|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zadania.tex
% Created: Fri Jan 17 12:00 PM 2014 C
% Last Change: Fri Jan 17 12:00 PM 2014 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{balwanek.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{17 stycznia 2014}
\begin{document}
\section{Zima przyszła\\\large A~wyników OMa wciąż nie ma}
\vspace*{1em}
% Poniższe zadania (oprócz jednego :) pochodzą z~OMG, co wcale nie znaczy, że są oczywiste! Ale są
% ciekawe :)
\begin{problem}
Czy istnieją liczby całkowite $a, b, c, d$ takie, że liczby
\[
a - b,\quad b-c,\quad c-d,\quad d-a,
\]
wypisane w~podanym porządku, są kolejnymi liczbami całkowitymi?
\end{problem}
\begin{problem}
Punkty $E$ i~$F$ leżą na odpowiednio na bokach $BC$ i~$CD$ kwadratu
$ABCD$, przy czym $AEF$ jest równoboczny. Punkt $M$ jest środkiem
odcinka $AF$. Wykaż, że trójkąt $BCM$ jest równoboczny.
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Punkty $K$ i~$L$ są środkami
odpowiednio boków $AB$ i~$CD$. Wykaż, że jeżeli pola czworokątów
$BCLK$ i~$DAKL$ są równe, to czworokąt $ABCD$ jest trapezem.
\end{problem}
\begin{problem}
Punkt $P$ leży na sferze opisanej na sześcianie. Wykaż, że suma
kwadratów odległości punktu $P$ od wierzchołków sześcianu nie zależy
od wyboru punktu $P$.
\end{problem}
\begin{problem}
Czy kwadrat o~boku długości $2013$ można podzielić na prostokąty
$1\times 3$ w~taki sposób, aby liczba prostokątów ułożonych pionowo
różniła się o~$1$ od liczby prostokątów ułożonych poziomo?
\end{problem}
\begin{problem}
Czy istnieje $2014$ takich liczb naturalnych, że:
\begin{enumerate}
\item Żadna z~nich nie dzieli żadnej innej,
\item Iloczyn dowolnych $1007$ z~nich nie dzieli iloczynu
pozostałych,
\item Iloczyn każdych $1006$ z~nich dzieli iloczyn pozostałych?
\end{enumerate}
\end{problem}
\end{document}
|
