TWIERDZENIA CHOQUET’A

Twierdzenie. Niech K bedzie zbiorem zwartym, wypuklym w przestrzeni liniowej topologicznej X, takim ze istnieje ciag (f_{k}) ⊂ X′ totalny dla K. Wowczas zbiór Ext(K) jest podzbiorem borelowskim K i dla dowolnego a ∈ K istnieje miara probabilistyczna ν, orkeslona na borelowskich podzbiorach K, taka ze ν(Ext(K)) = 1 oraz b(ν) =: ∫_{K} xν(dx) = a.

Uwaga: Ostatnia calke (rownosc) nalezy rozumiec w nastepujacym sensie (Riemana) : dla dowolnego otoczenia zera U w X istnieje otoczenie zera V takie ze jesli tylko (A_{i})_{i∈I} skonczone, borelowskie rozbicie K, (tzn zbiory te sa rozlaczne i w sumie daja cale K), takie ze A_{i} − A_{i} ⊂ V oraz jesli x_{i} ∈ A_{i} dla i ∈ I wowczas ∑_{i∈I} x_{i}ν(A_{i}) − a ∈ U.

Dowod. Bez straty ogolnosci mozemy zalozyc ze sup_{x∈K} |f_{k}(x)| < 1/k. Funkcja ∥.∥ dana wzorem

||x|| =: (∑_{k} f_{k}^{2}(x))^{1/2} jest dobrze okreslona na L =: {x ∈ X : ∑_{k} f_{k}^{2}(x) < ∞}. Jak latwo sprawdzic L jest przestrzenia liniowa, zas ||.|| jest norma̧ na L. Poniewaz ∥.∥ jest ciagla na K w jej orginalnej topologii (jako szereg jednostajnie zbiezny funkcji ciaglych), wiec topologia na K zadana przez metryke d(x, y) =: ||x − y|| jest slabsza niz orginalna z X. A poniewaz K jest zwartym zbiorem w orginalnej topologii wiec topologie te sa identyczne. Wprowadzenie normy ||.|| jest bardzo pomocne dla dowodu. Pozwala tez na nieznaczne uproszczenie definicji b(ν) =: ∫_{K} xν(dx) dla ν ∈ P(K), gdzie P(K) rodzina miar probabilistycznych okreslonych na borelowskich podzbiorach K. Poniewaz orginalna topologia na K jest rownowazna z topologia zadana przez d definicje calki mozemy przeformulowac nastepujaca : b(ν) =: ∫_{K} xν(dx) = a jesli dla dowolnego ϵ > 0 istnieje δ > 0 taka ze jesli tylko (A_{i})_{i∈I} skonczone, borelowskie rozbicie K takie ze D(A_{i}) < δ, gdzie D(A) =: sup d(x, y) : x, y ∈ A- srednica zbioru A, oraz jesli x_{i} ∈ A_{i} wowczas || ∑_{i∈I} x_{i}ν(A_{i}) − a|| < ϵ. Z definicji tej latwo pokazujemy ze b(ν) jest dobrze okreslona. W tym celu wystrczy pokazac ze jesli (A_{i}^{n})_{i∈I_{n}} jest ciagiem skonczonych borelowskich rozbic K takim ze lim_{n→∞} max_{i∈I_{n}} D(A_{i}^{n}) = 0 wowczas ciag a_{n} =: ∑_{i∈I_{n}} x_{i}^{n}μ(A_{i}^{n}),

n = 1, … jest zbiezny. Kazdy wektor a_{n} jest wypukla kombinacja elementow z K wiec a_{n} ∈ K. Poniewaz K jest zwarty wiec jest i zupelny. Wystarczy wiec pokazac ze ciag (a_{n}) spelnia warunek Cauchego. Jesli (B_{j})_{j∈J} jest skonczonym, borelowskim rozbiciem, drobniejszym niz (A_{i}^{n})_{i∈I_{n}}, (co oznacza ze kazdy A_{i}^{n} jest suma zbiorow z podrodziny (B_{j})_{j∈J}), oraz y_{j} ∈ B_{j} dla j ∈ J wowczas dla b =: ∑_{j∈J} y_{j}μ(B_{j}) zachodzi

||a_{n} − b|| = || ∑_{i∈I_{n}} x_{i}^{n}μ(A_{i}^{n}) − ∑_{j∈J} y_{j}μ(B_{j})|| = || ∑_{i∈I_{n}} ∑_{j:B_{j}⊂A_{i}^{n}}(x_{i}^{n} − y_{j})μ(B_{j})||

≤ (max_{i∈I_{n}} max_{j:B_{j}⊂A_{i}^{n}}||x_{i}^{n} − y_{j}||) ∑_{i∈I_{n}} ∑_{j:B_{j}⊂A_{i}^{n}} μ(B_{j}) ≤ max_{i∈I_{n}}D(A_{i}^{n}).

Jesli (B_{j})_{j∈J} jest dodatkowo drobniejszym niz (A_{i}^{m})_{i∈I_{m}} wtedy z powyzszego otrzymujemy ze

||a_{n} − a_{m}|| ≤ ||a_{n} − b|| + ||a_{m} − b|| ≤ max_{i∈I_{n}}D(A_{i}^{n}) + max_{i∈I_{m}}D(A_{i}^{m}).

Dowodzi to ze ciag (a_{n}) jest ciagiem Cauchego.

Fakt 1. Jeszcze prosciej pokazuje sie ze jesli g jest funkcja ciagla na K (ozn. g ∈ C(K)) wowczas ∫_{K} g(x)μ(dx) = lim_{n→∞} ∑_{i∈I_{n}} g(x_{i})μ(A_{i}^{n}), gdzie (A_{i}^{n})_{i∈I_{n}} oraz (x_{i})_{i∈I_{n}} sa jak poprzednio.

Takze ze dla dowlnego f ∈ X′ i μ ∈ P(K) zachodzi f(b(μ)) = ∫_{K} f(x)μ(dx).

Wykazemy teraz pierwsze stwierdzenie tezy twierdzenia. Zauwazmy ze x ∉ Ext(K) wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego naturalnego n istnieja wektory y, z ∈ K takie ze z = \frac{y+z}{2} oraz ||y − z|| ≥ 1/n. Tak wiec K \ Ext(K) = ⋃_{n} C_{n} gdzie C_{n} = S(K_{n}) , K_{n} = {(y, z) ∈ K × K : ||y − z|| ≥ 1/n\} zas S(y, z) =: \frac{y+z}{2} . Ale K_{n} jest zwartym podzbiorem X × X, a S jest ciaglym odwzorowaniem wiec C_{n} = S(K_{n}) jest zwartym podzbiorem K. Stad wnosimy ze K \ Ext(K) jest σ-zwartym zas Ext(K) zbiorem G_{δ} a wiec i borelowskim.

Zbior P(K) ekwipujemy w topologie slabej zbieznosci (stara znajoma z kursu probabilistyki), tzn dla ciagu (μ_{n}), n = 1, … miar z P(K) powiemy ze μ_{n} →_{sl} μ jesli ∫_{K} g(x)μ_{n}(dx) → ∫_{K} g(x)μ(dx)

dla dowolnej g ∈ C(K). Topologia ta jest metryzowalna i P(K) jest w niej zwarty. Wynika to z Twierdzenia Algolu z Analizy Funkcjonalnej I mowiace ze kula jednostkowa przestrzeni sprzezonej X′ do osrodkowej przestrzeni Banacha X jest w topologi w∗ (slabej wstecz) zwarta i metryzowalna. Stosujemy to do X = C(K) wowczas kula jednostkowa z X′ jest identyczna z miarami borelowskimi na K o wariacji nie wiekszej niz 1, ktorej P(K) jest w^{∗} domknietym podzbiorem.

Fakt 2. Jesli μ_{n} →_{sl} μ wowczas b(μ_{n}) → b(μ) w K. Rzeczywiscie z drugiego stwierdzenia Faktu 1 formuly w i z definicji slabej zbieznosci miar wynika ze dla dowolnego f ∈ X′ zachodzi f(e) = f(b(μ)) jesli tylko e jest granica w K ciagu (b(μ_{n})) . Z totalnosci X′ dla K dostajemy ze e = b(μ). A stad i ze zwartosci K wnioskujemy ze ciag (b(μ_{n})) jest zbiezny do b(μ). Jako latwa konsekwencje otrzymujemy

Fakt 3 Dla dowolnego a ∈ K zbior P_{a}(K) =: {μ ∈ P(K) : b(μ) = a} jest zwartym podzbiorem P(K).

Jestesmy wreszcie gotowi podac konstrukcje miary ν o jaka chodzi w tezie Twierdzenia. Mianowicie za ν bierzemy miare z P_{a}(K) taka ze ∫_{K} ||x||^{2}ν(dx) = sup_{μ∈P_{a}(K)} ∫_{K} ||x||^{2}μ(dx). Taka miara istnieje gdyz funkcja H : P_{a}(K) → R dana wzorem H(μ) =: ∫_{K} ||x||^{2}μ(dx) jest ciagla na zwartym zbiorze P_{a}(K). Pozostaje pokazac ze ν(Ext(K)) = 1. Zalozmy ze tak nie jest. Wowczas ν(C_{ϵ}) > δ dla pewnego ϵ, δ > 0, gdzie C_{ϵ} = \{x ∈ K : x = \frac{y+z}{2} dla pewnych y, z ∈ K takich ze ||y − z|| ≥ ϵ} (porownaj z dowodem faktu ze Exp(K) jest borelowskim zbiorem).

Niech (A_{i}^{n})_{i∈I_{n}}, (x_{i}^{n})_{i∈I_{n}} beda ciagami jak w definicji b(ν). Dodatkowo zalozmy ze ciag rozbic (A_{i}^{n})_{i∈I_{n}} jest drobniejszy niz rozbicie (C_{ϵ}, K \ C_{ϵ}). Definiujemy dwa ciagi miar z P(K)

ν_{n} =: ∑_{i∈I_{n}} δ_{x_{i}^{n}}ν(A_{i}^{n}),

gdzie jak zwykle δ_{x} oznacza miare Diraca w x. Oraz

ν̃_{n} = ∑_{i:A_{i}^{n}⊂K\C_{ϵ}} δ_{x_{i}^{n}}ν(A_{i}^{n}) + ∑_{i:A_{i}^{n}⊂C_{ϵ}} \frac{δ_{y_{i}^{n}} + δ_{z_{i}^{n}}}{2} ν(A_{i}^{n}),

gdzie dla kazdego i takiego ze A_{i}^{n} ⊂ C_{ϵ} wektory y_{i}^{n}, z_{i}^{n} ∈ K sa tak dobrane by x_{i}^{n} = \frac{y_{i}^{n}+z_{i}^{n}}{2} oraz ||y_{i}^{n} − z_{i}^{n}|| ≥ ϵ, co jest mozliwe gdyz x_{i}^{n} ∈ C_{ϵ}. Sprawdzamy natychmiast ze b(ν_{n}) = b(ν̃_{n}). Z pierwszego stwierdzenia Faktu 1 wnosimy ze ν_{n} →_{sl} ν.

Stad i z Faktu 2 wynika ze b(ν̃_{n}) → b(ν) = a. Korzystajac ze zwartosci P(K) i wybierajac podciag mozemy zalozyc ze ν̃_{n} →_{sl} ν̃ dla pewnej miary ν̃ ∈ P(K). Fakt 2 i poprzednia rownosc daja ze

b(ν̃) = a, czyli ν̃ ∈ P_{a}(K). Z drugiej strony

H(ν̃_{n}) − H(ν_{n}) = ∑_{i:A_{i}^{n}⊂C_{ϵ}}(\frac{||y_{i}^{n}||^{2} + ||z_{i}^{n}||^{2}}{2} − ||x_{i}^{n}||^{2})ν(A_{i}^{n}).

Poniewaz

\frac{||y_{i}^{n}||^{2} + ||z_{i}^{n}||^{2}}{2} − ||x_{i}^{n}||^{2} = \frac{||y_{i}^{n}||^{2} + ||z_{i}^{n}||^{2}}{2} − ||\frac{y_{i}^{n} + z_{i}^{n}}{2} ||^{2} = ||\frac{y_{i}^{n} − z_{i}^{n}}{2} ||^{2} ≥ ϵ^{2}/4,

co ma miejsce gdyz dla dowolnych f ∈ X′ i wektrow y, z ∈ X jest \frac{f(y)^{2}+f(z)^{2}}{2} −f(\frac{y+z}{2} )^{2} = f(\frac{y−z}{2} )^{2}, wiec dostajemy ze

H(ν̃_{n}) − H(ν_{n}) ≥ ϵ^{2}/4 ∑_{i:A_{i}^{n}⊂C_{ϵ}} ν(A_{i}^{n}) = ϵ^{2}/4μ(C_{ϵ}) ≥ ϵ^{2}/4δ.

Przechodzac do granicy z n w ostatniej nierownosci i korzystajac z ciaglosci H na P(K) otrzymujemy H(ν̃) ≥ H(ν) + ϵ^{2}/4δ co daje sprzecznosc z wyborem ν jako maksyamlizujace H(μ) na zbiorze P_{a}(K).

Koniec! Uff!!