Zaawansowane narzędzia geometrii algebraicznej, semestr letni 2021/22

semestr letni 2021/22, poniedziałki 14:15 -- 17:45, 5870.

Usoswebowa strona

Zadania domowe, jak zwykle, do zadeklarowania na ćwiczeniach i rozwiązywania przy tablicy.

Listy zadań domowych

Seria I, na poniedziałek 28.02.
Seria II, na poniedziałek 7.03.
Seria III, na poniedziałek 14.03.
Seria IV, na poniedziałek 21.03.
Seria V, na poniedziałek 4.04.
Seria VI, na poniedziałek 11.04.
Seria VII, na wtorek 26.04.
Seria VIII, na poniedziałek 9.05.
Seria IX, na poniedziałek 16.05.

Propozycje referatów na ćwiczenia

W nawiasach użyteczne rzeczy, które pojawią się na wykładzie.

Twierdzenie Luny o etalnym cięciu (info o etalnych morfizmach będzie na wykładzie 9.5).
Hipotezy Weila: sformułowanie, zastosowania, kohomologie (info o topologiach Grothendiecka będzie na wykładzie 9.5. Uwaga: możliwe, w razie zainteresowania, zrobienie dwóch referatów, w parze).
Definicja, przykłady obliczeń i zastosowania grupy podstawowej.
Lokalne kohomologie i lokalna dualność.
Twierdzenia o znikaniu.

Lista wykładów

W drugiej połowie semestru zajmiemy się na wykładzie: twierdzeniem Artina o aproksymacji, schematami Cohena-Macaulaya, dowodem twierdzenia Kodairy o znikaniu.

28.02. Wprowadzenie: zarys idei zależności kohomologii i zmiany bazy. Definicja wyższych obrazów prostych i ich własności.
7.03. Odwzorowania zmiany bazy. Płaskość nad krzywą, płaskość a wielomian Hilberta. Cięcia globalne mogą skakać w płaskich rzutowych rodzinach. Sformułowanie twierdzenia o półciągłości.
14.03. Twierdzenie o zmianie bazy, twierdzenie Grauerta, półciągłość wymiaru kohomologii. Trik Mumforda. Dowody twierdzenia o półciągłości i twierdzenia Grauerta.
21.03. Dowód twierdzenia o kohomologiach i zmianie bazy. Główne twierdzenie Zariskiego: wprowadzenie i klasyczne wersje.
4.04. Ogólna wersja głównego twierdzenia Zariskiego, patrz też notatki do części, gdzie był problem na wykładzie.
18.04. Dualność Serre'a: wersje dualności, założenia (kontrprzykład na brak założeń: dwie P^2 stykające się w punkcie), dowód dla przypadku przestrzeni rzutowej, szkic dowodu dla pozostałych rozmaitości.
25.04. Snop dualizujący jest izomorficzny z kanonicznym na gładkiej rozmaitości: zarys dowodu.
9-16.05. Twierdzenia Artina o aproksymacji oraz algebraizacji.
23.05. Ciągi regularne oraz głębokość.

Podręczniki i źródła:

Foundations of Algebraic Geometry, Ravi Vakil.
Algebraic Geometry I, Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn.

Ogólne zasady oceniania

Referat na ćwiczeniach w dalszej części semestru. Egzamin końcowy w formie eseju z "egzaminem ustnym" polegającym na dyskusji o nim.