Nie przystaje" - \nequiv
\def\nequiv{\ensuremath{\mbox{$\; \equiv$\hspace{-0.25cm}/\hspace{0.23cm}}}}

%%% PROSTE BAJERY
% Kwadracik na koniec dowodu
\newcommand{\cnd}{\vspace{-0.65cm} \begin{flushright} $\blacksquare$ \end{flushright}}

\newcommand{\wek}[1]{{\ensuremath{\mathbf #1}}}

\newcommand{\komen}[1]{}
\newcommand{\lap}{\bigtriangleup}
\newcommand{\gra}{\bigtriangledown}
\newcommand{\wtw}{\Leftrightarrow}

\begin{document} \hyphenation{u-ro-dzo-nych cal-ko-wi-tych po-strze-gac trze-ba}
\newtheorem{twierdzenie}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[twierdzenie]{Fakt}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicja}[twierdzenie]{Definicja}
\newtheorem{wniosek}[twierdzenie]{Wniosek}
\newtheorem{przyklad}[twierdzenie]{Przyk"lad}
\newtheorem{uwaga}[twierdzenie]{Uwaga}

% Praca wykonana pod kierunkiem:
% (podać tytuł/stopień imię i nazwisko opiekuna
% Instytut
% ew. Wydział ew. Uczelnia (jeżeli nie MIM UW))
\opiekun{dra Tadeusza Ko"zniewskiego\\
  }

% Słowa kluczowe:
\keywords{uzwarcenie, sie"c, struktura zgrubna, topologiczna struktura zgrubna, 
  kontrolowany w spos"ob ci"ag"ly}


\maketitle

%tu idzie streszczenie na strone poczatkowa
\begin{abstract}
W poni"rszej pracy przedstawiam, z wszystkimi potrzebnymi narz"edziami, konstrukcj"e
oraz podstawowe w"la"sciwo"sci uzwarcenia i korony Higsona dla w"la"sciwej przestrzeni zgrubnej.
Pokazuj"e, "re korona Higsona mo"re by"c zdefiniowana dla dowolnej przestrzeni zgrubnej i, w ko"ncowym 
wniosku, dowodz"e zwi"azk"ow korony Higsona z r"ownowa"rno"sci"a zgrubn"a przestrzeni.
W ramach potrzebnych narz"edzi, wprowadzam sieci oraz teori"e przemiennych $\C^*$-algebr na potrzeby
konstrukcji i analizy uzwarce"n przestrzeni lokalnie zwartych Hausdorffa.
\end{abstract}

\tableofcontents
%\listoffigures
%\listoftables

\chapter*{Wprowadzenie}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Wprowadzenie}

Celem poni"rszej pracy jest przedstawienie uzwarcenia i korony Higsona, wraz z podstawowymi w"la"sciwo"sciami.

W rozdziale pierwszym przedstawiam najprostsze narz"edzia i przypominam kilka definicji z zakresu
topologii og"olnej: aksjomaty przeliczalno"sci, przestrzenie zwarte i parazwarte oraz poj"ecie sieci.
Ze wzgl"edu na brak poj"ecia sieci w programie przedmiotu Topologii I dok"ladnie omawiam z dowodami
w"la"sciwo"sci sieci w przestrzeniach Hausdorffa.

W rozdziale drugim wprowadzam podstawowe narz"edzie do analizy uzwarce"n, mianowicie przemienne $\C^*$-algebry.
Przedstawiam podstawowe w"la"sciwo"sci i zwi"azki $\C^*$-algebr z przestrzeniami zwartymi. W szczeg"olno"sci
pokazuj"e, "re ka"rde uzwarcenie pochodzi od jakiej"s $\C^*$-podalgebry algebry wszystkich funkcji zespolonych, ci"ag"lych,
ograniczonych i pokazuj"e jak zawieranie si"e podalgebr wp"lywa na zale"rno"sci mi"edzy uzwarceniami. Ze wzgl"edu na
narz"edziowy, a przy tym trudny charakter tego rozdzia"lu dowody s"a w wi"ekszo"sci szkicowe.

Rozdzia"l trzeci przedstawia skr"otowo podstawowe poj"ecia przestrzeni zgrubnych oraz pokazuje konstrukcj"e
topologicznej struktury zgrubnej dla danego uzwarcenia. Uzwarcenie Higsona jest pr"ob"a odwr"ocenia operacji
tworzenia topologicznej struktury zgrubnej.

W czwartym rozdziale przedstawiam konstrukcj"e korony i uzwarcenia Higsona. Nast"epnie pokazuj"e podstawowe w"la"sciwo"sci
uzwarcenia Higsona, dowodz"e w jakim stopniu uzwarcenie Higsona jest odwr"oceniem operacji wzi"ecia topologicznej struktury
zgrubnej. Na koniec pokazuj"e, "re definicja korony Higsona jest og"olniejsza od samego uzwarcenia i koncz"e prac"e dowodem
twierdzenia, "re zgrubnie r"ownowa"rne przestrzenie maj"a homeomorficzne korony Higsona.

\chapter{Podstawowe definicje}\label{r:pojecia}

W tym rozdziale om"owimy podstawowe i proste narz"edzia u"rywane w dalszej pracy. Najpierw przypomnimy
warunki przeliczalno"sci przestrzeni. Nast"epnie wprowadzimy 
poj"ecie sieci, kt"ore jest przeniesieniem idei ci"ag"ow na dowolne przestrzenie topologiczne
Hausdorffa. Na koniec wprowadzimy poj"ecie przestrzeni parazwartej.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PRZELICZALNOSC %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Warunki przeliczalno"sci i przestrzenie zwarte}

Przypomnijmy, co to znaczy pierwszy i drugi warunek przeliczalno"sci i jak one si"e wi"a"r"a z przestrzeniami
zwartymi.

\begin{definicja}
M"owimy "re przestrze"n {\em{spe"lnia pierwszy warunek przeliczalno"sci}} je"sli ka"rdy punkt ma przeliczaln"a 
baz"e otocze"n.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Przestrze"n metryzowalna spe"lnia pierwszy warunek przeliczalno"sci --- wystarczy wzi"a"c kule o promieniu
$\frac{1}{n}$ wok"o"l ka"rdego punktu.
\end{przyklad}

\begin{definicja}
M"owimy "re przestrze"n {\em{spe"lnia drugi warunek przeliczalno"sci}} je"sli jej topologia ma przeliczaln"a baz"e.
\end{definicja}

\begin{twierdzenie}[Urysohn]
Przestrze"n T3 spe"lniaj"aca drugi warunek przeliczalno"sci jest metryzowalna.
\end{twierdzenie}

\begin{fakt}
Przestrze"n zwarta metryzowalna spe"lnia drugi warunek przeliczalno"sci.
\end{fakt}

\begin{proof}
Dla ka"rdego $n$ zbi"or $\{B(x, \frac{1}{n}) : x\in X\}$ jest pokryciem otwartym, mo"remy z niego wybra"c pokrycie 
sko"nczone. Zauwa"rmy, "re sumuj"ac te pokrycia sko"nczone dla ka"rdego $n$ otrzymamy baz"e topologii na $X$. Istotnie,
  je"sli $U$ jest zbiorem otwartym w $X$, to dla ka"rdego punktu $x \in U$ dla pewnego $n$ mamy 
  $B(x, \frac{1}{n}) \subset U$, ale $x$ siedzi w jakiej"s kulce $B(y, \frac{1}{2n})$ z wybranego pokrycia sko"nczonego
  dla $2n$. Ta kulka zawiera si"e w $B(x, \frac{1}{n})$, czyli te"r w $U$. Sumuj"ac takie kulki dla ka"rdego $x \in U$
  otrzymamy $U$, czyli jest to rzeczywi"scie baza topologii.
\end{proof}

\begin{wniosek}\label{metrwtwsc}
Przestrze"n zwarta jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy gdy spe"lnia drugi warunek przeliczalno"sci.
\end{wniosek}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% SIECI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sieci}

Na prostej rzeczywistej bardzo u"rytecznym jest poj"ecie ci"agu i zbie"rno"sci ci"agu. 
Dzi"eki niemu mo"remy sprawdzi"c czy funkcja jest ci"ag"la, czy zbi"or jest domkni"ety lub otwarty itd.
Tymczasem w og"olnych przestrzeniach topologicznych ci"agi (jak poni"rej poka"remy) nie wystarczaj"a.
{\em{Sie"c}} okazuje si"e by"c bardzo dobrym uog"olnieniem poj"ecia ci"agu i
sporo wynik"ow dla ci"ag"ow na prostej rzeczywistej przenosi si"e na sieci w przestrzeniach Hausdorffa.

\begin{definicja}
{\em{Zbiorem skierowanym}} nazywamy zbi"or $X$ wraz z cz"e"sciowym porz"adkiem $\leq$, taki, "re
dla ka"rdych $a, b \in X$ istnieje $c \in X$, "re $a \leq c$ i $b \leq c$.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Dowolny porz"adek liniowy na zbiorze $X$ definiuje zbi"or skierowany ($c = \max(a, b)$).
\end{przyklad}

\begin{przyklad}\label{zbiorotoczen}
We"zmy przestrze"n topologiczn"a $X$ i punkt $x \in X$. Zbi"or wszystkich otocze"n (otwartych)
punktu $X$ z porz"adkiem b"ed"acym odwrotn"a inkluzj"a ($U \leq V \wtw V \subset U$) jest zbiorem
skierowanym ($c = a \cap b$).
\end{przyklad}

\begin{definicja}
{\em{Sieci"a}} w zbiorze $X$, indeksowan"a zbiorem skierowanym $A$ nazywamy dowoln"a funkcje
$A \to X$. Warto"s"c tej funkcji w punkcie $\alpha \in A$ b"edziemy oznacza"c przez $x_\alpha$.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Skoro liczby naturalne s"a zbiorem skierowanym, to dowolny ci"ag jest sieci"a. Powy"rsza definicja
jest uog"olnieniem definicji ci"agu.
\end{uwaga}

Spr"obujmy teraz uog"olni"c definicj"e zbie"rno"sci ci"agu.
W poni"rszych definicjach niech $X$ b"edzie przestrzenia topologiczn"a, niekoniecznie metryczn"a.

\begin{definicja}
Niech $Y \subset X$. M"owimy, "re sie"c $(x_\alpha)$ jest {\em{rezydualnie w $Y$}} je"sli istnieje
$\alpha \in A$, "re dla ka"rdego $\beta \geq \alpha$ zachodzi $x_\beta \in Y$.
\end{definicja}

\begin{definicja}
M"owimy, "re sie"c {\em{$(x_\alpha)$ zbiega do $x$}}, je"sli dla ka"rdego otoczenia $Y$ punktu $x$
sie"c $(x_\alpha)$ jest rezydualnie w $Y$.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zauwa"rmy, "re dla ci"ag"ow w przestrzeni metrycznej ta definicja zbie"rno"sci pokrywa si"e z definicj"a klasyczn"a.
\end{uwaga}

\begin{uwaga}
Mo"remy sprawdza"c t"e definicj"e tylko dla otocze"n otwartych punktu $x$, gdy"r je"sli $U$ jest otoczeniem $x$,
  to $int U \subset U$ te"r jest otoczeniem i je"sli sie"c jest rezydualnie w $int U$, to jest te"r rezydualnie w $U$.
  \end{uwaga}

\begin{przyklad}
We"zmy punkt $x \in X$. Jak ju"r zauwa"ryli"smy w przyk"ladzie \ref{zbiorotoczen},
otoczenia $x$ w $X$ tworz"a zbi"or skierowany.
W ka"rdym takim otoczeniu $U$ we"zmy jeden punkt $x_U$. To jest sie"c w $X$. Co wi"ecej, ta sie"c
jest zbie"rna do $x$. Istotnie, je"sli $U$ jest otoczeniem $x$, to dla ka"rdego $U \leq V$ (czyli
$V \subset U$) mamy $x_V \in V \subset U$. 
\end{przyklad}

Mamy ju"r definicj"e sieci i zbie"rno"sci sieci, kt"ore s"a uog"olnieniem definicji ci"agu.
Udowodnijmy teraz jakie"s w"lasno"sci. W szczeg"olno"sci dobrze by by"lo, je"sli ci"ag mia"lby tylko jedn"a granic"e.

\begin{fakt}
$X$ jest przestrzeni"a Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy ka"rda sie"c w $X$ ma co najwy"rej jedn"a granic"e.
\end{fakt}

\begin{proof}
Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a Hausdorffa. Za"l"o"rmy, "re sie"c $(x_\alpha)$ ma dwie granice $x$ i $x'$.
We"zmy roz"l"acze otwarte otoczenia $x \in U$ i $x' \in U'$. $(x_\alpha)$ jest rezydualnie w $U$ i w $U'$,
  czyli istniej"a $\alpha, \alpha' \in A$ tak jak w definicji. $A$ jest skierowany, czyli istnieje
  $\gamma \geq \alpha, \alpha'$. Czyli $x_\gamma \in U$ i $x_\gamma \in U'$, co jest sprzeczne
  z roz"l"aczno"sci"a $U$ i $U'$. 

W drug"a stron"e, zauwa"rmy, "re zbiorem skierowanym s"a pary otocze"n otwartych punkt"ow $x$ i $y$, z odwrotn"a
inkluzj"a obu wsp"o"lrz"ednych, tj. $(U_x, U_y) \leq (V_x, V_y)$ wtedy i tylko wtedy gdy zar"owno $V_x \subset U_x$ 
jak i $V_y \subset U_y$. Niech $x$ i $y$ b"ed"a punktami zaprzeczaj"acymi Hausdorffowo"sci przestrzeni.
W"owczas mo"remy z ka"rdej pary otocze"n otwartych $(U_x, U_y)$ wybra"c punkt $x_{(U_x, U_y)} \in U_x \cap U_y$. 
To jest sie"c i w "swietle definicji zbie"rno"sci zbiega zar"owno do $x$ jak i do $y$. Istotnie, dla otoczenia $U_x$ punktu
$U$, element $(U_x, X)$ jest "swiadkiem na to, "re ci"ag $x_{(U_x, U_y)}$ jest rezydualnie w $U_x$. 
\end{proof}

Do dalszych rozwa"ra"n potrzebujemy jeszcze kilku definicji.

\begin{definicja}
Powiemy, "re sie"c $(x_\alpha)$ jest {\em{cz"esto w $Y \subset X$}}, je"sli dla ka"rdego $\alpha \in A$
istnieje $\beta \geq \alpha$, "re $x_\beta \in Y$. 
\end{definicja}

\begin{definicja}
Powiemy, "re sie"c $(x_\alpha)$ ma {\em{punkt skupienia w $x \in X$}} je"sli dla ka"rdego otoczenia
$U$ punktu $x$ sie"c $(x_\alpha)$ jest cz"esto w $U$.
\end{definicja}

Okazuje si"e, "re w j"ezyku sieci mo"rna przedstawi"c r"ownowa"rnie wiele definicji topologicznych w przestrzeniach
Hausdorffa. Poni"rej przedstawiam ci"ag przydatnych fakt"ow. W tych faktach milcząco
zakładamy, że występujące przestrzenie są Hausdorffa. 

\begin{fakt}\label{sieciwcl}
Niech $Y \subset X$. W"owczas $x \in cl Y$ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje sie"c w $Y$ zbie"rna do $x$.
W szczeg"olno"sci $Y$ jest domkni"ety wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie granice sieci z $Y$ le"r"a w $Y$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Niech $A$ b"edzie zbiorem tych $x \in X$, "re istnieje sie"c w $Y$ zbie"rna do $x$.
We"zmy punkt $x \in cl Y$. Skoro jest to punkt w domkni"eciu, to dla ka"rdego otoczenia $U$ punktu $x$
mamy $Y \cap int U \neq \emptyset$. We"rmy sie"c $(x_U)$ indeksowan"a otoczeniami $x$, tak, "re
$x_U \in Y \cap int U$. W"owczas $(x_U)$ jest sieci"a w $Y$ i $x_U \in U$, czyli $(x_U) \to x$.
Czyli $cl Y \subset A$. 

Z drugiej strony, niech $x \notin cl Y$. Czyli $U = X \setminus cl Y$ jest otoczeniem otwartym $x$.
Dla ka"rdej sieci $x_\alpha$ zawartej w $Y$, $x_\alpha$ nie ma szans by"c rezydualnie w $U$, bo
$\forall_\alpha x_\alpha \notin U$. Czyli $(x_\alpha)$ nie mo"re zbiega"c do $x$. Czyli 
$A = cl Y$.

Zdanie ,,W szczeg"olno"sci\ldots'' jest oczywist"a konsekwencj"a faktu: $Y$ jest domnkni"ety
wtedy i tylko wtedy gdy $Y = cl Y = A$, a $A$ jest zbiorem granic sieci.
\end{proof}

\begin{fakt}
Funkcja $f:X \to Y$ jest ci"ag"la wtedy i tylko wtedy gdy dla ka"rdego $x\in X$ i dla ka"rdej sieci $(x_\alpha)$
zbie"rnej do $x$, sie"c $(f(x_\alpha))$ jest zbie"rna do $f(x)$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Oczywi"scie $(f(x_\alpha))$ jest sieci"a --- jest to ci"ag element"ow $Y$ indeksowany zbiorem skierowanym $A$. 
Za"l"o"rmy, "re $f:X \to Y$ jest ci"ag"la i niech $(x_\alpha) \to x$. Niech $U$ b"edzie otoczeniem otwartym $f(x)$.
Chcemy wykaza"c, "re $(f(x_\alpha))$ jest rezydualnie w $U$. $f$ jest ci"ag"la, wi"ec $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym w $X$,
w dodatku $f(x) \in U$ czyli $x \in f^{-1}(U)$, czyli $f^{-1}(U)$ jest otoczeniem $x$. Wiemy, "re $(x_\alpha)\to x$, czyli
istnieje $\beta$ --- "swiadek na to, "re $(x_\alpha)$ jest rezydualnie w $f^{-1}(U)$. Ale $f(f^{-1}(U)) \subset U$, czyli
$\beta$ jest "swiadkiem na to, "re $(f(x_\alpha))$ jest rezydualnie w $U$.

Z drugiej strony, przypu"s"cmy, "re $f:X\to Y$ nie jest ci"ag"la. Istnieje wobec tego otwarty zbi"or $U \subset Y$, "re
$V = f^{-1}(U)$ nie jest otwarte. W zwi"azku z tym mo"remy wybra"c punkt $x \in V \setminus int V$. Skoro $x$ nie jest
w $int V$, to dla ka"rdego otoczenia $W$ punktu $x$, $W \setminus V \neq \emptyset$, w przeciwnym wypadku
$int V \cup int W$ by"loby wi"ekszym od $int V$ otwartym podzbiorem $V$. Skonstruujmy sie"c $(x_W)$ indeksowan"a
otoczeniami punktu $x$, gdzie $x_W \in W \setminus V$. Skoro $x_W \in W$, to $(x_W) \to x$. Z drugiej strony, skoro $x_W \notin V$,
to $f(x_W) \notin U$. Zbi"or $Y \setminus U$ jest domkni"ety, czyli je"sliby $(f(x_W))$ mia"lo granic"e, to z faktu \ref{sieciwcl}
granica ta nie mog"laby by"c w $U$. W szczeg"olno"sci $(f(x_W))$ nie mo"re zbiega"c do $f(x) \in U$. 
\end{proof}

\begin{uwaga}
Ten fakt nie jest prawdziwy je"sli zast"apimy sie"c przez ci"ag w przestrzeniach niespe"lniaj"acych
pierwszego aksjomatu przeliczalno"sci. 
Rozwa"rmy zbi"or $X = \omega_1$ z topologi"a ${\mathbf T} = \{U \subset X : |X\setminus U| \leq \omega\} \cup \{\emptyset\}$.
Je"sli ci"ag $(x_n)$ zbiega do $x$, to powinien od pewnego miejsca siedzie"c w nast"epuj"acym otoczeniu punktu $x$:
$U_0 = (X \setminus \{ x_n : n \in \N \}) \cup \{x\}$. Jest to zbi"or otwarty (wyrzucili"smy co najwy"rej przeliczalnie
wiele punkt"ow), a $\{ x_n : n \in \N \} \cap U_0 \subset \{x \}$. Czyli ci"ag $(x_n)$ od pewnego miejsca musi by"c r"owny $x$.
Wobec tego dla dowolnej przestrzeni metrycznej dowolna funkcja $f:X \to Y$ spe"lnia warunek, 
      "re je"sli $x_n \to x$ to $f(x_n) \to f(x)$, 
      w szczeg"olno"sci dla $Y = \omega_1$ z topologi"a dyskretn"a i $f$ b"ed"acego identyczno"sci"a na $\omega_1$. Ale w"owczas
      "reby $f$ by"la ci"ag"la, topologia na $X$ musia"laby by"c dyskretna, sprzeczno"s"c.
\end{uwaga}

Wprowad"zmy definicj"e podsieci. Mo"re si"e ona wydawa"c lekko skomplikowana, ale poka"remy zaraz jej u"ryteczno"s"c.
Potrzebujemy takiej definicji, gdy"r chcemy by niejako ,,podsie"c nie ko"nczy"la si"e wcze"sniej ni"r sie"c''. 

\begin{definicja}
Je"sli $A$ i $B$ s"a zbiorami skierowanymi i $f: A \to B$ zachowuje porz"adek, 
  to $f$ jest {\em{kofinalna}} je"sli dla ka"rdego $b \in B$
istnieje $a \in A$ takie, "re dla ka"rdego $a' \geq a$ mamy $f(a') \geq b$. W szczeg"olno"sci mamy $f(a) \geq b$.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Je"sli $A$ i $B$ s"a zbiorami skierowanymi i $\phi:B \to X$ jest sieci"a w przestrzeni $X$, za"s
$f: A \to B$ jest funkcj"a kofinaln"a, to $\phi \circ f$ nazywamy {\em{podsieci"a sieci $\phi$}}.
\end{definicja}

\begin{wniosek}
Niech $A \subset B$ i $f$ b"edzie identyczno"sci"a na $A$. W"owczas to jest kofinalne, je"sli dla ka"rdego $b \in B$
istnieje $a \in A$ takie, "re $a \geq b$. W"owczas oczywi"scie dla ka"rdego $a' \geq a$ mamy $a \geq b$. Czyli dowolny
podzbi"or $A \subset B$ taki, "re dla ka"rdego $b \in B$ istnieje $b \leq a \in A$ wyznacza podsie"c.
\end{wniosek}

\begin{fakt}\label{siecskupieniewtwpodsiec}
Sie"c ma punkt skupienia w $x$ wtedy i tylko wtedy gdy ma podsie"c zbie"rn"a do $x$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Implikacja z prawa na lewo jest prosta. We"zmy sie"c $(x_\beta)$ o zbiorze indeks"ow $B$ oraz zbi"or skierowany
$A$ i funkcj"e kofinaln"a $f:A \to B$ wyznaczaj"a podsie"c zbie"rn"a do $x$. Niech $U$ b"edzie dowolnym otoczeniem $x$,
niech $\alpha_0 \in A$ b"edzie "swiadkiem na to, "re $(x_{f(\alpha)})$ jest rezydualnie w $U$. $f$ jest funkcj"a kofinaln"a,
czyli dla ka"rdego $\beta \in B$ istnieje $\alpha_1 \in A$, "re $f(\alpha_1) \geq \beta$. Niech $\alpha_2 \geq \alpha_0, \alpha_1$.
W"owczas $f(\alpha_2) \geq \beta$ i $x_{f(\alpha_2)} \in U$, czyli $(x_\beta)$ jest cz"esto w $U$. Z dowolno"sci wyboru $U$
mamy, "re $(x_\beta)$ ma punkt skupienia w $x$.

Za"l"o"rmy teraz, "re $x$ jest punktem skupienia sieci $(x_\beta)$ o zbiorze indeks"ow $B$. 
Niech $A_0=\{U: x \in int\ U\}$ b"edzie zbiorem skierowanym otocze"n $x$ i niech $A = A_0 \times B$,
czyli niech $A$ b"edzie zbiorem skierowanym par $(U, \beta)$ takich, "re $(U, \beta) \leq (U', \beta')$ wtedy i tylko
wtedy gdy zar"owno $U \leq U'$ jak i $\beta \leq \beta'$. 
Skoro $(x_\beta)$ ma punkt skupienia w $x$, to dla ka"rego $(U, \beta)\in A$ istnieje $f(U, \beta) \in B$, "re
$x_{f(U, \beta)} \in U$ i $f(U, \beta) \geq \beta$. 

Spr"obujmy udowodni"c, "re w"la"snie zdefiniowana $f:A \to B$ jest kofinalna. 
Niech $\beta \in B$. Niech $\alpha = (X, \beta)$. W"owczas, je"sli
$(U, \beta') \geq \alpha$, to $\beta' \geq \beta$ i $f(U, \beta') \geq \beta$, czyli $f$ jest kofinalne, czyli wyznacza podsie"c
$(x_\beta)$. 

Niech $\beta_0$ b"edzie dowolnym elementem $B$. We"zmy dowolne otoczenie $U$ punktu $x$. W"owczas $(U, \beta_0) \in A$ jest
"swiadkiem na to, "re $x_{f(\alpha)}$ jest rezydualnie w $U$. Istotnie, je"sli $(V, \beta) \geq (U, \beta_0)$, to
$x_{f(V, \beta)} \in V \subset U$. Wnioskujemy st"ad, "re $x_{f(\alpha)} \to x$. 
\end{proof}

\begin{fakt}
Je"sli $X$ jest przestrzeni"a zwart"a, to ka"rda sie"c ma podsie"c zbie"rn"a.
\end{fakt}

\begin{proof}
We"zmy sie"c $(x_\alpha)$ w przestrzeni zwartej $X$.
Zgodnie z faktem \ref{siecskupieniewtwpodsiec}, wystarczy udowodni"c "re sie"c $(x_\alpha)$ ma punkt skupienia.
Za"l"o"rmy przeciwnie, czyli "re dla ka"rdego $x \in X$ punkt $x$ nie jest punktem skupienia $(x_\alpha)$. 
Czyli istnieje otoczenie $U_x$ punktu $x$ takie, "re $(x_\alpha)$ nie jest cz"esto w $U_x$, czyli istnieje takie
$\gamma_x$, "re dla ka"rdego $\alpha \geq \gamma_x$ mamy $x_\alpha \notin U_x$. 

Zbiory $\{U_x : x\in X\}$ to pokrycie otwarte przestrzeni $X$, mo"remy wybra"c pokrycie sko"nczone $U_{x_1}, U_{x_2}, \ldots, U_{x_n}$.
We"zmy element zbioru indeks"ow sieci $\gamma \geq \gamma_{x_i}$ dla ka"rdego $i \in \{1, \ldots, n\}$. 
W"owczas dla ka"rdego $\alpha \geq \gamma \geq \gamma_{x_i}$ mamy $x_\alpha \notin U_{x_i}$. Czyli 
$x_\alpha \notin \bigcup_{i=1}^n U_{x_i} = X$, sprzeczno"s"c. Wi"ec $(x_\alpha)$ ma punkt skupienia w $X$, czyli
na mocy faktu \ref{siecskupieniewtwpodsiec} ma te"r podsie"c zbie"rn"a.
\end{proof}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARAZWARTE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Przestrzenie parazwarte}

W przysz"lo"sci b"edziemy si"e zajmowali przestrzeniami parazwartymi. Jest to os"labienie w"lasno"sci zwarto"sci;
w szczeg"olno"sci ka"rda przestrze"n metryzowalna jest parazwarta a niekoniecznie zwarta. Podaj"e tu kilka przydatnych
fakt"ow bez dowod"ow. Dok"ladne om"owienie przestrzeni parazwartych Czytelnik mo"re znale"z"c w ksi"a"rce R. Engelkinga
{\em{Topologia og"olna}}.

\begin{definicja}
{\em{Rozk"ladem jedynki}} w przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy taki zbi"or funkcji ci"ag"lych $\phi_\alpha : X \to [0,1] $, "re
dla ka"rdego $x \in X$ zbi"or $\{\phi_\alpha : \phi_\alpha(x) > 0\}$ jest co najwy"rej przeliczalny i $\sum \phi_\alpha(x) = 1$. 
Rozk"lad jedynki jest {\em{wpisany}} w pokrycie otwarte $U_\alpha$ przestrzeni $X$, 
  je"sli dla ka"rdego $\alpha$ mamy $supp \phi_\alpha \subset U_\alpha$.
Rozk"lad jedynki jest {\em{lokalnie sko"nczony}}, je"sli dla ka"rdego $x$ istnieje otoczenie $U$ punktu $x$, "re w otoczeniu $U$ tylko
sko"nczenie wiele funkcji $\phi_\alpha$ przyjmuje jak"a"s niezerow"a warto"s"c.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Przestrzeni"a {\em{parazwart"a}} nazywamy tak"a przestrze"n topologiczn"a, w kt"orej dla ka"rdego pokrycia otwartego istnieje 
lokalnie sko"nczony rozk"lad jedynki wpisany w to pokrycie.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Przestrze"n jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy w ka"rde pokrycie otwarte mo"rna wpisa"c pokrycie otwarte lokalnie sko"nczone.
\end{fakt}

\begin{uwaga}
Przestrze"n zwarta jest parazwarta. Przestrze"n metryzowalna jest parazwarta.
\end{uwaga}

\begin{fakt}\label{para_to_norm}
Ka"rda przestrze"n parazwarta jest normalna.
\end{fakt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% C* ALGEBRY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{$\C^*$-algebry i uzwarcenia}

Istotnym narz"edziem przy badaniu przestrzeni zwartych s"a przemienne $\C^*$-algebry. Naszym sztandarowym przyk"ladem
przemiennej $\C^*$-algebry b"edzie zbi"or funkcji ci"ag"lych i ograniczonych z przestrzeni zwartej $X$ w cia"lo liczb zespolonych.
Poka"remy kilka zadziwiaj"acych fakt"ow, m.in. to, "re je"sli dwie przestrzenie zwarte maj"a izomorficzne $\C^*$-algebry zespolonych
funkcji ci"ag"lych, to ju"r musz"a by"c homeomorficzne.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% C* ALGEBRY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$\C^*$-algebra}

Przed nami szereg definicji zwi"azany z $\C^*$-algebrami w og"olno"sci.

\begin{definicja}
Przestrze"n liniow"a nad cia"lem $K$ nazywamy {\em{$K$-algebr"a}}, je"sli dodatkowo ta przestrze"n liniowa (jako grupa abelowa)
jest wyekwipowana w mno"renie tak, "re tworzy pier"scie"n. Mno"renie przez sta"l"a w przestrzeni liniowej jest przemienne
z mno"reniem w pier"scieniu. 
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zauwa"rmy, "re powy"rsza definicja jest tak"re sensowna, je"sli o $K$ za"lo"rymy, "re jest tylko pier"scieniem. W"owczas
zamiast przestrzeni liniowej mamy modu"l.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Dowolny pier"scie"n mo"remy uzna"c za algebr"e nad pier"scieniem $\Z$, gdzie mno"renie przez $n$ to dodawanie $n$ razy.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Zbi"or funkcji ci"ag"lych z $X$ w $\R$ lub $\C$ jest algebr"a, gdzie operacj"a mno"renia jest mno"renie punktowe.
Tak samo zbi"or funkcji ograniczonych czy te"r ci"ag"lych ograniczonych jest algebr"a. 
\end{przyklad}

\begin{definicja}
$K$-algebra jest {\em{algebr"a Banacha}}, je"sli $K=\R$ lub $K=\C$, jest wyposa"rona w norm"e $\|\cdot\|$ tak, by tworzy"la przestrze"n 
  Banacha. Dodatkowo wymagamy, by zachodzi"lo $\|xy\|\leq \|x\| \cdot \|y\|$. 
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Warunek wi"a"r"acy mno"renie z norm"a implikuje ci"ag"lo"s"c mno"renia jako operacji $X \times X \to X$.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Zbi"or funkcji ograniczonych ze zbioru $X$ w $\R$ ($\C$) z dodawaniem i mno"reniem punktowym i norm"a supremum jest algebr"a Banacha.
\end{przyklad}

\begin{definicja}
$\C$-algebra jest $\C^*$-algebr"a, je"sli jest dodatkowo wyekwipowana w {\em{sprz"e"renie}} $*:X\to X$. To sprz"e"renie spe"lnia nast"epuj"ace warunki:
\begin{itemize}
  \item $(x+y)^* = x^* + y^*$,
  \item $(xy)^* = y^* x^*$,
  \item $(ax)^* = \bar{a} x^*$,
  \item $(x^*)^* = x$,
  \item $\|x^*x\| = \|x\|^2$.
\end{itemize}
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Funkcje ci"ag"le lub ci"ag"le ograniczone lub ci"ag"le z $X$ w $\C$ tworz"a $\C^*$-algebr"e, je"sli dodatkowo operacj"a 
  sprz"e"renia jest sprz"e"renie punktowe ($f^*(x) = \overline{f(x)}$).
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Niech $D = \{z \in \C : |z| \leq 1\}$ i niech $A$ b"edzie zbiorem wszystkich funkcji ci"ag"lych $D \to \C$. Jako, "re
  $D$ jest zwarte, ka"rda taka funkcja jest ograniczona. Zdefiniujmy wszystkie operacje $\C^*$-algebry na $A$ tak samo,
  jak w poprzednim przyk"ladzie, za wyj"atkiem sprz"e"renia: niech $f^*(x) = \overline{f(\bar{x})}$. 
    
W"owczas $A$ {\em{nie}} b"edzie $\C^*$-algebr"a. Nie b"edzie spe"lnia"la ostatniego warunku definicji sprz"e"renia, 
m"owi"acego, "re $\|x^*x\| = \|x\|^2$. We"rmy $f \in A$, $f(x) = \max(0, Im\ x)$. Wtedy $f^*(x) = \max(0, -Im\ x)$ i
  $f^* \cdot f = 0$.
\end{przyklad}

Dla porz"adku, podamy ,,wzorcowy'' przyk"lad $\C^*$-algebry.

\begin{przyklad}
Ci"ag"le liniowe operatory z przestrzeni zespolonej Hilberta $H \to H$, 
  ze sk"ladaniem, dodawaniem i sprz"e"reniem Hermitowskim tworz"a niekoniecznie przemienn"a $\C^*$-algebr"e.
\end{przyklad}

\begin{twierdzenie}[Gelfand-Naimark] \label{gelfandnaimark}
Ka"rda $\C^*$-algebra jest izomorficzna z domkni"et"a normowo i domkni"et"a ze wzgl"edu na branie sprz"e"re"n Hermitowskich
podalgebr"a przestrzeni ci"ag"lych liniowych operator"ow $H\to H$ nad jak"a"s przestrzeni"a zespolon"a Hilberta.
\end{twierdzenie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%% SPEKTRUM %%%%%%%%%%%%%%%%%5%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Spektrum elementu $\C^*$-algebry}

{\em{Spektrum}} jest pr"ob"a uog"olnienia poj"ecia warto"sci w"lasnej i wektora w"lasnego macierzy nad $\C$.
Ka"rda macierz nad $\C$  mia"la przynajmniej jedn"a warto"s"c i wektor w"lasny, gdy"r jej wielomian charakterystyczny
mia"l przynajmniej jeden pierwiastek. 
Nie jest to prawd"a w przestrzeniach niesko"nczenie wymiarowych, np. w przestrzeni Hilberta $l^2$ przekszta"lcenie
$(x_1, x_2, \ldots) \to (0, x_1, x_2, \ldots)$ nie ma warto"sci ani wektora w"lasnego.

\begin{definicja}
Niech $A$ b"edzie algebr"a Banacha z jedynk"a $e$ i $x \in A$ b"edzie dowolnym elementem. W"owczas przez {\em{spektrum 
elementu $x$}} oznaczamy zbi"or:
$$\sigma(x) = \{\lambda \in \C : \forall_{y\in A} (\lambda e - x)y \neq e\}.$$
Innymi s"lowy jest to zbi"or tych liczb zespolonych $\lambda$, dla kt"orych $\lambda e - x$ jest nieodwracalne.
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Zauwa"rmy, "re dla $A = M_{n \times n}(\C)$ spektrum elementu $x$ to dok"ladnie zbi"or warto"sci w"lasnych $x$.
\end{uwaga}

\begin{fakt}
Spektrum elementu $x \in B$ jest zawsze niepuste. 
\end{fakt}

\begin{proof}
Zaszkicuj"e jedynie dow"owd. Je"sli by"loby puste, to na ca"lym $\C$
mo"remy zdefiniowa"c funkcj"e 
$$R(\lambda) = (\lambda e - x)^{-1}.$$
Ta funkcja znika do zera w niesko"nczono"sci, wi"ec $R$ jest ograniczon"a funkcj"a $\C \to B$. Co wi"ecej, mo"rna wykaza"c
--- podobnymi technikami jak ze zwyk"lymi funkcjami wymiernymi $\C \to \C$, "re jest to funkcja holomorficzna i zachodzi
dla niej twierdzenie Liouville'a, m"owi"ace, "re maksimum normy na obszarze funkcja holomorficzna przyjmuje na brzegu.
St"ad $R$ musi by"c r"owne zero, sprzeczno"s"c.

\end{proof}

\begin{fakt}\label{promspekleqnorma}
Dla ka"rdego $\lambda \in \sigma(x)$ zachodzi $|\lambda| < \|x\|$. Innymi s"lowy, spektrum jest ograniczone.
\end{fakt}

\begin{proof}
We"zmy $\lambda$, "re $|\lambda| > \|x\|$. W"owczas $\|\frac{x}{\lambda}\| < 1$ i szereg $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\lambda^n}$
jest zbie"rny bezwzgl"ednie (przypomnijmy, "re algebra jest przestrzeni"a Banacha). Ale w"owczas mamy:
$$\Big(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\lambda^n}\Big) \cdot \frac{1}{\lambda} \cdot (\lambda e - x) = \Big(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\lambda^n}\Big) \cdot (e - \frac{x}{\lambda}) = e.$$
Czyli $(\lambda e - x)$ jest odwracalne, czyli $\lambda \notin \sigma(x)$.
\end{proof}

\begin{fakt}
$\sigma(x)$ jest domkni"ete.
\end{fakt}

\begin{proof}
Wyka"remy, "re $\C \setminus \sigma(x)$ jest otwarte. Niech $\lambda \notin \sigma(x)$. Niech $z \in \C$ takie, "re
$|\lambda - z| < \|(\lambda e - x)^{-1}\|^{-1}$. W"owczas mamy:
$$\|e - (\lambda e - x)^{-1} (ze-x)\| = \|(\lambda e -x)^{-1} (\lambda - z)e\| < 1.$$
Czyli, podobnie jak w poprzednim dowodzie, dla $T = e - (\lambda e - x)^{-1} (ze-x)$ szereg $\sum_{n=0}^\infty T^n$ jest
zbie"rny, czyli $(e-T)$ jest odwracalne. Ale $e-T = (\lambda e -x)^{-1} (ze-x)$, czyli $(ze-x)$ jest odwracalne, czyli 
$z \notin \sigma(x)$.
\end{proof}

\begin{wniosek}
$\sigma(x)$ jest wi"ec niepuste i zwarte.
\end{wniosek}

\begin{definicja}
{\em{Promieniem spektralnym}} elementu $x$ algebry Banacha $B$ nazywamy liczb"e $r(x) = \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\}$.
\end{definicja}

\begin{wniosek}
Udowodnili"smy wi"ec w fakcie \ref{promspekleqnorma}, "re $r(x) \leq \|x\|$.
\end{wniosek}

Poni"rsze twierdzenie pozostawiam bez dowodu, b"edzie ono u"ryte w p"o"zniejszych rozwa"raniach.

\begin{twierdzenie}[Gelfand-Mazur]\label{gelfandmazur}
$$r(x) = \lim_{n\to\infty} \|x^n\|^{\frac{1}{n}}.$$
\end{twierdzenie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%% SPEKTRUM %%%%%%%%%%%%%%%%%5%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Spektrum przemiennej $\C^*$-algebry}

\newcommand{\sA}{\hat{A}}

\begin{definicja}
{\em{Spektrum}} przemiennej zespolonej algebry Banacha $A$ b"edziemy nazywa"c zbi"or wszystkich niezerowych
homomorfizm"ow $h:A \to \C$. Homomorfizmy te zachowuj"a operacje mno"renia i dodawania w algebrze $A$, jak i mno"renie przez skalar,
  oraz s"a ci"ag"le w sensie topologicznym. Spektrum oznaczamy przez $\sA$.
\end{definicja}

\begin{wniosek}
Spektrum zawiera si"e w przestrzeni Banacha ci"ag"lych operator"ow liniowych $B \to \C$, gdy $B$ potraktujemy
jako przestrze"n Banacha, zapominaj"ac o mno"reniu. Je"sli $B$ ma jedynk"e, to ka"rdy element spektrum ma norm"e $1$.
\end{wniosek}

\begin{proof}
Niech $h$ b"edzie elementem spektrum, $x \in A$ i $h(x) = a \in \C$. Za"l"o"rmy, "re $|a| >\|x\|$.
W"owczas, skoro $h$ jest homomorfizmem, mamy $h(\frac{x}{a}) = 1$, czyli dla ka"rdego $n \in \N$ mamy
$$h\Big(\big(\frac{x}{a}\big)^n\Big) = 1.$$
Zauwa"rmy, "re $\|\frac{x}{a}\| < 1$, czyli $\frac{x^n}{a^n} \to 0$. To przeczy ci"ag"lo"sci $h$. Czyli $h$ ma norm"e 
co najwy"rej $1$. 

Z drugiej strony dla dowolnego $x \in A$ mamy $h(x) = h(1 \cdot x) = h(x) \cdot h(1)$. Je"sli $h$ jest niezerowe, to
dla pewnego $x$ mo"remy skr"oci"c $h(x)$ stronami i otrzymamy $h(1) = 1$. Czyli $\|h\| = 1$.
\end{proof}

\begin{wniosek}
Je"sli $A$ jest algebr"a Banacha z jedynk"a, to w s"labej z $*$ topologii
(w przestrzeni ci"ag"lych liniowych operator"ow z $A$ do $\C$) spektrum $\sA$ jest zwarte.
\end{wniosek}

\begin{proof}
$\sA$ zawiera si"e w kuli jednostkowej w przestrzeni $A^*$, kt"ora jest zwarta w s"labej z $*$ topologii,
  na mocy twierdzenia Banacha-Alaoglu. Wystarczy wi"ec wykaza"c domkni"eto"s"c $\sA$. We"zmy sie"c $\omega_\alpha \in \sA$
  zbie"rn"a do $\omega$ w s"labej z $*$ topologii. Z definicji s"labej z $*$ topologii oznacza to, "re dla ka"rdego
  $x \in A$ mamy $\omega_\alpha(x) \to \omega(x)$. "Latwo pokaza"c, korzystaj"ac z ci"ag"lo"sci operacji w $\C$, 
  "re $\omega$ b"edzie r"ownie"r
  homomorfizmem $A \to \C$. Co wi"ecej, $\omega(1) = \lim \omega_\alpha(1) = 1$, czyli b"edzie to niezerowy
  homomorfizm, czyli $\omega \in \sA$.
\end{proof}

Powy"rszy wniosek jest bardzo wa"rny. Dlatego, od tego momentu rozwa"ra"c b"edziemy jedynie $A$ b"ed"ace przemiennymi
$\C^*$ algebrami z jedynk"a. M"owi"ac o spektrum $\sA$, b"edziemy my"sle"c o spektrum jako przestrzeni topologicznej
z s"lab"a z $*$ topologi"a. Poka"r"e teraz kilka fakt"ow, cz"e"s"c z nich pozostawi"e bez dowodu.

\begin{fakt}\label{nieumiemzrobic}
Spektrum przemiennej $\C^*$-algebry z jedynk"a $A$ jest niepuste. Co wi"ecej, dla ka"rdego nieodwracalnego elementu $x \in A$
istnieje $\omega \in \sA$ spe"lniaj"ace $\omega(x) = 0$.
\end{fakt}

\begin{fakt}\label{cstarrozklad}
Ka"rdy element $x\in A$ da si"e przedstawi"c jako $x_1 + ix_2$, gdzie $x_i = x_i^*$ dla $i=1,2$.
\end{fakt}

\begin{proof}
"Latwo sprawdzi"c, "re $x_1 = \frac{1}{2}(x + x^*)$ i $x_2 = \frac{i}{2}(x^* - x)$ spe"lniaj"a warunki faktu.
\end{proof}

\begin{fakt}\label{wxstar_to_wxbar}
Dla ka"rdego $\omega \in \sA$ mamy $\omega(x^*) = \overline{\omega(x)}$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Niech $\omega \in \sA$. Zauwa"rmy, "re wystarczy wykaza"c nast"epuj"acy lemat: dla ka"rdego $x \in A$, je"sli $x = x^*$ to $\omega(x) \in \R$. 
Je"sli udowodnimy lemat, to korzystaj"ac z faktu \ref{cstarrozklad} mamy:
$$\omega(x^*) = \omega(x_1^* - ix_2^*) = \omega(x_1 - ix_2) = \omega(x_1) - i\omega(x_2) = \overline{\omega(x_1) + i\omega(x_2)} = \overline{\omega(x)}.$$
Pozostaje wi"ec ograniczy"c si"e do przypadku $x = x^*$.

Zauwa"rmy, i"r jako "re $A$ jest przemienn"a algebr"a Banacha, definicja $e^x$ dla $x\in A$ ma sens: definiujemy 
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$$
Ten szereg b"edzie zawsze zbie"rny, bo szereg norm wyraz"ow  b"edzie zbie"rny (w $\R$), a $A$ jest przestrzeni"a Banacha.
Dodatkowo, z przemienno"sci $A$ wynika, "re $e^xe^y = e^{x+y}$ --- w szeregu bezwzgl"ednie zbie"rnym mo"remy zmienia"c
kolejno"s"c sk"ladnik"ow.

Ustalmy $x$ spe"lniaj"ace $x = x^*$ i niech $u_t = e^{itx}$. Zauwa"rmy, "re
$$u_t^* = \sum_{n=0}^\infty \frac{((itx)^*)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-itx)^n}{n!} = e^{-itx}.$$
Czyli $u_t \cdot u_t^* = 1$, wi"ec $\|u_t\|^2 = \|u_t u_t^*\| = 1$, czyli $\|u_t\| = 1$. $\omega$ jest homomorfizmem $A$ w $\C$, 
ma norm"e $1$, czyli
$$e^{t\ Re\ i\omega(x)} = e^{\ Re\ \omega(itx)} = |e^{\omega(itx)}| = |\omega(u_t)| \leq 1.$$
Czyli dla dowolnego $t$ mamy $e^{tM} \leq 1$, gdzie $M = Re\ i\omega(x)$. To jest mo"rliwe tylko jak $M=0$, czyli
$\omega(x) \in \R$. 
\end{proof}

Zauwa"rmy, "re mo"remy zdefiniowa"c nast"epuj"ace, naturalne, w"lo"renie:

\begin{definicja}
{\em{W"lo"reniem Gelfanda}} b"edziemy nazywa"c funkcj"e $\gamma: A \to C(\sA)$ z algebry $A$ w przestrze"n zespolonych
funkcji ci"ag"lych ograniczonych na spektrum $\sA$ o nast"epuj"acej, naturalnej definicji: $\gamma(x)(\omega) = \omega(x)$.
\end{definicja}

\begin{fakt}\label{gammax_to_rx}
Zachodzi $\|\gamma(x)\| = r(x)$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Zgodnie z definicj"a, $\|\gamma(x)\| = \sup\{|\omega(x)| : \omega \in \sA\}$. 
W homomorfi"zmie $\omega \in \sA$ element odwracalny nie mo"re przej"s"c na zero, wi"ec je"sli
$\lambda \notin \sigma(x)$, w"owczas $\omega(\lambda e - x) \neq 0$, czyli $\omega(x) \neq \lambda$.
Czyli $\{\omega(x) : \omega \in \sA \} \subset \sigma(x)$.

Z drugiej strony, na mocy faktu \ref{nieumiemzrobic}, je"sli $\lambda \in \sigma(x)$, to 
istnieje $\omega \in \sA$ spe"lniaj"ace $\omega(\lambda e - x) = 0$, czyli $\omega(x) = \lambda$.
Czyli $\{\omega(x) : \omega \in \sA \} = \sigma(x)$.
\end{proof}

\begin{fakt}
To jest w"lo"renie $A$ w $C(\sA)$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Oczywi"scie funkcja ewaluacji w okre"slonym punkcie $A$ jest dobr"a funkcj"a ci"ag"l"a w przestrzeni ci"ag"lych operator"ow
liniowych z $A$ w $\C$, czyli $\gamma(x) \in C(\sA)$. Fakt, "re jest to w"lo"renie, czyli funkcja r"o"rnowarto"sciowa,
b"edzie wynika"l z nast"epnego, du"ro silniejszego twierdzenia.
\end{proof}

\begin{twierdzenie}\label{twierdzenie111}
{\em{W"lo"renie Gelfanda}} jest $*$-izomorfizmem $A$ na $C(\sA)$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
$*$-izomorfizm oznacza, "re $\gamma$ jest nie tylko izomorfizmem algebr Banacha; dodatkowo, 
  zachowuje sprz"e"renia w $\C^*$-algebrach $A$ i $C(\sA)$.

W fakcie \ref{wxstar_to_wxbar} udowodnili"smy, "re $\gamma(x^*) = \overline{\gamma(x)}$.
Na mocy faktu \ref{gammax_to_rx} oraz twierdzenia \ref{gelfandmazur} mamy:
$$\|\gamma(x)\| = r(x) = \lim_{n\to\infty} \|x^n\|^{\frac{1}{n}} = \lim_{k\to\infty} \|x^{2^k}\|^{\frac{1}{2^k}}.$$
Za"l"o"rmy, "re $x = x^*$. W"owczas $\|x\|^* = \|xx^*\| = \|x^2\|$. Ale je"sli $x=x^*$, to dla dowolnego $n$
zachodzi $(x^n)^* = (x^*)^n = x^n$. Wnioskujemy st"ad, "re:
$$\|x^{2^k}\| = \|x^{2^{k-1}}\|^2 = \ldots = \|x\|^{2^k}.$$
Czyli, je"sli $x=x^*$, to 
$$\|\gamma(x)\| = \lim_{k \to \infty} (\|x\|^{2^k})^{\frac{1}{2^k}} = \|x\|.$$
Bior"ac teraz dowolne $x$, mamy:
$$\|\gamma(x)\|^2 = \|\gamma(x)^*\gamma(x)\| = \|\overline{\gamma(x)}\gamma(x)\| = \|\gamma(x^*x)\| = \|x^*x\| = \|x\|^2.$$

Udowodnili"smy wi"ec, "re $\gamma$ jest izometri"a z $A$ w $C(\sA)$. Oczywi"scie, jako "re $\sA$ by"lo zbiorem 
homomorfizm"ow, $\gamma$ jest $*$-izomorfizmem: zachowuje wszystkie operacje. $\gamma$ jest wi"ec izometrycznym
i izomorficznym w"lo"reniem algebry $A$ w $C(\sA)$, obrazem jest wi"ec $\gamma(A)$ --- domkni"eta podalgebra algebry
$C(\sA)$. Zauwa"rmy, "re je"sli $\omega_1 \neq \omega_2$, to istnieje $x\in A$, "re $\omega_1(x) \neq \omega_2(x)$, czyli
$\gamma(x)(\omega_1) \neq \gamma(x)(\omega_2)$. Wobec tego $\gamma$ rozdziela punkty w $C(\sA)$, czyli, na mocy
twierdzenia Stone-Weiestrassa, jej obraz jest g"esty w $C(\sA)$. Jest r"ownie"r domkni"ety, czyli $\gamma$ jest ,,na''.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% UZWARCENIA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Uzwarcenie przestrzeni topologicznej}

Przypomnijmy, co to jest uzwarcenie przestrzeni topologicznej.

\newcommand{\cX}{\bar{X}}
\newcommand{\dX}{\partial X}
\newcommand{\cY}{\bar{Y}}
\newcommand{\dY}{\partial Y}

\begin{definicja}
{\em{Uzwarceniem}} przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy zwart"a
przestrze"n $\cX$, w kt"orej $X$ jest g"est"a podprzestrzeni"a.
{\em{Narostem}} uzwarcenia nazywamy zwart"a podprzestrze"n $\dX = \cX \setminus X$.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Przestrze"n zwarta jest normalna. Lecz by $X$ posiada"lo uzwarcenie, niekoniecznie musi by"c
normalne --- podprzestrze"n przestrzeni normalnej nie musi by"c normalna. We"zmy $X = \{a, b, c, d\}$
z topologi"a $\mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}\}$.
Jest to przestrze"n normalna, gdy"r ka"rdy niepusty zbi"or domkni"ety zawiera $d$, wi"ec
nie istniej"a dwa roz"l"aczne niepuste zbiory domkni"ete. Lecz podprzestrze"n $Y = \{a, b, c\}$ ma
topologi"e $\mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$, kt"ora 
nie jest normalna, bo zbiory $\{a\}$ i $\{b\}$ s"a roz"l"aczne, nierozdzielalne i domkni"ete.
\end{przyklad}

B"edziemy w poni"rszych rozwa"raniach zak"lada"c, "re przestrze"n $X$ jest parazwarta i lokalnie zwarta. 
Zgodnie z faktem \ref{para_to_norm}, $X$ jest w"owczas te"r normalna.

\begin{przyklad}
Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a topologiczn"a normaln"a lokalnie zwart"a. Spr"obujmy stworzy"c topologi"e przestrzeni $\cX = X \cup \{\infty\}$, 
tak, by by"la zwarta i $X$ by"lo jej podprzestrzeni"a. Niech zbiorami otwartymi w $\cX$ b"ed"a zbiory otwarte w $X$ oraz
dope"lnienia zbior"ow zwartych z $X$ (wraz z $\infty$). "Latwo sprawdzi"c, "re otrzymana w ten spos"ob przestrze"n jest
uzwarceniem $X$. Nazywamy j"a {\em{uzwarceniem jednopunktowym}} lub {\em{uzwarceniem Aleksandrowa}}. Intuicyjnie, to
uzwarcenie polega na ,,dodaniu jednego punktu w niesko"nczono"sci, gdzie wszystkie ci"agi (sieci) b"ed"a mog"ly zbiega"c''. 
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni $\R^n$ jest sfera $S^n$. W szczeg"olno"sci uzwarceniem Aleksandrowa prostej jest okr"ag, a uzwarceniem Aleksandrowa
p"laszczyzny sfera. 
\end{przyklad}

\begin{fakt}
Je"sli $X$ jest lokalnie zwarte, to $X$ jest otwarte w $\cX$, czyli $\dX$ jest domkni"ete w $\cX$, czyli zwarte.
\end{fakt}

\begin{proof}
Wystarczy zauwa"ry"c, "re $X = \bigcup_{x\in X} U_x$, gdzie $U_x$ jest otwartym otoczeniem $x$ w $X$, "re $cl U_x$ jest zwarte.
\end{proof}

\section{Uzwarcanie przy pomocy $\C^*$-algebr}

Zastosujmy teraz wyniki $\C^*$-algebr do uzwarce"n przestrzeni topologicznych. B"edziemy wychodzili troch"e
od drugiej strony ni"r w rozwa"raniach o $\C^*$-algebrach: maj"ac dan"a przestrze"n zwart"a, poka"remy, 
   "re jest ona izomorficzna ze spektrum 
przestrzeni funkcji ci"ag"lych ograniczonych zespolonych na niej. Co wi"ecej, dla przestrzeni lokalnie zwartych $X$,
przez definiowanie podalgebry algebry $C(X)$ b"edziemy definiowa"c uzwarcenia $X$ --- b"ed"a to spektra podalgebr.

\begin{twierdzenie}\label{twierdzenie111_2}
Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a zwart"a. Niech $A=C(X)$ b"edzie $\C^*$-algebr"a funkcji ci"ag"lych zespolonych
na $X$; te funkcje s"a oczywi"scie te"r ograniczone. W"owczas spektrum $\sA$ jest homeomorficzne z $X$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
Naturalnym pomys"lem jest rozwa"renie w"lo"renia ,,ewaluacyjnego'' $X$ w $\sA$. Oczywi"scie, 
funkcja $h_x:C(X) \to \C$, $h_x(f) = f(x)$ jest bardzo dobrym elementem $\sA$. Je"sli $x \neq y$,
to istnieje $f \in C(X)$, "re $f(x) \neq f(y)$, czyli $h_x(f) \neq h_y(f)$, czyli jest to w"lo"renie.
We"zmy sie"c $x_\alpha$ w $X$. Zauwa"rmy, i"r $x_\alpha \to x$ w $X$ wtedy i tylko wtedy gdy dla ka"rdego
$f \in C(X)$ mamy $f(x_\alpha) \to f(x)$. Istotnie, w praw"a stron"e jest to oczywiste, za"s w lew"a, je"sli
$x_\alpha$ nie jest rezydualnie w pewnym otoczeniu otwartym $U$ punktu $x$, to mo"remy z twierdzenia Tietzego skonstruowa"c
$f \in C(X)$, spe"lniaj"ac"a $f(x) = 1$ i $f=0$ poza $U$. Dla tej funkcji $f(x_\alpha)$ nie b"edzie zbiega"c do $f(x)$.

T"lumacz"ac to na j"ezyk $\sA$ mamy, "re $x_\alpha \to X$ w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy 
dla ka"rdego $f \in C(X)$ mamy $h_{x_\alpha}(f) \to h_x(f)$, a to jest definicja zbie"rno"sci w s"labej z $*$ topologii w $\sA$. 
Czyli to w"lo"renie jest homeomorfizmem na obraz.

Pozostaje pokaza"c ,,na''. Na mocy twierdzenia \ref{twierdzenie111}, $C(X)$ jest izomorficzne z $C(\sA)$ w"lo"reniem
Gelfanda.
$X$ jest przestrzeni"a zwart"a, w"lo"ron"a w $\sA$ --- mo"remy przyj"a"c "re $X$ jest podprzestrzeni"a $\sA$, $X \subset \sA$.
Niech $h \in \sA \setminus X$. W"owczas, skoro $X$ jest domkni"ete w $\sA$ (funkcja ci"ag"la z przestrzeni
zwartej w zwart"a jest domkni"eta), to istnieje $g \in C(\sA)$, "re $g(x) \neq 0$ i $f = 0$ na $X$. Zgodnie
z twierdzeniem \ref{twierdzenie111} istnieje $f\in C(X)$, "re $\gamma(f) = g$. Dla $x \in X$ mamy $g(x) = x(f) = f(x) = 0$,
czyli $f = 0$ w $C(X)$. Ale takich funkcji $g \in C(\sA)$ jest sporo, np. $2g$. Sprzeczno"s"c.
\end{proof}

\begin{wniosek}\label{cstarid_xid}
Je"sli dwie przestrzenie zwarte maj"a izomorficzne $\C^*$-algebry funkcji ci"ag"lych zespolonych, to s"a homeomorficzne.
\end{wniosek}

\begin{proof}
Oczywiste, bo s"a homeomorficzne ze spektrum algebry swoich funkcji ci"ag"lych.
\end{proof}

\begin{definicja}
Dla przestrzeni $X$ przez $C_0(X)$ b"edziemy oznacza"c zbi"or wszystkich funkcji ci"ag"lych zespolonych ograniczonych na $X$, 
kt"ore zbiegaj"a do $0$ w niesko"nczono"sci. To znaczy, dla ka"rdego $\epsilon > 0$ istnieje zbi"or zwarty $K$, "re $|f(x)| < \epsilon$
o ile $x \in X \setminus K$. Przez $C_1(X)$ b"edziemy oznacza"c zbi"or $\{f + z: f\in C_0(X), z\in \C\}$, czyli zbi"or
wszystkich funkcji maj"acych granic"e w niesko"nczono"sci.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Zauwa"rmy, "re $C_1(X) \subset C(X)$ jest $\C^*$-podalgebr"a z jedynk"a. $C_0(X)$ jest $\C^*$-podalgebr"a, ale
ma jedynk"e tylko je"sli $X$ jest zwarte.
\end{fakt}

\begin{twierdzenie}\label{uzwarceniecstar}
Niech $X$ b"edzie przestrzenia Hausdorffa lokalnie zwart"a. Niech $C_1(X) \subset A \subset C(X)$ b"edzie $\C^*$-podalgebr"a.
W"owczas istnieje uzwarcenie $\cX$ przestrzeni $X$ takie, "re $A$ jest $*$-izomorficzne z $C(\cX)$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
Pokazujemy, "re mo"remy przyj"a"c $\cX = \sA$, z naturalnym w"lo"reniem ewaluacji $X$ w $\sA$. 
Dow"od jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia \ref{twierdzenie111_2}, chcemy jedynie pokaza"c, "re w"lo"renie $X$ jest
nie tyle ,,na'', co na zbi"or g"esty w $\sA$. Mo"remy to dowie"s"c przez sprzeczno"s"c podobnie, jak w dowodzie twierdzenia
\ref{twierdzenie111_2}: je"sli $x \in \cX \setminus clX$, to mo"remy skonstruwa"c $g \in C(\cX)$ zeruj"ac"a si"e
na $clX$ i spe"lniaj"ac"a $g(x) \neq 0$. Ta jednak funkcja we w"lo"reniu Gelfanda musia"laby pochodzi"c od funkcji zerowej w $A$,
co prowadzi do sprzeczno"sci, bo takich $g$ jest wiele.
\end{proof}

\begin{twierdzenie}\label{gelfand2}
Niech $X$ b"edzie przestrzeni"a lokalnie zwart"a Hausdorffa i niech $C_1(X) \subset A_1 \subset A_2 \subset C(X)$
b"eda dwoma $\C^*$-podalgebrami. Niech $\cX_1$ i $\cX_2$ b"eda uzwarceniami odpowiadaj"acymi tym $\C^*$-podalgebrom.
W"owczas istnieje przed"lu"renie identyczno"sci na $X$ prowadz"ace z $\cX_2$ na $\cX_1$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
Zgodnie z dowodem twierdzenia \ref{uzwarceniecstar}, $\cX_i \sim \sA_i$ oraz $X$ jest g"este w $\sA_i$, w 
nast"epuj"acym sensie: $x\in X$ odpowiada homomorfizm ewaluacji elementu $A_i$ w $x$. 
Zauwa"rmy, "re istnieje naturalna funkcja ci"ag"la $\sA_2 \to \sA_1$, polegaj"aca na obci"eciu homomorfizmu
o dziedzinie $A_2$ do podalgebry $A_1$. Ta funkcja jest identyczno"sci"a na homomorfizmach ewaluacji element"ow z $X$.
Obrazem ci"ag"lym przestrzeni zwartej $\sA_2$ jest przestrze"n zwarta w $\sA_1$, zawieraj"aca zbi"or g"esty $X$, 
czyli obraz musi by"c ca"l"a przestrzeni"a $\sA_1$. Mamy wi"ec szukane przed"lu"renie identyczno"sci. 
\end{proof}

\begin{przyklad}
We"rmy przestrze"n lokalnie zwart"a Hausdorffa $X$ i we"zmy uzwarcenie odpowiadaj"ace $A = C_1(X)$. Zauwa"rmy, 
"re w $\sA$ poza $X$ dojdzie tylko jeden homomorfizm --- przyporz"adkowuj"acy funkcji jej granic"e w niesko"nczono"sci.
Czyli $\sA$ b"edzie uzwarceniem Aleksandrowa $X$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Teraz spr"obujmy skonstruowa"c uzwarcenie skrajnie inne od uzwarcenia Aleksandrowa
poprzedniego --- intuicyjnie, ka"rdemu ci"agowi, je"sli tylko mo"remy,
      damy inn"a granic"e w niesko"nczono"sci. Po prostu we"zmy $A = C(X)$.
To uzwarcenie nazywamy {\em{uzwarceniem Stone'a - \v{C}echa}}. Ma ono szereg ciekawych w"lasno"sci, kt"ore wymieni"e poni"rej.
\end{przyklad}

\begin{fakt}
\item Uzwarcenie Stone-\v{C}echa jest ,,najwi"ekszym uzwarceniem'', 
  zgodnie z twierdzeniem \ref{gelfand2}, ka"rde inne uzwarcenie jest ci"ag"lym obrazem
tego uzwarcenia w przekszta"lceniu zachowuj"acym $X$.
\end{fakt}

\begin{fakt}
Ka"rda funkcja ci"ag"la na $X$ przed"lu"ra si"e na uzwarcenie Stone-\v{C}echa.
\end{fakt}

\begin{proof}
Oczywiste, gdy"r uzwarcenie Stone-\v{C}echa pochodzi od spektrum algebry wszystkich funkcji ci"ag"lych na $X$.
\end{proof}

\begin{fakt}
Rozwa"rmy przeliczalny, niesko"nczony zbi"or z topologi"a dyskretn"a --- $\Z$. W"owczas 
roz"laczne ci"agi uciekaj"ace do niesko"nczono"sci nie mog"a mie"c wsp"olnego punktu skupienia. 
\end{fakt}

\begin{proof}
Funkcja $f: \Z \to \C$, przyjmuj"aca $1$ na elementach jednego z ci"ag"ow, a zero w pozosta"lych punktach,
jest ci"ag"la na $\Z$, wi"ec przed"lu"ra si"e na uzwarcenie Stone-\v{C}echa. Funkcja ta musia"laby przyjmowa"c
zar"owno $1$ jak i $0$ w wsp"olnym punkcie skupienia tych dw"och ci"ag"ow.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%% WPROWADZENIE DO COARSE %%%%%%%%%%5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\chapter{Wprowadzenie do struktur zgrubnych}

W tym rozdziale om"owimy podstawy struktur zgrubnych. Podam kilka fakt"ow oraz konstrukcj"e topologicznej struktury
zgrubnej. Dowody cz"e"sciowo b"ed"e omija"l, gdy"r nie jest to tematem tej pracy.

W tym rozdziale zak"ladamy, "re przestrze"n $X$ jest przestrzeni"a Hausdorffa, parazwart"a i lokalnie zwart"a. 
Dla tej przestrzeni mamy dane pewne ustalone uzwarcenie $\cX$. Tak jak poprzednio, przez $\dX = \cX \setminus X$ oznaczamy
brzeg uzwarcenia $\cX$. {\em{Niesko"nczono"sci"a}} b"edziemy nazywali zbi"or $\cX \times \cX \setminus X \times X$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% STR.ZGRUBNA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Struktura zgrubna}

Podam tutaj, w skr"ocie, podstawowe definicje i fakty dotycz"ace og"olnych struktur zgrubnych.

\begin{definicja}
Zbi"or $A \subset X$ jest {\em{relatywnie zwarty}} je"sli $cl A$ jest zwarty w $X$.
\end{definicja}

\begin{fakt}
$A$ jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy gdy $cl A \subset X$, gdzie domnki"ecie bierzemy
w uzwarceniu $\cX$.
\end{fakt}

\begin{definicja}
{\em{Struktur"a zgrubn"a}} nad $X$ nazywamy zbi"or $\xi \subset 2^{X\times X}$ zawieraj"acy przek"atn"a, zamkni"ety na
odwrotno"sci, podzbiory, z"lo"renia i sko"nczone sumy. Elementy struktury zgrubnej nazywamy {\em{zbiorami kontrolowanymi}}.
\end{definicja}

Je"sli $E \subset X \times X$, to przez $E[A]$ oznaczamy zbi"or $\{x\in X: \exists_{y \in A} (x, y)\in E\}$.
Przez $E^{-1}$ oznaczamy zbi"or $\{(y, x): (x, y) \in E\}$.

\begin{definicja}
Zbi"or $E \subset X \times X$ jest {\em{w"la"sciwy}} je"sli dla ka"rdego $A \subset X$, je"sli
$A$ jest relatywnie zwarte, to $E[A]$ i $E^{-1}[A]$ jest relatywnie zwarte.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Zbi"or $B \subset X$ jest {\em{ograniczony}}, je"sli zbi"or $B \times B$ jest kontrolowany.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Struktura zgrubna jest {\em{w"la"sciwa}} je"sli jednym z jej element"ow jest otoczenie diagonali oraz ka"rdy zbi"or
ograniczony w $X$ jest relatywnie zwarty.
\end{definicja}

\begin{definicja}
Struktura zgrubna $\eE$ jest {\em{sp"ojna}} je"sli dla ka"rdych dw"och punkt"ow $x, y \in X$ istnieje zbi"or $E \in \eE$
zawieraj"acy punkt $(x, y)$.
\end{definicja}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\section{Topologiczna struktura zgrubna}

Postaramy si"e, temu danemu uzwarceniu $\cX$, przypisa"c ,,naturaln"a'' struktur"e zgrubn"a na
$X$. Zacznijmy od prostego faktu:

\begin{fakt} \label{wlascbrzeg}
Zbi"or $E \subset X \times X$ jest w"la"sciwy, wtedy i tylko wtedy gdy $cl E \subset X \times X \cup \dX \times \dX$,
  gdzie domkni"ecie bierzemy w przestrzeni $\cX \times \cX$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Dowiedziemy nie wprost w obie strony, czyli wyka"remy "re $E$ nie jest w"la"sciwy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
punkt z jego domkni"ecia w $X \times \dX \cup \dX \times X$. 

Wpierw za"l"o"rmy, "re $E$ nie jest w"la"sciwy. Czyli bez straty og"olno"sci mo"remy za"lo"ry"c, "re 
istnieje relatywnie zwarty $K \subset X$, "re $E[K]$ nie jest relatywnie zwarty, czyli $x' \in cl\ E[K] \cap \dX$. Wobec tego
istnieje sie"c $(x_\alpha')$ w $E[K]$ zbie"rna do $x'$. Z definicji $E[K]$, dla ka"rdego $x_\alpha'$ istnieje 
$x_\alpha \in K$, "re $(x_\alpha, x_\alpha') \in E$. $(x_\alpha)$ to sie"c w zbiorze zwartym $cl K \subset X$, wi"ec
mo"remy z niej wybra"c podsie"c zbie"rn"a do pewnego $x \in cl K \subset X$. 
Ta podsie"c, patrz"ac na ni"a w dw"och wymiarach $(x_\beta, x_\beta')$ zbiega
w $\cX \times \cX$ do $(x, x') \in X \times \dX$.

W drug"a stron"e, niech, bez straty og"olno"sci, $(x,x') \in cl E \cap X \times \dX$. Istnieje wi"ec sie"c
w $E$ zbie"rna do $(x, x')$. Na mocy lokalnej zwarto"sci $X$, niech $K$ b"edzie zwartym otoczeniem $x$. Wybierzmy
z powy"rszej sieci podsie"c zawart"a w $K \times \cX$: na mocy definicji zbie"rno"sci po prostu bierzemy elementy
zbioru indeks"ow powy"rej pewnego elementu. Nazwijmy now"a sie"c $(x_\alpha, x_\alpha')$. W"owczas $x_\alpha' \in E[K]$,
czyli w $E[K]$ istnieje sie"c zbie"rna do $x'$, czyli $x' \in cl E[K]$, czyli nie jest on relatywnie zwarty.
\end{proof}

\begin{twierdzenie}\label{nwsr}
Niech $E \subset X \times X$. Nast"epuj"ace warunki s"a r"ownowa"rne:
\begin{enumerate}
\item \label{nwsr1} $cl E \setminus X \times X$ jest zawarty w przek"atnej $\cX \times \cX$.
\item \label{nwsr2} $E$ jest w"la"sciwy i dla ka"rdej sieci $(x_\alpha, y_\alpha)$ w $E$, je"sli $x_\alpha$ zbiega do 
$x \in \dX$, to $y_\alpha$ te"r zbiega do $x$.
\item \label{nwsr3} $E$ jest w"la"sciwy i dla ka"rdego punktu $x \in \dX$ i ka"rdego otoczenia $V$ punktu $x$ w $\cX$, 
  istnieje otoczenie $U \subset V$ punktu $x$ w $\cX$, "re $E \cap (U \times (X \setminus V)) = \emptyset$. 
  \end{enumerate}
  \end{twierdzenie}

\begin{proof}
Wpierw udowodnijmy (\ref{nwsr1}) $\Rightarrow$ (\ref{nwsr2}). Na mocy faktu \ref{wlascbrzeg}, $E$ jest w"la"sciwy.
We"rmy sie"c $(x_\alpha, y_\alpha)$ w $E$ tak"a, "re $x_\alpha$ zbiega do $x \in \dX$. Za"l"o"rmy niewprost, "re
$y_\alpha$ nie zbiega do $x$, czyli istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $x$, "re dla ka"rdego $\alpha$ istnieje
$\beta \geq \alpha$, "re $y_\beta \notin U$. We"zmy $B = \{ \beta \in A : y_\beta \notin U \}$, gdzie $A$ to
zbi"or indeks"ow naszej sieci. We"zmy podsie"c naszej sieci, indeksowan"a zbiorem $B$. Udowodnimy, "re
$x_\beta$ zbiega do $x$. Niech $V$ otoczenie $x$. $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ zbiega"la do $x$, wi"ec istnieje
$\gamma_1$, powy"rej kt"orej elementy $x_\alpha$ s"a w $V$. Ale elementy $B$ s"a dowolnie wysoko w $A$, wi"ec
istnieje $\gamma_2 \geq \gamma_1$, "re $\gamma_2 \in B$. Wobec tego dla ka"rdego $\beta \geq \gamma_2$ mamy
$x_\beta \in V$. Czyli $(x_\beta)_{\beta \in B}$ zbiega do $x$. Ale $(y_\beta)$ jest sieci"a w $\cX \setminus U$,
  co jest zbiorem domkni"etym w przestrzeni zwartej, czyli zwartym. Wobec tego z tej sieci mo"remy wybra"c
  podsie"c zbie"rn"a do pewnego $y$; jako "re $x \in U$, to $y \neq x$. Wobec tego ta podsie"c, w $\cX \times \cX$,
  zbiega do $(x, y)$, co jest punktem poza diagonal"a i poza $X \times X$, sprzeczno"s"c.

Dow"od (\ref{nwsr2}) $\Rightarrow$ (\ref{nwsr3}) przeprowadzimy niewprost. Wobec tego za"l"o"rmy, "re
istnieje $x \in \dX$ i jego otoczenie $V$, takie, "re dla ka"rdego otoczenia $U$ punktu $V$ istnieje punkt
$(x_U, y_U) \in E \cap (U \times (X \setminus V))$. To jest oczywi"scie sie"c z ,,naturalnym'' porz"adkiem
odwrotnej inkluzji na otoczeniach $x$. Ale w"owczas $x_U$ zbiega do $x$, czyli, na mocy (\ref{nwsr2}), 
          $y_U$ te"r zbiega do $x$. Ale "raden element sieci $y_U$ nie jest w otoczeniu $V$, sprzeczno"s"c.

By udowodni"c (\ref{nwsr3}) $\Rightarrow$ (\ref{nwsr1}), we"rmy $(x, y) \in cl E \setminus X \times X$. Chcemy
wykaza"c, "re $x = y$. Na mocy lematu \ref{wlascbrzeg} zar"owno $x$ jak i $y$ le"r"a w $\dX$. Za"l"o"rmy, "re
$x \neq y$. Niech $V_x$ i $V_y$ b"ed"a roz"l"acznymi otoczeniami odpowiednio $x$ i $y$. Ale w"owczas dla dowolnego
otoczenia $U \subset V_x$ punktu $x$ mamy $(x, y) \in U \times V_y \subset U \times (X \setminus V_x)$,
          co stoi w sprzeczno"sci z (\ref{nwsr3}).
\end{proof}

\begin{twierdzenie}
Zbi"or $\eE$ tych podzbior"ow $X \times X$ spe"lniaj"acych r"ownowa"rne warunki w twierdzeniu \ref{nwsr} tworz"a
w"la"sciw"a sp"ojn"a struktur"e zgrubn"a na $X$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
Zauwa"rmy, "re warunek (\ref{nwsr1}) jest niewra"rliwy na branie podzbior"ow, odwrotno"sci i sko"nczonych sum, wobec
tego $\eE$ jest zamkni"ety na te operacje. Z pomoc"a warunku (\ref{nwsr2}) naj"latwiej pokaza"c zamkni"eto"s"c
na produkty: niech $E = E' \circ E''$ i niech $(x_\alpha, z_\alpha)$ b"edzie sieci"a w $E$ tak"a, "re $x_\alpha$
zbiega do $x \in \dX$. Z definicji iloczynu istniej"a $y_\alpha$, "re $(x_\alpha, y_\alpha) \in E'$ i 
$(y_\alpha, z_\alpha) \in E''$. Ale w"owczas, jako "re $E', E'' \in \eE$, mamy z warunku (\ref{nwsr2})
"re $y_\alpha \to x$, wi"ec i $z_\alpha \to x$. Iloczyn w"la"sciwych zbior"ow jest w"la"sciwy, wi"ec $E$ spe"lnia warunek
(\ref{nwsr2}), czyli $E \in \eE$. 

Zwr"o"cmy uwag"e, "re w $\eE$ kontrolowany jest ka"rdy zwarty podzbi"or $E \subset X \times X$, gdy"r jego domkni"ecie
w $\cX \times \cX$ nie wychodzi poza $X \times X$, czyli spe"lnia warunek (\ref{nwsr1}). Wobec tego ka"rdy pojedynczy punkt
$X \times X$ jest kontrolowany, czyli $\eE$ jest sp"ojny. Dodatkowo, z tego wynika, "re je"sli $B$ jest relatywnie 
zwarty, to $B \times B \in \eE$. We"zmy $B \subset X$ kt"ory nie jest relatywnie zwarty i $b \in B$. W"owczas
$(B \times B)[\{b\}] = B$, czyli $B\times B$ nie jest w"la"sciwy, czyli nie nale"ry do $\eE$.

Do ko"nca dowodu zosta"lo nam pokaza"c tylko to, "re w $\eE$ istnieje otoczenie diagonali. To doko"nczy dow"od
w"la"sciwo"sci oraz udowodni, "re w $\eE$ jest wog"ole diagonala $X\times X$. 
We"zmy $f, g: \cX \times \cX \to \R_+$ takie, "re $f$ znika (jest r"owne zero) tylko na przek"atnej, 
    a $g$ tylko w niesko"nczono"sci. Oba wymagane zbiory s"a domkni"ete, wi"ec z pomoc"a lematu Urysohna mo"remy
    zbudowa"c takie funkcje. We"zmy zbi"or $$E = \{(x, y) \in X \times X: f(x, y) < g(x, y)\}.$$ Jest to zbi"or
    otwarty (jest to $(f-g)^{-1} (-\infty, 0)$) i zawiera diagonal"e $X \times X$. Dodatkowo, je"sli mamy w $E$
    sie"c $(x_\alpha, y_\alpha)$, "re $x_\alpha \to x \in \dX$, to z ci"ag"lo"sci 
    $g(x_\alpha, y_\alpha) \to 0$, wi"ec z warunku na $E$ mamy $f(x_\alpha, y_\alpha) \to 0$, czyli $y_\alpha \to x$.
    Czyli $E$ spe"lnia warunek (\ref{nwsr1}), czyli $E \in \eE$. 
\end{proof}

\begin{definicja}
T"e struktur"e zgrubn"a $\eE$ nazywamy {\em{topologiczn"a struktur"a zgrubn"a}}. Jej elementy czasem nazywa si"e
{\em{ci"agle kontrolowanymi}} przez uzwarcenie $\cX$, a struktur"e zgrubn"a {\em{struktur"a zgrubn"a zbior"ow ci"agle 
kontrolowanych}}.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Zgrubn"a struktur"a topologiczn"a dla uzwarcenia jednopunktowego jest niedyskretna struktura zgrubna.
\end{przyklad}

\begin{proof}
Zgodnie z definicj"a, niedyskretna struktura zgrubna sk"lada si"e tylko z w"la"sciwych podzbior"ow w $X \times X$. 
$\eE$ r"ownie"r,
wi"ec wystarczy pokaza"c "re w uzwarceniu jednopunktowym wszystkie podzbiory w"la"sciwe spe"lniaj"a warunki
twierdzenia \ref{nwsr}. Sp"ojrzmy na warunek (\ref{nwsr1}). Zgodnie z lematem \ref{wlascbrzeg}, domkni"ecie
zbioru w"la"sciwego siedzi w $X \times X \cup \dX \times \dX$. Ale $\dX \times \dX = \{ (\infty, \infty) \}$,
       tam nie ma nic poza diagonal"a, czyli zbi"or w"la"sciwy spe"lnia (\ref{nwsr1}).
\end{proof}

\begin{przyklad}\label{stonecechtop}
Zgrubn"a struktura topologiczn"a dla uzwarcenia Stone-\v{C}echa przestrzeni dyskretnej $X$ jest dyskretna struktura zgrubna.
\end{przyklad}

\begin{proof}
Dyskretna struktura zgrubna jest najmniejsz"a sp"ojn"a struktur"a zgrubn"a, wi"ec na pewno zawiera si"e
w topologicznej strukturze zgrubnej. Potrzebujemy wykaza"c, "re je"sli zbi"or $E$ ma niesko"nczenie wiele punkt"ow poza
przek"atn"a, to nie jest ci"agle kontrolowany.

Je"sli mamy niesko"nczenie wiele punkt"ow poza przek"atn"a, mo"remy wybra"c z nich niesko"nczenie wiele tak, by rzuty
tych punkt"ow na obie osie by"ly roz"l"aczne, tj. mo"remy wybra"c r"o"rne punkty $(x_n, y_n)$ tak, by $x_i \neq y_j$.
Istotnie, je"sli dla jakiego"s $x$ w naszym zbiorze $E$ zbi"or $E \cap \{x\} \times X$ jest niesko"nczony, to bierzemy
wszystkie takie elementy (poza ew. $(x, x)$). Je"sli dla ka"rdego $x$ to jest sko"nczone i, symetrycznie, dla ka"rdego
$y$ zbi"or $E \cap X \times \{y\}$ jest sko"nczony, mo"remy wybiera"c punkty po kolei przez indukcj"e: wybieraj"ac dowolny
punkt, ,,eliminujemy'' tylko sko"nczenie wiele innych, czyli dalej mo"remy wybiera"c.

Mamy wi"ec jaki"s ci"ag r"o"rnych punkt"ow $(x_n, y_n)$ w $E$ taki, "re $x_i \neq y_j$. $X$ ma struktur"e dyskretn"a, 
     wi"ec funkcja $f:X \to [0,1]$, gdzie $f(x)=1$ wtedy i tylko wtedy gdy $x = x_i$ dla pewnego $i$, za"s $f(x)=0$ 
     w przeciwnym przypadku, jest ci"ag"la. Z w"lasno"sci uzwarcenia Stone-\v{C}echa, $f$ si"e rozrzesza do funkcji ci"ag"lej
     na $\cX$. Wobec tego funkcja ci"ag"la $g(x, y) = f(x)-f(y)$ jest ci"ag"la na $\cX \times \cX$, znika ona na przek"atnej
     i $g(x_n, y_n) = 1$. W ci"agu $(x_n, y_n)$, jako "re $\cX \times \cX$ jest zwarta, mo"rna wybra"c podci"ag zbie"rny.
     Podci"ag ten nie mo"re zbiega"c do "radnego punktu $X \times X$, 
     bo ci"ag mia"l r"o"rne elementy, a $X$ mia"lo topologi"e
     dyskretn"a. Wobec tego zbiega do punktu w niesko"nczono"sci, z ci"ag"lo"sci $g$ w tym punkcie $g$ przyjmuje warto"s"c
     $1$, czyli nie jest to na przek"atnej, czyli $E$ nie spe"lnia warunku (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}.
\end{proof}

Udowodnijmy teraz twierdzenie charakteryzuj"ace zgrubne przekszta"lcenia dla uzwarce"n metryzowalnych, czyli, zgodnie 
z wnioskiem \ref{metrwtwsc}, spe"lniaj"acych drugi aksjomat przeliczalno"sci.

\begin{twierdzenie}\label{metruzwarcenia}
Niech $X$ i $Y$ b"ed"a lokalnie zwartymi przestrzeniami Hausdorffa, wraz z metryzowalnymi uzwarceniami $\cX$ i $\cY$.
W"owczas przekszta"lcenie ci"ag"le i w"la"sciwe $f:X \to Y$ jest zgrubne (w sensie zgrubnych struktur topologicznych)
wtedy i tylko wtedy gdy rozszerza si"e do ci"ag"lego przekszta"lcenia $\cX \to \cY$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
Przypomnijmy, "re przekszta"lcenie jest zgrubne wtedy i tylko wtedy gdy jest w"la"sciwe i bornologiczne.
Przekszta"lcenie jest w"la"sciwe, je"sli przeciwobraz zbioru ograniczonego jest ograniczony. Przekszta"lcenie
jest bornologiczne, je"sli dla ka"rdego kontrolowanego $E \subset X \times X$ zbi"or $(f \times f)(E)$ jest kontrolowanym
podzbiorem $Y \times Y$.

Wpierw za"l"o"rmy, "re $f$ przed"lu"ra si"e do ci"ag"lej funkcji $\cX \to \cY$.
Chcemy wykaza"c, "re $f$ jest bornologiczna. We"zmy wi"ec ci"agle kontrolowany
$E \subset X \times X$ i chcemy wykaza"c "re 
$E' = (f\times f)(E) \subset Y \times Y$ jest ci"agle kontrolowany. Skorzystajmy
z warunku (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}. We"zmy sie"c $(f(x_\alpha), f(y_\alpha))$ w $E'$, zbie"rn"a
do $(x', y')$ i niech $x' \in \dY$. Chcemy wykaza"c, "re $y'=x'$, w"owczas warunek (\ref{nwsr1}) b"edzie spe"lniony, 
   bo domkni"eci"e zbioru to zbi"or granic sieci. $\cX$ jest zwarte, wi"ec, przechodz"ac do podsieci zbie"rnej,
   mo"remy za"lo"ry"c "re $x_\alpha \to x$ i $y_\alpha \to y$. W"owczas, z ci"ag"lo"sci przed"lu"renia $f$ mamy
   $f(x)=x'$ i $f(y)=y'$. Skoro $x' \in \dY$, to $x \in \dX$. Dla zbioru $E$ zachodzi warunek (\ref{nwsr1}) twierdzenia
   \ref{nwsr}, czyli $x = y$, czyli $x' = f(x) = f(y) = y'$. Zauwa"rmy, "re tu nie korzystali"smy nigdzie z metryzowalno"sci
   uzwarce"n.

W drug"a stron"e, za"l"o"rmy "re $f$ jest zgrubna, chcemy przed"lu"ry"c j"a ci"agle na ca"le $\cX$. We"zmy $x \in \dX$ i
ci"ag $x_n \in X$ zbie"rny do $x$. Mo"remy skonstruowa"c ci"ag (a nie tylko sie"c), gdy"r $\cX$ jest metryzowalna: za $x_n$ bierzemy np. dowolny
element $B(x, \frac{1}{n}) \cap X$ ($X$ jest g"este w $\cX$). W"owczas $f(x_n)$ jest ci"agiem w $\cY$, mo"remy wi"ec wybra"c podci"ag zbie"rny,
    powiedzmy do $y$, i przyj"a"c $f(x) = y$. 

Trzeba wpierw udowodni"c, "re jest to poprawna definicja. Powiedzmy, "re $x_n \to x$ i $x_n' \to x$, s"a to ju"r podci"agi takie, "re
$f(x_n) \to y$ i $f(x_n') \to y'$. Musimy wykaza"c, "re $y = y'$. 
Zauwa"rmy, "re je"sli $E = \{(x_n, x_n') : n \in \N \}$, to
$cl E = E \cup \{(x, x)\}$, czyli $E$ jest ci"agle kontrolowany. $f$ by"la zgrubna, czyli te"r bornologiczna, czyli $f(E)$ jest
ci"agle kontrolowany w $Y \times Y$.
Zauwa"rmy, "re $y \in \dY$. Istotnie, je"sliby $y \in Y$, to niech $U$ b"edzie zwartym, czyli ograniczonym,
otoczeniem $y$ w $Y$, to, jako "re $f$ jest w"la"sciwa, $f^{-1}(U)$ musia"loby by"c ograniczone w $X$,
czyli relatywnie zwarte (bo $f$ jest w"la"sciwa). Ale ogon ci"agu $x_n$ nale"ry do $f^{-1}(U)$, czyli $x$
nale"ry do domkni"ecia, czyli $f^{-1}(U)$ nie jest relatywnie zwarty.  Zauwa"rmy, "re $(y, y') \in cl f(E)$.
Ale $f(E)$ jest ci"agle kontrolowany, a $y \in \dY$, czyli, na mocy warunku (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr} musi by"c
$y=y'$.

Czyli funkcja jest dobrze okre"slona, trzeba dowie"s"c "re jest ci"ag"la. $\cX$ i $\cY$ s"a metryczne, wi"ec wystarczy pokaza"c
ci"agow"a definicj"e ci"ag"lo"sci. Zwr"o"cmy uwag"e jak definiwali"smy $f$ na $\dX$: poprzez granic"e ci"ag"ow, czyli 
$f$ jako funkcja $X \cup \{x\} \to Y \cup \{f(x)\}$ jest ci"ag"la, dla ka"rdego $x \in \dX$. We"zmy $x \in \cX$, $\epsilon > 0$
i za"l"o"rmy przez sprzeczno"s"c, "re istnieje ci"ag $x_n \to x$, "re $d(f(x), f(x_n)) > \epsilon$. Z g"esto"sci $X$ w $\cX$ i ci"ag"lo"sci
ju"r wykazanej, mo"rna dla ka"rdego $x_n$ wybra"c $x_n' \in X$, "re $d(f(x_n), f(x_n')) < \frac{\epsilon}{2}$ i 
$d(x_n, x_n') < \frac{1}{2^n}$ Wobec tego $x_n' \to x$, ale $d(f(x_n'), f(x)) > \frac{\epsilon}{2}$, sprzeczno"s"c.
\end{proof}

\begin{przyklad}\label{stonecechzlepiony}
Poka"remy, "re za"lo"renie o metryzowalno"sci uzwarcenia jest istotne w powy"rszym twierdzeniu. Ide"a przyk"ladu jest to, "re
gdy uzwarcenie jest ,,du"re'', czyli niemetryzowalne, mo"re si"e nie da"c znale"z"c zbioru, kt"ory ma tylko jeden punkt skupienia
w niesko"nczono"sci; a taki zbi"or (by"l to ci"ag zbie"rny do $x$) wykorzystywali"smy by znale"z"c $f(x)$.

Niech $X = Y = \Z$. Niech $\cY$ b"edzie uzwarceniem Stone-\v{C}echa przestrzeni $Y$, a $\cX$ podobnie, przy czym uto"rsamiamy
jakie"s dwa punkty, jeden z domkni"ecia $\Z_+$, drugi z domkni"ecia $\Z_-$. Powiedzmy, "re zlepiamy
$x$ z $x'$. Na mocy przyk"ladu \ref{stonecechtop},
  zgrubna struktura topologiczna na $Y$ jest dyskretna. Poka"remy, "re topologiczna struktura zgrubna na $X$ te"r jest dyskretna.
  W"owczas identyczno"s"c $X\to Y$ b"edzie zgrubna (bo struktury zgrubne s"a takie same), ale nie b"edzie si"e da"lo rozszerzy"c
  jej do funkcji ci"ag"lej, bo nie b"edzie wiadomo co zrobi"c z tym zlepionym punktem.

By wykaza"c, "re struktura zgrubna na $X$ jest dyskretna, przeprowad"zmy podobne rozumowanie jak w przyk"ladzie \ref{stonecechtop}.
Je"sli $E \subset X \times X$ jest kontrolowany i posiada niesko"nczenie wiele punkt"ow poza diagonal"a, to
posiada ci"ag $(x_n, y_n)$, gdzie $x_i \neq y_j$, zbie"rny do jakiego"s punktu w $\dX \times \dX$. Jak argumentowali"smy poprzednio,
        w uzwarceniu Stone-\v{C}echa granice roz"l"acznych ci"ag"ow w niesko"nczono"sci s"a r"o"rne, czyli to mo"re zbiega"c tylko
        do $(x, x')$ lub $(x', x)$. Za"lo"rmy bez straty og"olno"sci "re zbiega do $(x, x')$. We"zmy otoczenie
        domkni"ete $K$ punktu $(x, x')$ nieprzecinaj"ace diagonali i niezawieraj"ace punktu $(x', x)$ i za"l"o"rmy,
        "re nasz ci"ag le"ry w $K$ --- od pewnego miejsca musi by"c w $K$. No dobrze, ale ci"agi
        $(x_{2n}, y_{2n})$ i $(x_{2n+1}, y_{2n+1})$ s"a roz"l"aczne, wi"ec, z w"lasno"sci uzwarcenia Stone-\v{C}echa, co najwy"rej
        jeden z nich mo"re mie"c punkt skupienia w $(x, x')$, a to jedyny mo"rliwy punkt skupienia, sprzeczno"s"c.
        Czyli topologiczna struktura zgrubna na $X$ te"r jest dyskretna.
\end{przyklad}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% GLOWNE  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Uzwarcenie Higsona}

W poprzednim rozdziale pokazali"smy ,,naturaln"a'' struktur"e zgrubn"a, przyporz"adkowan"a jakiemu"s uzwarceniu przestrzeni $X$, czyli
m"adrze m"owi"ac, pokazali"smy funktor $t$ z kategorii przestrzeni z uzwarceniem w kategori"e przestrzeni z w"la"sciw"a struktur"a zgrubn"a.

Naturalne pytanie si"e nasuwa, czy mo"rna t"e operacj"e odwr"oci"c, czyli czy maj"ac dan"a struktur"e zgrubn"a na $X$ potrafimy
skonstruowa"c uzwarcenie, dla kt"orego ta struktura jest topologiczn"a struktur"a zgrubn"a. 

Do pewnego stopnia nam si"e to uda. Niestety, poka"remy te"r, "re nie zawsze jest to mo"rliwe. Podobnie jak w poprzednim rozdziale,
   zak"ladamy "re $X$ jest parazwart"a lokalnie zwart"a przestrzeni"a Hausdorffa.

\section{Wprowadzenie}

Zanim to jednak zrobimy, zdefiniujmy jaki"s cz"e"sciowy porz"adek na uzwarceniach i na strukturach zgrubnych. 

\begin{definicja}
Niech $\cX$ i $\cY$ b"ed"a uzwarceniami $X$. B"edziemy pisa"c $\cX \leq \cY$, je"sli identyczno"s"c na $X$ przed"lu"ra si"e do ci"ag"lej
surjekcji (czyli funkcji ,,na'') $f : \cY \to \cX$. Innymi s"lowy, uzwarcenie $\cX$ powstaje z uzwarcenia $\cY$ przez zlepienie
jaki"s punkt"ow.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Uzwarcenie jednopunktowe przestrzeni niezwartej jest najmniejszym uzwarceniem, funkcja uto"rsamiaj"aca wszystkie punkty narostu jest ci"ag"la.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Uzwarcenie Stone-\v{C}echa jest najwiekszym uzwarceniem. Wynika to z rozwa"ra"n o $C^*$-algebrach; uzwarcenie Stone-\v{C}echa odpowiada
wszystkim funkcjom ci"ag"lym i ograniczonym na $X$.
\end{przyklad}

\begin{definicja}
Niech $\eE_1$ i $\eE_2$ b"ed"a strukturami zgrubnymi na przestrzeni $X$. W"owczas m"owimy, "re $\eE_2$ jest {\em{zgrubniejsza}} od $\eE_1$,
      oznaczamy to $\eE_1 \leq \eE_2$, je"sli $\eE_1 \subset \eE_2$. Innymi s"lowy, w $\eE_2$ wi"ecej zbior"ow jest kontrolowanych.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
$2^{X \times X}$ jest najzgrubniejsz"a struktur"a zgrubn"a na $X$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
$2^{\{(x, x): x \in X\}}$ jest najmniej zgrubn"a struktur"a zgrubn"a na $X$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Niedyskretna struktura zgrubna jest najzgrubniejsz"a struktur"a w"la"sciw"a na $X$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}
Dyskretna struktura zgrubna jest najmniej zgrubn"a struktur"a sp"ojn"a na $X$.
\end{przyklad}

\begin{definicja}
Niech $X$ b"edzie w"la"sciw"a przestrzeni"a zgrubn"a. Uzwarcenie $\cX$ nazwiemy {\em{zgrubnym uzwarceniem}}, 
je"sli $t\cX$ jest zgrubniejsza od oryginalnej struktury zgrubnej.
\end{definicja}

\begin{przyklad}
Niedyskretna struktura zgrubna jest najzgrubniejsz"a w"la"sciw"a struktur"a zgrubn"a, wobec tego uzwarcenie jednopunktowe jest zawsze
  zgrubne. Przypomnijmy, "re topologiczna struktura zgrubna dla uzwarcenia jednopunktowego to w"la"scie niedyskretna struktura zgrubna.
\end{przyklad}

\section{Konstrukcja uzwarcenia Higsona}

Spr"obujmy teraz skonstruowa"c uzwarcenie odpowiadaj"ace jakiej"s w"la"sciwej strutkurze zgrubnej.

\begin{definicja}
Niech $X$ b"edzie w"la"sciw"a przestrzeni"a zgrubn"a, czyli przestrzeni"a parazwart"a Hausdorffa wraz z w"la"sciw"a struktur"a zgrubn"a.
Niech $f: X\to \C$ b"edzie ci"ag"la i ograniczona. Niech $df(x, y) = f(y) - f(x)$, $df: X \times X \to \C$. M"owimy, "re $f$ jest 
{\em{funkcj"a Higsona}} je"sli dla ka"rdego kontrolowanego $E$, funkcja $df$ obci"eta do $E$ znika w niesko"nczono"sci, 
  czyli $df \in C_0(E)$. Przez ,,znikanie w niesko"nczono"sci'' rozumiemy, "re dla ka"rdego $\epsilon > 0$ istnieje zbi"or zwarty $K$, "re
    $|df(x, y)| < \epsilon$ dla $(x, y) \in E \setminus K$. Zbi"or funkcji Higsona oznaczamy $C_h(X)$. 
\end{definicja}

\begin{fakt}
Funkcje Higsona na w"la"sciwej przestrzeni zgrubnej $X$ tworz"a przemienn"a $\C^*$-algebr"e z jedynk"a,
     podalgebr"e $\C^*$-algebry funkcji ci"ag"lych ograniczonych, zawieraj"ac"a $C_1(X)$.
  Operacjami jest punktowe mno"renie, dodawanie i sprz"e"renie.
\end{fakt}

\begin{proof}
Oczywi"scie funkcje Higsona s"a podzbiorem $\C^*$-algebry wszystkich funkcji ci"ag"lych ograniczonych na $X$, czyli, by to by"la $\C^*$-algebra,
  musimy wykaza"c zamkni"eto"s"c na dodawanie, sprz"e"renie i mno"renie oraz to, "re funkcja stale r"owna jeden jest funkcj"a Higsona. Wszystko
    poza mno"reniem jest oczywiste, gdy"r $d(f+g) = df + dg$ i $d(\bar{f}) = \bar{df}$ oraz $d1 = 0$. Zauwa"rmy, "re:

    $$d(fg)(x, y) = f(y)g(y) - f(x)g(x) = (f(y)-f(x))g(x) + (g(y)-g(x))f(y) = $$
    $$ = df(x, y)g(x) + dg(x, y)f(y).$$

    Wobec tego, je"sli na $E$ zachodzi $df \to 0$ i $dg \to 0$ w niesko"nczono"sci, a $f$ i $g$ s"a ograniczone,
  to $d(fg) \to 0$. W oczywisty spos"ob wszystkie elementy $C_1(X)$ nale"r"a do $C_h(X)$.
\end{proof}

%%%% ALGEBRA
\begin{wniosek}
Wobec tego, na mocy uwagi \ref{uzwarceniecstar}, istnieje uzwarcenie przestrzeni $X$ dla kt"orej $C_h(X)$ jest algebr"a funkcji ci"ag"lych
  i ograniczonych w $\C$. 
\end{wniosek}

\begin{definicja}
To uzwarcenie b"edziemy nazywa"c {\em{uzwarceniem Higsona}} i oznaczymy $hX$. Narost tego uzwarcenia, czyli $hX \setminus X$, oznaczymy
  $\nu X$ i b"edziemy nazywa"c {\em{koron"a Higsona}}. Innymi s"lowy, $h$ jest funktorem z kategorii przestrzeni z w"la"sciw"a 
  struktur"a zgrubn"a w kategori"e przestrzeni z uzwarceniem.
\end{definicja}

\section{Przyk"lady uzwarce"n Higsona}

Pytanie teraz brzmi: czy $X = htX$ dla przestrzeni z uzwarceniem $X$? Czy $X = thX$ dla w"la"sciwej struktury zgrubnej
  na $X$?

\begin{przyklad}
Uzwarcenie Higsona dyskretnej struktury zgrubnej na przestrzeni dyskretnej $X$ jest uzwarceniem Stone-\v{C}echa.
\end{przyklad}

\begin{proof}
Proste. Je"sli $E$ jest zbiorem kontrolowanym i $(x_n, y_n)$ ucieka do niesko"nczono"sci w $E$, to 
  ucieka po diagonali --- w $E$ jest tylko sko"nczenie wiele punkt"ow poza diagonal"a. Czyli $df$ znika
  w niesko"nczono"sci dla dowolnej ci"ag"lej $f$, czyli $C(hX) = C(X)$, czyli jest to uzwarcenie Stone-\v{C}echa.
\end{proof}

\begin{uwaga}
Rozwa"rmy uzwarcenie z przyk"ladu \ref{stonecechzlepiony}. Topologiczn"a struktur"a zgrubn"a jest struktura dyskretna,
  ale uzwarcenie Higsona dla topologicznej struktury zgrubnej jest pe"lnym uzwarceniem Stone-\v{C}echa. Mamy wi"ec przyk"lad,
  "re czasem $X < htX$: nie mo"rna przed"lu"ry"c identyczno"sci do przekszta"lcenia ci"ag"lego z ,,zlepionego'' Stone-\v{C}echa
    do pe"lnego.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Uzwarcenie Higsona niedyskretnej struktury zgrubnej na $X = \omega$ z topologi"a dyskretn"a to uzwarcenie jednopunktowe.
\end{przyklad}

\begin{proof}
Niech $X \ni x_n \to x \in \partial hX$ i $X \ni y_n \to y \in \partial hX$ i $x \neq y$. "Raden punkt w "radnym ci"agu
  nie pojawia si"e niesko"nczenie wiele razy, mo"remy wi"ec za"lo"ry"c "re $x_i \neq y_j$, $x_i \neq x_j$, $y_i \neq y_j$:
  bierzemy $x_1$ i wyrzucamy wszystkie wyst"apienia $x_1$ z obu ci"ag"ow, i naprzemiennie w ten spos"ob wybieramy
  po elemencie z ka"rdego ci"agu. W"owczas $\{(x_n, y_n) : n \in \N\}$ jest kontrolowany: je"sli $K$ jest zwarty,
     to tylko sko"nczenie wiele element"ow $x_n$ jest w $K$, czyli $E[K]$ jest sko"nczony, czyli zwarty. Wobec tego
     dla $f \in C(hX)$ mamy $f(x_n)-f(y_n) \to 0$, czyli $f(x) = f(y)$, czyli, z dowolno"sci wyboru $f$, $x=y$.
\end{proof}

\begin{wniosek}
Uzwarcenie jednopunktowe oraz struktura niedyskretna na $\omega$, jak te"r uzwarcenie Stone-\v{C}echa i struktura dyskretna
  zachowuj"a si"e ,,porz"adnie'', tj. $thX = X$ oraz $htX = X$.
\end{wniosek}

\begin{przyklad}
Niech $X = \omega$ z topologi"a dyskretn"a. Niech
  $$\eE = \{ E \subset X \times X: \sup_{x \in X} \max(E^x, E_x) < \infty \}.$$
"Latwo sprawdzi"c, "re jest to struktura zgrubna, nazywamy j"a {\em{uniwersaln"a struktur"a ograniczon"a na $X$}}.
W"owczas $hX$ b"edzie uzwarceniem jednopunktowym.
\end{przyklad}

\begin{proof}
Dow"od taki sam jak w przypadku przestrzeni niedyskretnej: mo"remy uroz"l"aczni"c ci"agi zbiegaj"ace do niesko"nczono"sci,
  tworz"a one zbi"or kontrolowany, wi"ec w niesko"nczono"sci $f(x) = f(y)$, czyli zbiegaj"a do tego samego punktu.
\end{proof}

\begin{uwaga}
Uniwersalna struktura ograniczona jest istotnie mniej zgrubna od struktury niedyskretnej, w zwi"azku z tym jest to przyk"lad,
            "re mo"rliwe jest $X < thX$. 
\end{uwaga}

\section{W"lasno"sci uzwarcenia Higsona}

Pokazali"smy kilka przyk"lad"ow korony Higsona. Pokazali"smy, "re mo"rliwe jest $X = htX$ oraz $X = thX$, jak i
  $X < htX$ oraz $X < thX$. Udowodnimy teraz, "re to jedyne mo"rliwe przypadki i poka"remy pewn"a charakteryzacj"e,
  kiedy mo"remy spodziewa"c si"e r"owno"sci.

\begin{fakt}
Je"sli $X$ i $Y$ s"a przestrzeniami z uzwarceniami $\cX$ i $\cY$ i $\cX \leq \cY$, to $tX \geq tY$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Oczywiste. Je"sli w $\cX$ powstaje z $\cY$ przez pozlepianie kilku punkt"ow w niesko"nczono"sci, to
  je"sli zbi"or $E\subset X \times X$ spe"lnia warunek (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr} dla uzwarcenia
  $\cY$, to tym bardziej spe"lnia go dla $\cX$.
\end{proof}

\begin{fakt}
Je"sli $X$ i $Y$ s"a przestrzeniami z w"la"sciw"a struktur"a zgrubn"a i $X \leq Y$, to $hX \geq hY$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Te"r oczywiste. Mniejsza struktura zgrubna, to mniej warunk"ow na funkcje Higsona, czyli jest ich wi"ecej, 
  czyli $C(hY) \subset C(hX)$, czyli mo"remy zastosowa"c twierdzenie $\ref{gelfand2}$.
\end{proof}

\begin{fakt}
Niech $Y$ b"edzie przestrzeni"a z uzwarceniem $\cY$. W"owczas $Y \leq htY$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Na mocy twierdzenia \ref{gelfand2} wystarczy wykaza"c, "re $C(\cY)$ zanurza si"e w $C(htY)$, czyli "re ka"rda funkcja ci"ag"la na $\cY$ jest 
  funkcj"a Higsona. We"rmy $E$ kontrolowany w topologicznej strukturze zgrubnej i $(x_n, y_n)$ zbiegaj"acy
  do niesko"nczono"sci w $E$. Ale $E$ spe"lnia warunek (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}, czyli
    granice $x_n$ i $y_n$ s"a te same, czyli w granicy $df = 0$ dla dowolnej ci"ag"lej $f$ na $\cY$.
      Czyli $f$ jest Higsona.
\end{proof}

\begin{twierdzenie}
Uzwarcenie Higsona $hX$ w"la"sciwej przestrzeni zgrubnej $X$ jest zgrubne. Co wi"ecej, jest uniwersalnym uzwarceniem zgrubnym w nast"epuj"acym
  sensie: dla ka"rdego innego uzwarcenia zgrubnego $\cX$ istnieje rozszerzenie identyczno"sci do ci"ag"lej surjekcji $hX$ na $\cX$. Innymi s"lowy, $X \leq thX$.
\end{twierdzenie}

\begin{proof}
By wykaza"c, "re uzwarcenie Higsona jest zgrubne, potrzebujemy pokaza"c, "re ka"rdy zbi"or kontrolowany $E$ oryginalnej struktury zgrubnej
  jest te"r kontrolowany w $thX$. B"edziemy chcieli wykaza"c warunek (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr} dla zbioru $E$. Niech 
  $(x_\alpha, y_\alpha)$ b"edzie sieci"a w $E$ i niech $x_\alpha$ ucieka do niesko"nczono"sci (czyli dla ka"rdego zbioru zwartego $K$ istnieje
      $\alpha$ "re dla ka"rdego $\beta \geq \alpha$ mamy $x_\beta \notin K$). Z w"la"sciwo"sci zbioru $E$ (oryginalna struktura zgrubna jest 
  w"la"sciwa), $y_\alpha$ r"ownie"r ucieka do niesko"nczono"sci. Istotnie, je"sliby $y_\alpha$ dowolnie wysoko w sieci przebywa"l w zbiorze zwartym
  $K$, to bior"ac $B = \{\alpha \in A: y_\alpha \in K\} $ tworzymy podsie"c i $\{x_\alpha\}_{\alpha \in B} \subset E[K]$, ale podsie"c
  $\{x_\alpha\}_{\alpha \in B}$ ucieka te"r do niesko"nczono"sci, czyli $E[K]$ nie jest relatywnie zwarty, sprzeczno"s"c z w"la"sciwo"sci"a $E$.

Skoro $x_\alpha$ i $y_\alpha$ uciekaj"a do niesko"nczono"sci i jest to sie"c w $E$, to $df(x_\alpha, y_\alpha) \to 0$ dla dowolnej funkcji Higsona $f$.
Wobec tego, je"sliby $x_\alpha \to x$ i $y_\alpha \to y$ w $hX$, to dla ka"rdej funkcji Higsona $f(x)=f(y)$. $C_h(X)$ to wszystkie funkcje ci"ag"l"e
na $hX$, czyli $x=y$. Czyli $E$ spe"lnia warunek (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}, czyli jest kontrolowany w $thX$.

Teraz we"zmy dowolne zgrubne uzwarcenie $\cX$. Niech $f$ b"edzie funkcj"a ci"ag"l"a na $\cX$, wobec tego $df$ znika na diagonali i jest ci"ag"l"e.
Niech $E$ b"edzie kontrolowany w oryginalnej strukturze zgrubnej; $\cX$ by"lo zgrubne, czyli $E$ jest te"r kontrolowane w $t\cX$. Ale,
      zgodnie z warunkiem (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}, $cl E$ poza $X \times X$ zawiera tylko punkty z diagonali $\cX \times \cX$, 
      czyli $df$ obci"ete do $E$ znika w niesko"nczono"sci, czyli $f$ jest funkcj"a Higsona. Pokazali"smy wi"ec w"lo"renie $C^*$-algebr 
        $G: C(\cX) \to C(hX)$, zachowuj"ace zachowanie funkcji na $X$. Wobec tego, z twierdzenie \ref{gelfand2}, istnieje przed"lu"renie identyczno"sci,
      ci"ag"la surjekcja $hX \to \cX$, czyli to o co nam chodzi.
\end{proof}

\begin{wniosek}
Dla dowolnej przestrzeni z uzwarceniem $X$ zachodzi $tX = thtX$. Dla dowolnej przestrzeni
  z w"la"sciw"a struktr"a zgrubn"a $Y$ zachodzi $hY = hthY$.
\end{wniosek}

\begin{proof}
Wiemy, "re $(tX) \leq th(tX)$. Ale te"r $X \leq htX$, na mocy fakt"ow wcze"sniejszych, $tX \geq t(htX)$, czyli
  mamy r"owno"s"c. Drugi dow"od przebiega analogicznie, potrzeba jeszcze zauwa"ry"c, "re istnieje suriekcji
  w obie strony dw"och przestrzeni zwartych, zachowuj"acych wsp"olny zbi"or g"esty ($X$) implikuje homeomorficzno"s"c
  przestrzeni zwartych.
\end{proof}

\begin{uwaga}
Sp"ojrzmy na nasze negatywne przyk"lady. W zwi"azku z tym uzwarcenie Stone-\v{C}echa ze zlepionym jednym punktem
  (przyk"lad \ref{stonecechzlepiony}) nie jest uzwarceniem Higsona dla "radnej w"la"sciwej struktury zgrubnej,
   za"s uniwersalna struktura ograniczona nie jest topologiczn"a struktur"a zgrubn"a dla "radnego uzwarcenia.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}
Niech $(X, d)$ b"edzie w"la"sciw"a przestrzeni"a metryczn"a (czyli domkni"ete ograniczone s"a zawsze zwarte). 
W"owczas ograniczona struktura zgrubna na $X$ spe"lnia $X = thX$. 
\end{przyklad}

\begin{proof}
Wiemy, "re $X \leq thX$, musimy wykaza"c w drug"a stron"e, wystarczy "re wyka"remy nie wprost:
je"sli $E$ nie jest kontrolowane w spos"ob ograniczony, to nie jest te"r kontrolowane ci"agle przez $hX$.

$E$ nie jest ci"agle kontrolowane, we"zmy wi"ec w nim ci"ag taki, "re $d(x_n, y_n) > 2n+1$. Przynajmniej jeden
z tych ci"ag"ow musi zbiega"c do niesko"nczono"sci, skoro $E$ jest w"la"sciwy, to oba ci"agi musz"a zbiega"c do niesko"nczono"sci. 
Mo"remy je przerzedzi"c: za"l"o"rmy, "re
$x_{n+1}$ jest odleg"ly o conajmniej $2(n+1)$ od punkt"ow $x_i$ i $y_i$ dla $i<n+1$. Zdefiniujmy
$$f(x) = \max\Big(0, 1 - \inf_{n\in \N}\frac{d(x, x_n)}{n}\Big).$$
  Wyra"renie pod $\inf$ dla conajwy"rej jednego $n$ b"edzie mniejsze ni"r $1$, z warunk"ow kt"ore obrali"smy na $x_n$.
  Czyli $f(x_n)=1$ i $f(y_n) = 0$, czyli $x_n$ i $y_n$ zbiegaj"a do r"o"rnych punkt"ow w $\nu X$. Czyli $E$
  nie spe"lnia warunku (\ref{nwsr1}) twierdzenia \ref{nwsr}, czyli nie jest ci"agle kontrolowane przez $hX$.
\end{proof}

\begin{fakt}
Je"sli $X$ jest lokalnie zwart"a przestrzeni"a Hausdorffa i $\cX$ jest uzwarceniem metryzowalnym, to
$X = htX$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Wiemy, "re $X \leq htX$. Musimy wykaza"c w drug"a stron"a, czyli "re ka"rda funkcja ci"ag"la Higsona przed"lu"ra si"e
ci"agle do funkcji ci"agl"ej na $\cX$. Dowodzimy dalej tak samo jak w twierdzeniu \ref{metruzwarcenia}.
Niech $x_n \to x \in \dX$. Za $f(x)$ przyjmujemy punkt skupienia $f(x_n)$. Je"sli dwa ci"agi $x_n$ i $x_n'$ s"a
takie, "re $f(x_n)$ i $f(x_n')$ s"a zbie"rne, to, jako "re $f$ jest Higsona, $f(x_n) - f(x_n') \to 0$. Czyli jest
to poprawna definicja; pozosta"le szczeg"o"ly s"a analogiczne do dowodu twierdzenia \ref{metruzwarcenia}.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
 %%%%%%%%%%%%%%%KORONA %%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\section{Uniwesalno"s"c korony Higsona}

Skonstruowali"smy $hX$ dla przestrzeni z w"la"sciw"a struktur"a zgrubn"a. Poka"remy teraz do"s"c niesamowit"a rzecz:
$\nu X$, czyli narost uzwarcenia $hX$ mo"rna zdefiniowa"c dla dowolnej struktury zgrubnej, mimo, "re wtedy $C_h(X)$ nie musi
by"c $C^*$-algebr"a i nie musi istnie"c uzwarcenie $hX$.

\begin{fakt}
Niech $X$ b"edzie w"la"sciw"a przestrzeni"a zgrubn"a. W"owczas $C(\nu X)$ jest izomorficzne z $\frac{C_h(X)}{C_0(X)}$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Po pierwsze zauwa"rmy, "re $\frac{C_h(X)}{C_0(X)}$ jest dobr"a definicj"a $\C^*$-algebry. $C_0(X)$ jest domkni"et"a
  podprzestrzeni"a $C_h(X)$, czyli jest to poprawny iloraz przestrzeni Banacha nad $\C$. Ze wzgl"edu na przemienno"s"c,
  naturalna definicja iloczynu i sprz"e"renia na tym ilorazie jest poprawna.

Zauwa"rmy, "re $\frac{C_h(X)}{C_0(X)}$ zanurza si"e w $C(\nu X)$. Istotnie, we"zmy $[f] \in \frac{C_h(X)}{C_0(X)}$, 
  przyporz"adkujmy jej $f|_{\nu X}$. Jest to dobra definicja, bo je"sli $f-g \in C_0(X)$, to $f|_{\nu X} = g|_{\nu X}$. 
Jest to w"lo"renie algebr: operacje w algebrach s"a punktowymi operacjami na funkcjach, 
a w"lo"renie jest obci"eciem funkcji do mniejszej dziedziny. Z drugiej strony zauwa"rmy, i"r z twierdzenia Tietzego
wynika, "re skoro $\nu X$ jest domkni"ete (bo $X$ jest otwarte w $\cX$), to ka"rda funkcja ci"ag"la na $\nu X$ w $\C$
rozszerza si"e do ca"lego $\cX$ (twierdzenie Tietzego formalnie m"owi o funkcjach w $\R$; mo"remy jednak
    rozszerzy"c na ka"rdej wsp"o"lrz"ednej niezale"rnie). Czyli to w"lo"renie jest ,,na''.
\end{proof}

M"owili"smy dotychczas, "re funkcja $f$ {\em{zbiega do zera w niesko"nczono"sci}}, je"sli dla ka"rdego $\epsilon>0$ istnieje zbi"or zwarty $K$,
  "re $|f(x)| < \epsilon$ dla $x \notin K$. Teraz spr"obujmy innej definicji: zamiast zbioru zwartego, dla przestrzeni zgrubnej $X$, we"zmy do definicji
    zbi"or ograniczony: $f$ {\em{zbiega do zera w niesko"nczono"sci}}, je"sli dla ka"rdego $\epsilon > 0$ istnieje zbi"or {\em{ograniczony}} $K$,
  "re $|f(x)| < \epsilon$ dla $x \notin K$. Zauwa"rmy, "re definicje te, dla w"la"sciwych struktur zgrubnych, si"e pokrywaj"a: zbiory relatywnie
    zwarte to dok"ladnie zbiory ograniczone.

Oznaczmy przez $B_h(X)$ zbi"or wszystkich funkcji ograniczonych $X\to\C$ (niekoniecznie ci"ag"lych), spe"lniaj"acych warunek Higsona $df \to 0$,
za"s przez $B_0(X)$ idea"l w $B_h(X)$ funkcji ograniczonych, kt"ore zbiegaj"a do zera w niesko"nczono"sci. 

\begin{fakt}
Je"sli $X$ jest w"la"sciw"a przestrzeni"a zgrubn"a, to $C_0(X) = C_h(X) \cap B_0(X)$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Skoro dla w"la"sciwych przestrzeni zgrubnych definicje zbiegania do $0$ w niesko"nczono"sci si"e pokrywaj"a, to de facto "r"adana nier"owno"s"c
  jest przepisaniem definicji $C_0(X)$: funkcje z $C_0(X)$ s"a Higsona i zbiegaj"a do $0$ w niesko"nczono"sci.
\end{proof}

\begin{fakt}
Je"sli $X$ jest w"la"sciw"a przestrzeni"a zgrubn"a, to $B_h(X) = C_h(X) + B_0(X)$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Suma funkcji ci"ag"lej na uzwarceniu i funkcji ograniczonej jest oczywi"scie funkcj"a ograniczon"a oraz warunek Higsona zachowuje si"e
 przy sumowaniu funkcji. Musimy wi"ec wykaza"c, "re ka"rda
  funkcja $f$ ograniczona na $X$ spe"lniaj"aca warunek Higsona 
  rozk"lada si"e na sum"e funkcji ci"ag"lej Higsona i funkcji uciekaj"acej do $0$ w niesko"nczono"sci.

$X$ jest w"la"sciwa, wi"ec niech $E$ b"edzie kontrolowanym otoczeniem diagonali. Wobec tego wok"o"l ka"rdego punktu $z \in X$ istnieje otoczenie
$U_z$, "re $U_z \times U_z \subset E$. $\{U_z : z\in X\}$ jest pokryciem otwartym $X$, mo"remy wi"ec w nie wpisa"c lokalnie sko"nczony rozk"lad
jedynki $\phi_z$, gdy"r $X$ by"la parazwarta. Zdefiniujmy:
$$g(x) = \sum_{z\in X} \phi_z(x)f(z).$$
Skoro $f$ jest ograniczona, to $g$ jest ograniczona i ci"ag"la, bo $\phi_z$ s"a ci"ag"le. Je"sli wyka"remy, "re $f-g \in B_0(X)$, to
b"edzie koniec: w"owczas $g$ musi spe"lnia"c warunek Higsona (bo $f$ i $f-g$ spe"lniaj"a) i roz"lo"ryli"smy funkcje z $B_h(X)$ na funkcj"e
$g \in C_h(X)$ i $f-g \in B_0(X)$.

Zauwa"rmy, "re jako "re $\phi_z$ jest wpisane w $U_z$, oraz $U_z \times U_z \subset E$, to je"sli $\phi_z(x) \neq 0$ to $(x, z) \in E$. 
Zauwa"rmy, "re $$(f-g)(x) = \sum_{z\in X} \phi_z(x) (f(x) - f(z)).$$ We"zmy $\epsilon > 0$. Skoro $E$ jest kontrolowany i $f$ spe"lnia warunek
Higsona $df \to 0$, to istnieje ograniczony (czyli relatywnie zwarty) $K$ taki, "re na $E \setminus K \times K$ mamy $|df| < \epsilon$. 
Wobec tego, je"sli $x \notin K$, to $$|f(x) - g(x)| \leq \Big(\sum_{z\in X} \phi_z(x)\Big) \cdot \epsilon = \epsilon.$$
\end{proof}

\begin{wniosek}
Wobec tego, jako "re
  $$\frac{A+B}{A} = \frac{B}{A \cap B},$$
to 
  $$C(\nu X) = \frac{C_h(X)}{C_0(X)} = \frac{C_h(X)}{C_h(X) \cap B_0(X)} = \frac{B_0(X) + C_h(X)}{B_0(X)} = \frac{B_h(X)}{B_0(X)}.$$
Czyli zdefiniowali"smy $C(\nu X)$ za pomoc"a $B_h(X)$ i $B_0(X)$, kt"ore s"a definiowalne dla dowolnej przestrzeni zgrubnej. Na mocy twierdzenia
\ref{uzwarceniecstar}, 
  algebrze $\frac{B_h(X)}{B_0(X)}$ odpowiada jaka"s przestrze"n zwarta i j"a b"edziemy okre"sla"c jako $\nu X$. 
\end{wniosek}

\begin{fakt}
Niech $X$ i $Y$ b"ed"a w"la"sciwymi przestrzeniam zgrubnymi. W"owczas przekszta"lcenie zgrubne $f:X \to Y$ rozrzesza si"e do przekszta"lcenia ci"ag"lego
  $\nu f: \nu X \to \nu Y$. Co wi"ecej, je"sli $f:X \to Y$ i $g:X \to Y$ s"a bliskie, to $\nu f = \nu g$.
\end{fakt}

\begin{proof}
Niech $f:X\to Y$ b"edzie zgrubne. Niech $\phi \in B_h(Y)$. W"owczas $\phi' = \phi \circ f \in B_h(X)$. Oczywi"scie $\phi':X \to \C$ i jest funkcj"a
  ograniczon"a, pozostaje sprawdzi"c warunek Higsona. Je"sli $\epsilon > 0$, to poza zbiorem $K$ ograniczonym w $Y$ zachodzi $|d\phi(x)| < \epsilon$.
  Czyli na $f^{-1}(K)$ zachodzi $|d\phi'| < \epsilon$. Ale $f$ jest zgrubna, czyli $f^{-1}(K)$ jest ograniczone w $X$. Dok"ladnie identycznie mo"remy
  uzasadni"c, "re je"sli $\phi \in B_0(Y)$ to $\phi \circ f \in B_0(X)$. Wobec tego $f^*: B_h(Y) \to B_h(X)$, "re $f^*(\phi) = \phi \circ f$, 
  oraz $f^*(B_0(Y)) \subset B_0(X)$, i oczywi"scie $f^*$ zachowuje operacje w $\C^*$-algebrach $B_0$ i $B_h$. 

Wobec tego $f^*$ mo"rna zada"c te"r na ilorazie $\frac{B_h(Y)}{B_0(Y)} \to \frac{B_h(X)}{B_0(X)}$, $f^*([\phi]) = [\phi \circ f]$, czyli mamy homomorfizm
$C(\nu Y) \to C(\nu X)$. Zgodnie z twierdzeniem \ref{twierdzenie111_2}, $\nu X \sim \widehat{C(\nu X)}$ i 
$\nu Y \sim \widehat{C(\nu Y)}$. Homomorfizm $f^*: C(\nu Y) \to C(\nu X)$ definiuje 
$f^{**} : \widehat{C(\nu X)} \to \widehat{C(\nu Y)}$, 
$$f^{**}(\omega_x)(g) = (\omega_x \circ f^*)(g) = \omega_x (g \circ f) = g(f(x)).$$ 
W spektrach obowi"azuje s"laba z $*$ topologia, wi"ec $f^{**}$ jest ci"ag"lym przed"lu"reniem $f$.

Niech teraz $f$ i $g$ s"a bliskie. Niech $\phi \in B_h(X)$. Oznaczmy $h = f^*(\phi) - g^*(\phi) = \phi \circ f - \phi \circ g$. Zbi"or
$E = (f, g)(X)$ jest kontrolowany, bo $f$ i $g$ s"a bliskie. We"zmy $\epsilon > 0$. We"zmy relatywnie zwarty, czyli ograniczony, $K$ w $Y$, "re
$|d\phi| < \epsilon$ na $E \setminus K \times K$. W"owczas $L = f^{-1}(K) \cup g^{-1}(K)$ jest relatywnie zwarty (ograniczony) w $X$. Je"sli $x \notin L$,
to $(f, g)(x) \notin K \times K$, czyli $|h(x)| < \epsilon$. Czyli $h \in B_0(X)$. Czyli $f^* = g^*$ na $\frac{B_h(Y)}{B_0(Y)}$, czyli
  $\nu f = \nu g$. 
\end{proof}

\begin{wniosek}
Przestrzenie zgrubnie r"ownowa"rne maj"a homeomorficzne korony Higsona. 
\end{wniosek}

\begin{proof}
Jak wynika z poprzedniego twierdzenia, maj"a one identyczne przestrzenie funkcji ci"ag"lych, 
  wi"ec s"a homeomorficzne, na mocy wniosku \ref{cstarid_xid}.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}

\bibitem[Roe]{roe} John Roe, Lectures on Coarse Geometry, American Mathematical Society 2002

\bibitem[Arv]{arv} William Arveson, An Invitation to $C^*$-Algebra, Springer-Verlag 1976

\bibitem[Wiki]{wiki} Angielska Wikipedia, \texttt{en.wikipedia.org}.
\end{thebibliography}

\end{document}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% coding: latin-2
%%% End:
