Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: mlodsi.tex
%     Created: Sun Feb 05 06:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Feb 05 06:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{6 lutego 2012}
\begin{document}
\section{Zadania z~Pompe}
\subsection{Przystawanie trójkątów}
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ w~którym $ \angle ACB = 45^\circ$.
    Wysokości trójkąta $ABC$ przecinają się w~punkcie $H$. Wykaż, że $|CH| =
    |AB|$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt $ABC$, w~którym $ \angle A= 90^\circ$ oraz $AB = AC$.
    Punkty $D, E$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i~$AC$ przy czym $AD = CE$.
    Prosta przechodząca przez punkt $A$ i~prostopadła do prostej $DE$
    przecina bok $BC$ w~punkcie $P$. Wykaż, że $|AP| = |DE|$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
 
    \begin{minipage}{10cm}
        Trzy kwadraty stykają się bokami, tworząc klocek $1\times 3$.
        Uzasadnij, że $ \angle AED +  \angle AGD +  \angle ABD = 90^\circ$.
    \end{minipage}\begin{minipage}{6cm}
        \includegraphics{klocek3na1}
    \end{minipage}
 
\end{problem}
 
\subsection{Okręgi}
 
\begin{problem}
    Na przeciwprostokątnej $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano, po
    zewnętrznej stronie, kwadrat $BCDE$, którego środkiem jest $O$. Uzasadnij,
    że kąty $ \angle BAO,  \angle CAO$ są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $ABC$ będzie trójkątem ostrokątnym. Okrąg o~średnicy $AB$ przecina odcinek $AC$
    w~punkcie $E\neq A$ i~odcinek $BC$ w~punkcie $D\neq B$. Niech $G$ będzie
    przecięciem odcinków $BE$ i~$AD$. Uzasadnij, że $CG \perp AB$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $ \triangle ABC$ będzie trójkątem ostrokątnym, a~$H$ będzie punktem
    przecięcia jego wysokości. Uzasadnij, że okręgi opisane na $ \triangle
    ABH,  \triangle BCH,  \triangle CAH$ mają równe promienie.
\end{problem}
 
 
\end{document}