<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{polski}
\prefixing
\headsep -2.0cm
\setlength{\textwidth}{16.5cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54in}
\setlength{\evensidemargin}{-0.54in}
\setlength{\hoffset}{1.25cm}

\setlength{\parindent}{0cm}
\setlength{\parskip}{0.06in}

\def \ka    {$\quad\bullet\qquad$}
\def \R     {{\rm I\!R}}

\begin{document}

\vskip 3pc

\begin{center}
{\large\bf Test Egzaminacyjny z Metod Numerycznych na ZSI}\\
4 wrze/snia 2002 
\end{center}

\vskip 3pc

Prawid/lowe odpowiedzi zaznaczamy pisz/ac `TAK' (albo `T'), 
a nieprawid/lowe pisz/ac `NIE' (albo `N'), z lewej strony 
odpowiedzi.

UWAGA: Poszczeg/olne pytania mog/a mie/c od zera do trzech 
prawid/lowych odpowiedzi.

\vskip 4pc

{\bf 1.}\quad Niech $a$ i $b$ b/ed/a liczbami dodatnimi. 
Wtedy zadanie obliczania wyra/zenia $\phi(a,b)=a^2-b^2$ jest
ze wzgl/edu na dane $a,b\in\R$

\vskip 1pc

\ka zawsze dobrze uwarunkowane

\ka dobrze uwarunkowane je/sli $|a-b|\ge 1$

\ka dobrze uwarunkowane je/sli $a//b\le 10^{-6}$

\vskip 4pc

{\bf 2.}\quad Pewne zadanie, kt/ore jest dobrze uwarunkowane, rozwi/azujemy 
u/zywaj/ac pewnego algorytmu. Wtedy b/l/ad wzgl/edny rozwi/azania

\vskip 1pc

\ka jest ma/ly

\ka mo/ze by/c du/zy, nawet je/sli algorytm jest numerycznie poprawny

\ka mo/ze by/c ma/ly, nawet je/sli algorytm nie jest numerycznie poprawny

\vskip 4pc

{\bf 3.}\quad Algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g/l/ownego
w kolumnie 

\vskip 1pc

\ka jest numerycznie poprawny

\ka daje rozwi/azanie przybli/zone z ma/lym b/l/edem wzgl/ednym

\ka daje rozwi/azanie przybli/zone z ma/lym b/l/edem wzgl/ednym je/sli 
    uwarunkowanie macierzy jest ma/le

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 4.}\quad Rozpatrzmy zadanie wyg/ladzania liniowego 
$A\vec x\approx\vec b$ z macierz/a $A=(1,2,3,4)^T$ oraz
wektorem $\vec b=(1,1,1,1)^T$. Rozwi/azaniem zadania jest

\vskip 1pc

\ka $3$

\ka wektor $(1,1//2,1//3,1//4)^T$.

\ka wektor $(1//30,1//15,1//10,2//15)^T$

\vskip 4pc

{\bf 5.}\quad Wielomian $f(x)=\sum_{j=0}^n a_j x^j$ interpolujemy 
wielomianem Lagrange'a $w_f$ w punktach $x_i=i$, $0\le i\le n$. Wtedy
b/l/ad interpolacji w danym punkcie $x$ 

\vskip 1pc

\ka jest zerowy

\ka wynosi $a_n x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$

\ka jest zerowy jedynie w dw/och przypadkach: gdy $a_n=0$, albo 
    $a_n\ne 0$ i $x=i$, $1\le i\le n$

\vskip 4pc

{\bf 6.}\quad Niech $f(x)=x^3+x^2+x+1$. Niech $w_f$ b/edzie wielomianem 
interpolacyjnym Hermite'a dla $f$ opartym na dwukrotnym w/e/xle $0$ 
i jednokrotnym w/e/xle $1$. Wtedy

\vskip 1pc

\ka $w_f(x)=2x^2+x+1$ 

\ka $w_f(x)=q(x)+f(0,0,1)x^2$, gdzie $q(x)$ jest wielomianem 
    interpolacyjnym Hermite'a opartym na dwukrotnym w/e/xle $0$

\ka $w_f(x)=q(x)+f(0,0,1)x(x-1)$, gdzie $q(x)$ jest wielomianem 
    interpolacyjnym Lagrange'a opartym na w/ez/lach $0$ i $1$

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 7.}\quad Niech $w_n$ b/edzie wielomianem interpolacyjnym dla 
funkcji $f(x)=\sum_{j=0}^{n+1} x^j$, opartym na $n+1$ w/ez/lach-zerach 
wielomianu Czebyszewa $T_{n+1}$. Wtedy 

\vskip 1pc

\ka b/l/ad interpolacji na przedziale $[-1,1]$ wynosi $2^{-n}$

\ka dla $n=2$ mamy $f(2)-w_n(2)=6$

\ka funkcja $f-w_n$ ma $n+1$ zer w przedziale $[-1,1]$

\vskip 4pc

{\bf 8.}\quad Niech $Q_n(f)=\sum_{j=0}^n a_jf(t_j)$ b/edzie dan/a
kwadratur/a numeryczn/a przybli/zaj/ac/a ca/lk/e $I(f)=\int_a^bf(x)dx$,
kt/orej rz/ad wynosi $12$. Je/sli

\vskip 1pc

\ka $Q_n$ jest kwadratur/a Gaussa dla $I(f)$ to $n=5$

\ka $n=20$ to $Q_n$ nie jest kwadratur/a interpolacyjn/a

\ka $Q_n$ jest kwadratur/a interpolacyjn/a to $n\le 11$

\vskip 4pc

{\bf 9.}\quad Zdefiniujmy w przestrzeni wielomian/ow iloczyn skalarny 
$\left&lt;p,q\right&gt;=\int_0^1p(x)q(x)\rho(x)\,dx$, 
gdzie $\rho$ jest pewn/a wag/a. Wtedy 

\vskip 1pc

\ka poddaj/ac wielomiany $p_0(x)=1$ oraz $p_1(x)=x$ procesowi 
    ortogonalizacji Grama-Schmidta z $\rho(x)=x$ otrzymujemy 
    wielomiany $q_0(x)=1$ oraz $q_1(x)=x-2//3$

\ka kwadratura $Q(f)=(1//2)f(2//3)$ jest jednopunktow/a kwadratur/a Gaussa 
    dla przybli/zenia ca/lki $\int_0^1 f(x)x\,dx$

\ka rz/ad kwadratury $Q(f)=f(1//2)$ przybli/zaj/acej ca/lk/e 
    $\int_0^1 f(x)x\,dx$ wynosi $2$

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 10.}\quad Dla przybli/zenia ca/l\-ki $\int_0^1 f(x)\,dx$
funkcji $f(x)=-x^2$ zastosowano kwadratur/e trapez/ow. 
B/l/ad kwadratury

\vskip 1pc

\ka wynosi $-1//6$

\ka jest taki sam jak dla funkcji $x^2+x+1$

\ka jest taki sam jak b/l/ad kwadratury parabol (Simpsona)

\vskip 4pc

{\bf 11.}\quad Niech $f:\R\to\R$ b/edzie funkcj/a r/o/zniczkowaln/a.
Do r/ownania $f(x)=x$ zastosowano metod/e iteracji prostej 
$x_n=f(x_{n-1})$ i otrzymano ci/ag $\{x_n\}$ zbie/zny do jedynego 
rozwi/azania $\alpha$ tego r/ownania. Je/sli

\vskip 1pc

\ka ci/ag $x_n$ jest malej/acy albo rosn/acy to $0&lt;f'(\alpha)\le 1$

\ka $f'(\alpha)&lt;1$ to ci/ag $x_n$ jest od pewnego momentu naprzemienny

\ka $x_{n-1}\ne\alpha$ i $x_n=\alpha$ to r/ownanie $f'(x)=0$ ma
    rozwi/azanie

\vskip 4pc

{\bf 12.}\quad Je/sli metod/e Newtona (stycznych) zastosujemy do
r/ownania nieliniowego $x^6-1=0$ z punktem startowym $x_0\ne 0$ to

\vskip 1pc

\ka ci/ag $\{x_n\}_{n\ge 0}$ kolejnych przybli/ze/n b/edzie zawsze 
    dobrze okre/slony 

\ka dla wszystkich $n$ mamy $|x_n-1|\le C\cdot |x_{n-1}-1|^2$, gdzie 
    $0&lt;C&lt;\infty$ jest pewn/a liczb/a niezale/zn/a od $n$

\ka kolejne przybli/zenia dane s/a wzorem $x_{n+1}=(1//5)(4x+x^{-5})$.

\vskip 4pc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
{\large\bf Test Egzaminacyjny z Metod Numerycznych na ZSI}\\
18 czerwca 2003
\end{center}

\vskip 3pc

Prawid/lowe odpowiedzi zaznaczamy pisz/ac TAK, a nieprawid/lowe 
pisz/ac NIE, z lewej strony odpowiedzi.

UWAGA: Poszczeg/olne pytania mog/a mie/c od zera do trzech 
prawid/lowych odpowiedzi.

\vskip 4pc

{\bf 1.}\quad 
Zadanie obliczania sumy $\sum_{j=1}^n a_j$ dla danych rzeczywistych 
$a_j$, $1\le j\le n$, 

\vskip 1pc

\ka jest dobrze uwarunkowane

\ka jest dobrze uwarunkowane gdy wszystkie liczby $a_j$ s/a dodatnie

\ka nigdy nie jest dobrze uwarunkowane

\vskip 4pc

{\bf 2.}\quad Pewne zadanie rozwi/azujemy u/zywaj/ac algorytmu, 
kt/ory jest numerycznie po\-pra\-wny. Wte\-dy b/l/ad wzgl/edny rozwi/azania

\vskip 1pc

\ka jest na poziomie b/l/edu wzgl/ednego reprezentacji danych

\ka mo/ze by/c dowolnie du/zy, nawet je/sli zadanie jest dobrze uwarunkowane

\ka jest na poziomie b/l/edu wzgl/ednego reprezentacji danych, gdy 
zadanie jest dobrze uwarunkowane

\vskip 4pc

{\bf 3.}\quad Uwarunkowanie $\mbox{cond}_\infty(A)$ macierzy 
\[
  A\;=\;\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 2 &amp; 1 \end{array}\right)
\]
w normie niesko/nczono/s/c wynosi

\vskip 1pc

\ka 16

\ka 9

\ka 4

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 4.}\quad W wyniku zastosowania eliminacji Gaussa 
z wyborem elementu g/l/ownego w kolumnie do macierzy 
z zadania {\bf 3} dostajemy rozk/lad $PA=LR$, gdzie

\vskip 1pc

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 2 &amp; 0\end{array}\right),\quad
      P=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{array}\right).
    \]

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0,5 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      P=\left(\begin{array}{cc} 2 &amp; 1 \\ 0 &amp; -0,5\end{array}\right).
    \]

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0,5 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      P=\left(\begin{array}{cc} 2 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0,5\end{array}\right).
    \]

\vskip 4pc

{\bf 5.}\quad Dla wielomianu $w(x)=x^3+x^2+x+1$ r/o/znica dzielona
$w(1,1,1,2)$ wynosi

\vskip 1pc

\ka  0

\ka  1

\ka -3 

\vskip 4pc

{\bf 6.}\quad Niech $f(x)=x^{n+1}+\sum_{j=0}^{n}a_jx^j$. Wtedy 

\vskip 1pc

\ka $f(x)-(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$ jest wielomianem stopnia 
   co najwy/zej $n$ interpoluj/acym $f$ w punktach $x_0,\ldots,x_n$

\ka maksymalny b/l/ad interpolacji funkcji $f$ na przedziale $[-1,1]$
   opartej na dowolnych $n+1$ w/ez/lach wynosi co najmniej $2^{-n}$

\ka w/ez/ly $x_0,x_1,\ldots,x_n$ mo/zna dobra/c tak, /ze b/l/ad
   interpolacji dla $f$ opartej na tych w/ez/lach na przedziale $[0,2]$
   jest ograniczony z g/ory przez $2^{-n}$.

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 7}\quad Kwadratura $Q(f)=a_0f(x_0)+a_1f(x_1)$ przybli/zaj/aca 
ca/lk/e $\int_0^2f(x)dx$ jest kwadratur/a interpolacyjn/a je/sli

\vskip 1pc

\ka $a_0=a_1=1$, $0\le x_0\le 2$, $x_1=2-x_0$

\ka $a_0=a_1=1//2$, $x_0=0$, $x_1=2$

\ka $a_0=2//3$, $a_1=4//3$, $x_0=0$, $x_1=3//2$

\vskip 4pc

{\bf 8.}\quad Z/lo/zon/a kwadratur/e trapez/ow $T_k$
z r/ownomiernym podzia/lem na $k$ podprzedzia/l/ow stosujemy
do przybli/zenia ca/lki $I=\int_0^{12}\, x^2//2+3x-2//3\,dx$. Wtedy,

\vskip 1pc

\ka  dla $k=10^3$ b/l/ad $I-T_k=-10^{-4}$

\ka  je/sli b/l/ad $|I-T_k|\le 10^{-4}$ to $k\ge 1200$

\ka  b/l/ad nie zmieni si/e gdy przedzia/l ca/lkowania 
     $[0,12]$ zamienimy na $[121,133]$

\vskip 4pc

{\bf 9.}\quad Niech $Q$ b/edzie kwadratur/a opart/a
na $n$ w/ez/lach. Je/sli

\vskip 1pc

\ka $Q$ jest interpolacyjna i $\mbox{rz/ad}(Q)=12$
   to $6\le n\le 13$

\ka $Q$ nie jest kwadratur/a interpolacyjn/a to $\mbox{rz/ad}(Q)$
   nie przekracza $n-1$

\ka $Q$ jest kwadratur/a Gaussa to $\mbox{rz/ad}(Q)=2n+2$

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 10.}\quad Kwadratur/e postaci $Q(f)=a_0f(x_0)$ zastowano
do przybli/zenia ca/lki z wag/a $I(f)=\int_0^1x^2f(x)dx$.
Kwadratura $Q$

\vskip 1pc

\ka jest kwadratur/a Gaussa je/sli $a_0=1//3$ i $x_0=3//4$

\ka jest kwadratur/a Gaussa je/sli $a_0=1$ i $x_0=1//2$

\ka nie jest dok/ladna dla $f(x)=x^2$ je/sli $x_0\ne 3//4$

\vskip 4pc

{\bf 11.}\quad Metod/e iteracji prostej $x_n=f(x_{n-1})$ zastosowano 
do rozwi/azania r/ownania $x=f(x)$ z punktem startowym $x_0=0$. Je/sli
$f$ jest funkcj/a liniow/a ze wsp/o/lczynnikiem kierunkowym $a\ne $ to
ci/ag $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ 

\vskip 1pc

\ka nie zawsze zbiega do rozwi/azania gdy $-1&lt;a&lt;0$

\ka jest naprzemienny gdy $a&lt;0$

\ka mo/ze zbiega/c do rozwi/azania nawet gdy $a&lt;-1$

\vskip 4pc

{\bf 12.}\quad Do znalezienia odwrotno/sci $1//a$ liczby dodatniej $a$ 
zastosowano iteracyjn/a metod/e Newtona (stycznych) z $f(x)=a-1//x$.
Wtedy ci/ag kolejnych przybli/ze/n

\vskip 1pc

\ka dany jest wzorem $x_{n+1}=x_n(2-a x_n)$

\ka zbiega do rozwi/azania dla dowolnego przybli/zenia pocz/atkowego 
     $0&lt;x_0\le 1//a$

\ka zbiega do rozwi/azania dla dowolnego przybli/zenia pocz/atkowego
     $0&lt;x_0&lt;2//a$ 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
{\large\bf Test Egzaminacyjny z Metod Numerycznych na ZSI}\\
2 wrze/snia 2003
\end{center}

\vskip 3pc

Prawid/lowe odpowiedzi zaznaczamy pisz/ac TAK, a nieprawid/lowe 
pisz/ac NIE, z lewej strony odpowiedzi.

UWAGA: Poszczeg/olne pytania mog/a mie/c od zera do trzech 
prawid/lowych odpowiedzi.

\vskip 4pc

{\bf 1.}\quad 
Zadanie obliczania sumy $\sum_{j=1}^n a_j^2$ dla danych rzeczywistych 
$a_j$, $1\le j\le n$, 

\vskip 1pc

\ka jest dobrze uwarunkowane

\ka jest dobrze uwarunkowane gdy wszystkie liczby $a_j$ maj/a
    ten sam rz/ad wielko/sci

\ka nie zawsze jest dobrze uwarunkowane

\vskip 4pc

{\bf 2.}\quad Pewne zadanie dobrze uwarunkowane rozwi/azujemy u/zywaj/ac 
pewnego algorytmu. Wte\-dy b/l/ad wzgl/edny rozwi/azania

\vskip 1pc

\ka jest na poziomie b/l/edu wzgl/ednego reprezentacji danych

\ka mo/ze by/c dowolnie du/zy, nawet je/sli algorytm jest numerycznie
    poprawny

\ka jest na poziomie b/l/edu wzgl/ednego reprezentacji danych, gdy 
    algorytm jest numerycznie poprawny

\vskip 4pc

{\bf 3.}\quad Uwarunkowanie $\mbox{cond}_1(A)$ macierzy 
\[
  A\;=\;\left(\begin{array}{cc} -1 &amp; 2 \\ 3 &amp; -6 \end{array}\right)
\]
w normie pierwszej wynosi

\vskip 1pc

\ka 8

\ka 9

\ka nie jest okre/slone

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 4.}\quad W wyniku zastosowania eliminacji Gaussa 
z wyborem elementu g/l/ownego w kolumnie do macierzy 
\[
  A\;=\;\left(\begin{array}{cc} 2 &amp; 0 \\ 8 &amp; 16 \end{array}\right)
\]
otrzymujemy rozk/lad $PA=LR$ gdzie

\vskip 1pc

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 4 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      R=\left(\begin{array}{cc} 2 &amp; 0 \\ 0 &amp; 16\end{array}\right).
    \]

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 1//4 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      R=\left(\begin{array}{cc} 8 &amp; 16 \\ 0 &amp; -4\end{array}\right).
    \]

\ka \[
      P=\left(\begin{array}{cc} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0\end{array}\right),\quad
      L=\left(\begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{array}\right),\quad
      R=\left(\begin{array}{cc} 8 &amp; 16 \\ 2 &amp; 0\end{array}\right).
    \]

\vskip 4pc

{\bf 5.}\quad Dla funkcji 
\[
  f(x)\;=\;\left\{\,\begin{array}{ll}
             x^5+x^4-3 x^3+2 &amp;\quad x\le 0 \\
             x^3-16 x+2 &amp;\quad 0&lt;x&lt;4 \\
             2 &amp;\quad x\ge 4\end{array}\right\} 
\]
r/o/znica dzielona $w(1,2,2,4)$ wynosi

\vskip 1pc

\ka  6

\ka  1

\ka  nie jest okre/slona

\vskip 4pc

{\bf 6.}\quad Niech $f(x)=x^{n+1}+\sum_{j=0}^{n}a_jx^j$. Niech
$w_n$ b/edzie wielomianem stopnia $n$ interpoluj/acym $f$ 
w $(n+1)$ w/ez/lach-zerach wielomianu Czebyszewa $T_{n+1}$. 
Wtedy b/l/ad intepolacji $|f(x)-w_n(x)|$ 

\vskip 1pc

\ka jest ograniczony przez $2^{-n}$

\ka jest wi/ekszy od $2^{-n}$ dla $x&gt;1$

\ka jest ograniczony przez $2^{-(n+1)}$ dla $|x|\le 1$

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 7}\quad Kwadratura $Q(f)=f(1)+2 f(2)$ przybli/zaj/aca 
ca/lk/e $\int_a^bf(x)dx$ jest kwadratur/a interpolacyjn/a je/sli

\vskip 1pc

\ka $a=0$ i $b=3$

\ka $a=0$ i $b=\sqrt{10}$

\ka $a=1//6$ i $b=19//6$

\vskip 4pc

{\bf 8.}\quad Z/lo/zon/a kwadratur/e trapez/ow $T_k$
z r/ownomiernym podzia/lem na $100$ podprzedzia/l/ow zastosowano
do przybli/zenia ca/lki $I_H=\int_0^H\,x^2-x+1\,dx$. Wtedy
b/l/ad $|I_H-T_k|$

\vskip 1pc

\ka  jest r/owny $10^{-4}//6$ dla $H=1$

\ka  jest proporcjonalny do $H^3$

\ka  jest odwrotnie proporcjonalny do $k^2$ 

\vskip 4pc

{\bf 9.}\quad Niech $Q$ b/edzie kwadratur/a opart/a
na $n+1$ w/ez/lach. Je/sli

\vskip 1pc

\ka $Q$ jest interpolacyjna to jest dok/ladna dla $w(x)=x^{2n+1}$

\ka $Q$ nie jest kwadratur/a interpolacyjn/a to nie jest dok/ladna
    dla wszystkich wielomian/ow stopnia dok/ladnie $n+1$

\ka $Q$ jest kwadratur/a Gaussa to nie jest dok/ladna dla
    wszystkich wielomian/ow stopnia dok/ladnie $2n+2$

\newpage

\vskip 4pc

{\bf 10.}\quad Kwadratur/e postaci $Q(f)=a_0f(x_0)$ zastosowano
do przybli/zenia ca/lki z wag/a $I(f)=\int_0^1x^3f(x)dx$.
i$Q$ jest odpowiedni/a kwadratur/a Gaussa gdy

\vskip 1pc

\ka $a_0=1//4$ i $x_0=1//2$

\ka $a_0=1$ i $x_0=1//2$

\ka $a_0=1$ i $x_0=4//5$

\vskip 4pc

{\bf 11.}\quad Metod/e iteracji prostej $x_n=f(x_{n-1})$ zastosowano 
do rozwi/azania r/ownania $x=f(x)$ z punktem startowym $x_0=0$. Je/sli
$f(x)=ax+1$ ($a\ne 1$) to ci/ag $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ 

\vskip 1pc

\ka zbiega do rozwi/azania wtedy i tylko wtedy gdy $-1&lt;a&lt;1$

\ka nie jest malej/acy

\ka jest monotoniczny dla pewnego $a&lt;0$

\vskip 4pc

{\bf 12.}\quad Do znalezienia pierwiastka $a^{1//3}$ liczby dodatniej $a$ 
zastosowano iteracyjn/a metod/e Newtona (stycznych) z $f(x)=x^3-a$.
Wtedy ci/ag kolejnych przybli/ze/n

\vskip 1pc

\ka dany jest wzorem $x_{n+1}=(2x_n-ax_n^{-2})//3$

\ka zbiega do rozwi/azania dla dowolnego przybli/zenia pocz/atkowego 
     $x_0\ne 0$

\ka zbiega do rozwi/azania dla dowolnego przybli/zenia pocz/atkowego
     $x_0&gt;a^{1//3}$ 

\end{document}
</pre></body></html>