Geometria Algebraiczna II: Jezyk Schematow

Wyklad semestralny

Jaroslaw Wisniewski

Zasadniczym celem proponowanego wykladu jest wprowadzenie do jezyka schematow w geometrii algebraicznej i nauka poslugiwania sie tym jezykiem dla formulowania i rozwiazywania problemow, rowniez przy uzyciu narzedzi numerycznych jakimi sa programy do przeprowadzania obliczen w pierscieniach wielomianow. Duzy nacisk bedzie polozony na ilustrowanie wprowadzanych pojec na przykladach.
Osoby pragnace uczestniczyc w wykladzie powinny miec bardzo dobre przygotowanie z algebry. Przydatna, choc nie niezbedna, bedzie znajomosc wykladu z rozmaitosci torycznych.
Ponizszy program ma charakter wstepny: prawdopodobnie czesci z podanych ponizej zagadnien nie uda sie zmiescic w semestralnym kursie.

Program.

  1. Schemat jako uogolnienie pojecia rozmaitosci. Schematy afiniczne. Schematy Noetherowskie. Moduly i snopy koherentne. Snop strukturalny.
  2. Zupelne przeciecia. Sklejanie schematow. Morfizmy. Separowalnosc. Schematy relatywne.
  3. Schematy nieredukowalne i nieprzywiedlne. Rozklad prymarny. SpecZ, schematy nad cialami niedomknietymi i schematy arytmetyczne.
  4. Lokalna struktura schematu. Lokalizacja i uzupelnienia. Wymiar Krulla. Przestrzen styczna Zariskiego.
  5. Rozniczkowania i formy rozniczkowe.
  6. Schematy rzutowe. Pierscienie z gradacja. Urzutowienie: Proj globalny i relatywny. Dzialanie C*.
  7. Moduly z gradacja i snopy nad schematami rzutowymi. Funkcja Hilberta i wielomian Hilberta. Rezolwenty idealow i snopow. Przeciecie w przestrzeni rzutowej.
  8. Programy Macaulay i CoCoaA. Liczenie rezolwent i niezmiennikow schematow rzutowych oraz snopow nad nimi.
  9. Odwzorowania biwymierne, rozdmuchanie schematu wzdluz idealu. Morfizmy skonczone, plaskie i wlasciwe.
  10. Funktory reprezentowalne. Schematy parametryzujace.

Literatura i Oprogramowanie

  • Eisenbud, Harris, The Geometry of Schemes.
  • Eisenbud, Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry.
  • Hartshorne, Algebraic Geometry .
  • Cox, Little, O'shea, Ideals, varieties and algorithms: An introduction to computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra.
  • Greyson, Stillman, Macaulay2 , computer algebra system.
  • CoCoA team, CoCoA , computer algebra system.