TWIERDZENIA BERNSTEIN’A , BOCHNER’A

Oznaczenia i Definicje: N oznacza zbior licz naturalnych (0 ∈ N), Z - liczb calkowitych, R -liczb rzeczywistych, C -liczb zespolonych. R^{+} - liczb rzeczywistych nieujemnych. J =: [0, 1), R_{0} =: R^{+} \ {0} oraz R̄^{+} =: R^{+} ∪ \{∞\}. We wszystkich wzorach i = \sqrt{−1}

1. Funkcja tworzaca miary μ na N nazywamy funkcje f(x) = ∑_{0}^{∞} μ({n})x^{n} okreslona na [0, 1].

2. Transformata Laplaca miary μ na R^{+} nazywamy funcje f(y) =: ∫_{0}^{∞} e^{−ixy}μ(dx) na R^{+}.

3. Funkcja g okreslona na grupie G o wartosciach zespolonych nazywa sie dodatnio okreslona jesli ∑_{k,l=1}^{n} f(x_{k} − x_{l})z_{k}z̄_{l} ≥ 0 dla dowlnego ciagu (x_{k})_{k=1}^{n} elementow G i ciagu liczb zespolonych (z_{k})_{k=1}^{n}.

C^{∞}(I) oznacza przestrzen linowa topologiczna wszystkich funkcji gladkich na przedziale I skonczonym lub nie. Topologie zadana jest przez ciag norm ||g||_{n} = sup_{0≤k≤n} sup_{x∈I_{n}} |g^{(k)}(x)|, gdzie I_{n} jest jakimkolwiek ciagiem coraz wiekszych zwartych podprzedzialow I ktore w sumie wypelniaja cale I. Ciag (f_{n}) funkcji z C^{∞}(I) jest zbiezny do f ∈ C^{∞}(I) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego k ∈ N ciag (f_{n}^{(k)}) - pochodnych rzedu k jest niemal jednostajnie na I zbiezny do f^{(k)} (niemal jednostajna zbieznosc to zbieznosc jednostajna na kazdym zbiorze zwartym).

Zbior funkcjonalow liniowych bedacymi ewaluacjami w punktach wymiernych z I jest przeliczalny i totalny dla C^{∞}(I).

Twierdzenia: Bernstein’a (1.2.), Bochner’a (3.)

1. Funkcja f : J → R jest funkcja tworzaca pewnego rozkladu probabilistycznego na N wtedy i tylko wtedy gdy a) f ∈ C^{∞}(J), b) f^{(n)}(x) ≥ 0, dla x ∈ J, n ∈ N oraz c) lim_{x→1−} f(x) = 1.

2. Funkcja f : R^{+} → R jest transformata Laplace’a pewnego rozkladu probabilistycznego μ na R^{+} wtedy i tylko wtedy gdy a) f ∈ C^{∞}([0, +∞)), b) (−1)^{n}f^{(n)}(x) ≥ 0, dla x ∈ [0, +∞) oraz c) lim_{x←0} f(x) = 1.

3. Funkcja f : R → R jest funkcja charakterystyczna rozkladu probabilistycznego na R wtedy i tylko wtedy gdy jest a) ciagla, b) dodatnio okreslona oraz c) f(0) = 1.

Dowod. Bez wiekszego trudu sprawdza sie koniecznosc podanych warunkow i dowod tego pomijamy. W przestrzeni liniowo topologicznej C^{∞}(J) definiujemy zbior K jako te wszystkie funkcje na I ktore

spelniaja warunki a), b) i c)- z ta roznica ze granica ktora tam wystepuje nie musi byc rowna 1 lecz ≤ 1. Zbior K jest wypukly i domkniety w C^{∞}(J) . Jest to oczywiste. Do dowodu zwartosci potrzebny jest nastepujacy wynik:

Lemat Jesli nieujemna funkcja g na [0, x_{0}) jest ograniczona przez c_{0} na tym przedziale i jej dwie pierwsze pochodne sa nieujemne wowczas pierwsza pochodna jest ograniczona przez c_{0}/(x_{0} − x_{1}) na przedziale [0, x_{1}) dla dowolnego 0 < x_{1} < x_{0}.

Dowod. Wobec tego ze pierwsza pochodna jest funkcja niemalejaca dla x ∈ [0, x_{1}) dostajemy f′(x) ≤ f′(x_{1}) ≤ ∫_{x_{1}}^{x_{0}} f′(y)dy/(x_{0} − x_{1}) = (f(x_{0}) − f(x_{1}))/(x_{0} − x_{1}) ≤ c_{0}/(x_{0} − x_{1}).

Z lematu tego wynika latwo ze sup_{x∈[0,r)} |f^{(n)}(x)| ≤ (n/(1−r))^{n} dla dowolnego 0 < r < 1 i f ∈ K. Stad wynika ze jesli I_{n} = [0, 1−1/n wowczas ||f||_{n} ≤ n^{2n} dla f ∈ K. W szczegolnosci dla kazdego k ∈ N pochodne rzedu k funkcji z K sa jednostajnie na K i na I_{n} ograniczone dla kazdego n ∈ N. Z Twierdzenie Ascoliego (z wykladu A.F 1) wynika ze jesli ciag funkcyjny i ciag jego pochodnych na zwartym przedziale jest jednostajnie ograniczony wowczas ciag ten zawiera podciag jednostajnie zbiezny na tym przedziale. Majac teraz dowolny ciag funkcji z K i stosujac powyzszy wniosek z Twierdzenia Ascoliego mozemy iterujac to dla kolejnych pochodnych a potem wybierajac podciag metoda diagonalna mozna wybrac podciag poczatkowego ciagu ktorego pochodne rzedu k sa jednostajnie zbiezna na przedziale I_{n} dla kazdego k ∈ N. Iterujac jeszcze raz procedure wybierania podciagow i stosujac metode diagonalna dostajemy podciag ktorych ciag pochodnych rzedu k ∈ N jest jednostajnie zbiezny na I_{n} dla dowolnego k, n ∈ N. Tak wiec podciag ten jest zbiezny w C^{∞}. Lacznie z domknietoscia K dowodzi to zwartosci tego zbioru.

Pokazemy teraz, ze punktami ekstremalnymi tego zbiory sa funkcje f(x) = x^{n} dla pewnego n ∈ N lub f ≡ 0. Niech f bedzie elementem ekstremalnym zbioru K i y ∈ J ustalona liczba, wowczas funkcje g(x) = f(x)(1 + f(y)) − f(xy), h(x) = f(x)(1 − f(y)) + f(xy) sa w K co sprawdzamy bezposrednio i latwo a takze ze f(x) = (g(x) + h(x))/2. Poniewaz f jest ekstremalnym punktem zbirou K wiec g = f co daje ze f(xy) = f(x)f(y) dla dowolnych x, y ∈ J. Wobec ciaglosci f na J wnioskujemy stad, ze f(x) = x^{α} dla pewnego α ∈ R lub f(x) ≡ 0. Poniewaz kazda pochodna funkcji z K jest nieujemna wiec α = n dla pewnego n ∈ N. Na mocy Twierdzenia Choqueta dla dowolnego elemetu f ∈ K istnieje rozklad, probabilistyczny μ na Ext(K) taki ze f = b(μ). Zbior Ext(K) jest przeliczalnym. Wiec dla ciagu (p(n)) = (μ({x^{n}}), n = 0, 1, ..., ∞ otrzymujemy f(x) = ∑_{n} p_{n}x^{n} dla kazdego x ∈ I. Sprawdzamy latwo ze f spelnia warunek c) wtedy i tylko wtedy gdy μ({x^{∞})}) = 0 Konczy to dowod czesci 1.

2. Dowod w przypadku 2. jest bardzo podobny do poprzedniego. Rozwazamy przestrzen C^{∞}(R_{0}). W przestrzeni tej rozpatrujemy zbior K skladajacych sie z tych funkcji ktore spelniaja a),b) i c) z tym ze granica wystepujaca w tym warunku nie musi byc 1 lecz ≤ 1. Zbior K jest wypukly i domkniety co wynika szybko z definicji. Do dowodu zwarotsci potrzebny jest lemat:

Lemat Jesli g spelnia warunek a) i b) oraz g^{(k)} jest na [x_{k}, ∞) ograniczona co do modulu przez c_{k}, wowczas dla dowolnego x_{k} < x_{k+1} funkcja g^{(k+1)} jest ograniczona na [x_{k+1}, ∞), przez c_{k}/(x_{k} − x_{k+1}).

Dowod. Dla x > x_{k+1} zachodza nierownosci

|g^{(k+1)}(x)| ≤ |g^{(k+1)}(x_{k+1})| | ∫_{x_{k}}^{x_{k+1}} g^{(k+1)}(s)ds/(x_{k+1} − x_{k})| = |g^{(k)}(x_{k+1}) − g^{(k)}(x_{k})|/(x_{k+1} − x_{k}) ≤ c_{k}/(x_{k+1} − x_{k}).

Z lematu otrzymujemy latwo ze jesli polozymy I_{n} = [1/n, n] wowczas ||f||_{n} ≤ n^{2n} dla f ∈ K. Dalszy ciag dowodu zwartosci zbioru K jest identyczny jak w przypadku 1.

Pokazemy ze punktami ekstremalnymi zbioru K sa funkcje f_{λ}(x) = e^{−λx} gdzie λ ∈ R̄^{+}, f_{∞} ≡ 0. Dowodzimy to bardzo podobnie jak poprzednio. Dla ustalonego y ∈ R_{0} bierzemy funkcje z K:

g(x) = f(x)(1 − f(y)) + f(x + y), h(x) = f(x)(1 + f(y)) − f(x + y).

Poniewaz f = (g + h)/2 a wiec dla funkcji ekstremalnej f dostajemy ze f ≡ g co jest rownowazne rownaniu f(x + y) = f(x)f(y) . Tak wiec pokazalismy ze jesli f ekstremalna wowczas rownanie to jest spelnione dla dowlnych x, y ∈ R_{0}. Z rownania tego i z faktu ze f spelnia a),b), c) wnioskujemy latwo ze f = f_{λ} dla pewnego λ ∈ R̄^{+}. Tak wiec mamy odwzorownie T : Ext(K) → R̄^{+} . Przeksztalcenie R : R̄_{0}^{+} → K zadane wzorem R(λ) = f_{λ} widzimy ze RT = Id. Ponadto R jest ciaglym i jednoznacznym odwzorowaniem zbioru zwartego R̄_{0}^{+} w K a wiec i homeomorfizmem.

Niech teraz f bedzie dowolna funkcja spelniajaca a),b),c). Na mocy twierdzenia Choqueta istnieje miara borelowska μ na Ext(K) taka ze f = b(μ). Stad biorac miare μ̄ = T (μ) na R̄^{+} (tzn dostajemy ze μ̄(A) = μ(T^{−1}(A)) = μ(R(A))) otrzymujemy ze f(x) = ∫_{Ext(K)} g(x)μ̄(dg) = ∫R̄^{+} e^{−yx}μ̄(dy) = ∫_{R^{+}} e^{−yx}μ̄(dy). Rownosc druga wynika z definicji obrazu miary przez odwzorowanie borelowski a ostantnia z faktu ze μ̄({∞}) = 0 gdzyz w przeciwnym wypadku f nie spelnialaby warunku c). Co konczy dowod 2.

Dowod 3. Udowodnimy najpierw ze jesli ci (f(k)), k ∈ Z jest dodatnio okreslony i f(0) = 1 wowczas istnieje miara probabilistyczna μ na [−π, π] taka ze f(k) = ∫_{−π}^{π} e^{ikt}μ(dt) dla wszystkich k ∈ Z.

Posluzymy sie twierdzeniem Choquet’a. Niech C^{Z} bedzie przestrzenia liniowo topologiczna wszystkich ciagow indeksowanymi liczbami calkowitymi o wartosciach zespolonych i z toplogia zbieznosci punktowej. Za K wezmy zbior wszystkich tych ciagow ktore sa nieujemnie okreslone i ktore w zerze sa rowna 1. Jak latwo widziec jest to zbior wypukly i domkniety. Z definicji funkcja f : G → G jest dodatnio okeslona wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolego skonczonego ciagu (g_{l}) elementow grupy G macierz (a_{l,k}) = (f(g_{l} − g_{k}) jest macierza nieujemnie okreslona nad cialem liczb zespolnych. Z ogolnych wlasnosci macierzy nieujemnie okreslonych wiadomo ze dla takich macierzy zachodzi a_{k,l} = ā_{l,k} oraz ze |a_{k,l}|^{2} ≤ a_{k,k}a_{l,l} dla dowolnych k, l ( co dowodzi sie bardzo latwo) Tak wiec dla funkcji f dodatnio okreslonych na Z dostajemy ze f(−k) = f̄(k) oraz |f(k)| ≤ |f(0)| dla dowlnego k ∈ Z. Z tych rozwazan wnosimy ze zbior K jest podzbiorem zbioru D^{Z} , gdzie D jest zbiorem liczb zespolonych o module nie wiekszym niz 1. Zbior D jest zwarty a wiec z twierdzenia Tychonwa) D^{Z} tez a stad i K jest zbiorem zwartym.

Zajmiemy sie teraz punktami ekstremalnymi zbioru K. Przedtym jeszcze jedna ogolne spostrzezenia o funkcjach dodatnio okreslonych na grupach. Pokazemy ze jesli f : G → C jest taka funkcja wowczas dla dowolnego elementu a ∈ G funkcje f_{1}(x) = 2f(x) + f(x + a) + f(x − a) oraz f_{2}(x) = 2f(x) − f(x + a) − f(x − a) sa rowniez dodatnio okreslone na G. Wynika to stad ze ∑_{k,l=1}^{n} f_{1}(x_{k} − x_{l})z_{k}z̄_{l} = ∑_{k,l=1}^{2n} f(y_{k} − y_{l})w_{k}w̄_{l} gdzie ciag (y_{k}) jest ciagiem (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x_{1} + a, x_{2} + a, …, x_{n} + a) a ciag (w_{k}) jest ciagiem (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}, z_{1}, z_{2}, …, z_{n}). W przypadku f_{2} jest tak samo z ta roznica ze za ciag (w_{k}) nalezy wziasc (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}, −z_{1}, −z_{2}, …, −z_{n}).

Jak wykazalismy dla funkcji dodatnio okreslonych f zachodzi f(−x) = f̄(x) oraz |f(x)| ≤ |f(0)|. Stad wynka ze f_{1}(0), f_{2}(0) sa liczbami nieujemnymi. Jesli sa to liczby dodatnie wowczas g_{1} = f_{1}(0)^{−1}f_{1}, g_{2} = f_{2}(0)^{−1}f_{2} sa dodatnio okreslone i na dodatek w zerze sa rowna 1. Dodatkowo mamy ze f = f_{1}(0)/4g_{1} + f_{2}(0)/4g_{2} oraz f_{1}(0)/4 + f_{2}(0)/4 = f(0). Tak wiec jesli f jest punktem ekstremalnym zbioru K wowczas f = g_{1}. Wynika stad ze f(x)(f(−a)+f(a)) = f(x+a)+f(x−a) dla x ∈ Z. Jesli natomiast f_{1}(0) = 0 wowczas wobec tego ze f_{1} jest dodatnio okreslona mamy ze f_{1} ≡ 0 (patrz kilka linii wyzej). A to znowu ozancza ze spelniona jest ostatnia rownosc. Podobnie jesli f_{2}(0) = 0 Tak wiec jesli f jest punktem ekstremalnym K dla wszystkich x, y ∈ Z f(x)(f(y) + f(−y)) = f(x + y) + f(x − y). Zamieniajac w tej rownosc rolami x z y i odejmujac te dwie rownosci stronami wyliczamy ze Im(f(x)f(−y)) = Im(f(x−y)) (skorzystalismy jeszcze z uprzednio wspomianej wlasnosci funkcji dodatnio okreslonych ze f(−a) = f̄(a)). Jak latwo widziec funkcja f jest dodatnio okreslona to dla dowolnego t ∈ funkcja f_{t}(x) = e^{itx}f(x) jest tez taka. Ponadto jesli f jest punktem ekstremalnym K wowczas f_{t} tez jest. Stad jesli zastosujemy poprzednio udowodnina rownosc do f_{t} to dostajemy ze rowniez Im(e^{it(x−y)}f(x)f(−y)) = Im(e^{it(x−y)}(f(x − y)). Biorac t = 1/(y − x) dostajemy ze Re(f(x)f(−y)) = Re(f(x − y). Lacznie z poprzednia rownoscia daje to ze punkty ekstremalne K spelniaja rownanie f(x − y) = f(x)f(−y) dla wszystkich x, y ∈ Z. Dlatego f(x) = f(1)^{x}. Poniewaz wartosci f co do modulu nie przekraczaja 1 wiec f(1) = e^{it} dla pewnego t ∈ [−π, π) oraz f(x) =: u_{t}(x) = e^{itx}. Wykazalismy wiec ze przeksztalcenie T : [−π, π) → K zadane przez T (t) = u_{t} w obrazie zawiera Ext(K) a ponadto oczywiscie jest ciagle, wzajemnie jednoznaczne i jak stad latwo wywnioskowac ze odwrotne jest borelowskie. Dlatego dla kazdej miary borelowskiej μ na Ext(K) miara μ̄ na [−π, π) zadana wzorem μ̄(A) = μ(T (A)) jest dobrze okreslona. Z twierdzenia Choqueta dla dowolnej funkcji f z K istnieje miara μ na Ext(K) taka ze f = b(μ). Biorac teraz miare μ̄ dostajemy ze f(k) = ∫_{−π}^{π} e^{ikt}μ(dt) dla wszystkich k ∈ Z. Co daje reprezentacje o jaka nam chodzilo.

Przejdzmy teraz do funkcji dodatnio okreslonych na R, ciaglych i takich ze f(0) = 0. Dla kazdego K > 0 ciag na (f(\frac{k}{K})) jest dodatnio okreslony na Z, w zerze rowny 1. Na mocy udowdnionego stwierdzenia wiemy ze f(\frac{k}{K}) = ∫_{−π}^{π} e^{ikt}μ̄_{K}(dt) dla pewnej miary μ̄_{K} na [−π, π) dla wszystkich k ∈ Z . Biorac miare μ_{K} zadana wzorem μ(A) = μ̄(A/K) dostajemy miare o nosniku w [−πK, πK] i taka ze f(x) = ∫_{R} e^{ixt}μ_{K}(dt) dla wszystich x ∈ Z/K. Dla zadanego ϵ > 0 i K > 0 niech L bedzie liczba naturalna taka ze L/K ≤ δ < (L + 1)/K, gdzie δ > 0 jest takie, ze |1 − f(x)| < ϵ dla |x| < δ. Latwe rachunki daja ze

ϵ > \frac{1}{2L + 1} ∑_{k=−L}^{L}(1 − f(\frac{k}{K})) = ∫_{R}(1 − \frac{1}{2L + 1} ∑_{k=−L}^{L} e^{itk/K})μ_{K}(dt) = ∫_{R}(1 − \frac{sin(t\frac{2L+1}{2K})}{(2L + 1) sin(t/2K)})μ_{K}(dt).

Poniewaz x/ sin x ≤ π/2 dla |x| ≤ π/2 a nosnik miary μ_{K} jest zawarty w przedziale [−πK, πK] wiec na nosniku tej miary mamy nierownosc \frac{t/2K}{sin(t/2K)} ≤ π/2. A stad na nosniku miary dla funkcji podcalkowej mamy

1 − \frac{sin(t\frac{2L+1}{2K})}{(2L + 1) sin(t/2K)} = 1 − \frac{sin(t(L + 1/2)/K}{(L + 1/2)t/K} \frac{t/2K}{sin(t/2K)} ≥ 1 − \frac{π}{2} \frac{K}{(L + 1/2)t} > 1/2

jesli tylko |t| > πK/(L + 1/2) co zachodzi jesli |t| > 2π/δ. Poniewaz funkcja podcalkowa jest nieujemna, gdyz Poniewaz −1 ≤ f(x) + f(−x) ≤ 2 dla x ∈ R wiec funkcja podcalka jest nieujemna. Wiec dostajemy stad ze ostatnia calka jest ograniczona z dolu przez \frac{1}{2}μ_{K}(\{t : |t| > 2π/δ\}). Tak wiec pokazalismy ze μ_{K}(\{t : |t| > 2π/δ}) < 2ϵ A to pokazuje ze zbior miar μ_{K}, K > 0 jest zwarty w slabej zbieznosci miar (spelniony jest warunek na jednostajna ciasnosc). Tak wiec gdy wezmiemy ciag miar μ_{2^{n}} wowoczas mozna wybrac z niego podciag slabo zbiezny do jakiegos rozkladu na prostej μ . A wiec ciag funkcji charakterystycznych miar z podciagu μ_{2^{n}} jest zbiezny do funkcji charakterystycznej miary μ Ale poniewaz ∫_{R} e^{itx}μ_{2^{n}}(dt) = f(x) dla kazdej liczby x postaci k/2^{l} dla n ≥ l wiec dla takich liczb funkcja charakterystyczna miary μ pokrywaja sie z funkcja f . A wiec pokrywaja sie wszedzie gdyz obie sa ciagle. KONIEC!!!