Tematy z wykladu, zakres egzaminu Podstawy teorii grup:
podgrupy, warstwy, rzad, homo- i izomorfizmy. Twierdzenie
Lagrange'a. Podgrupa, dzielnik normalny. Grupa ilorazowa i twierdzenie
o homomorfizmie. Produkt prosty i produkt polprosty, charakteryzacja
wewnetrzna i zewnetrzna. Rozszerzenia i rozszczepianie
rozszerzen. Centrum i komutant, abelianizacja. Klasy sprzezonosci
elementow. Grupa prosta i grupa rozwiazalna. Dzialania grup na
zbiorach: orbity, grupy izotropii (stabilizatory), punkty stale.
Grupy permutacji, rozklad permutacji na cykle, parzystosc
permutacji. Twierdzenie Cayleya dla grup skonczonych. Grupy permutacji
parzystych, prostota A_5. Twierdzenie Cauchy'ego, twierdzenie Sylowa,
p-grupy Grupy cykliczne. Automorfizmy grup cyklicznych. Struktura
grup abelowych skonczenie generowanych. Kategorie i
funktory. Presnop. Pierscienie przemienne z 1. Dziedziny
calkowitosci. Dzielniki zera, elementy odwracalne, elementy
nilpotentne. Produkt pierscieni. Pierscien wielomianow, wielomian z
k[x] jako funkcja k -> k. Pierscien szeregow formalnych. Homomorfizm
pierscieni. Ideal, pierscien ilorazowy, ideal nilpotentny (nil-ideal).
Idealy pierwsze i maksymalne. Charakteryzacja w terminach ilorazow.
Dziedziny idealow glownych, dziedziny Euklidesa. Cialo ulamkow
dziedziny. Lokalizacja wzgledem systemu multiplikatywnego. Moduly, iloczyn tensorowy, moduly nad
DIGami, twierdzenie Jordana jako wniosek. Pierscienie noetherowskie,
twierdzenie Hilberta o bazie, skonczona generowalnosc k-algebry
niezmiennikow dzialania liniowego grupy skonczonej.
Ksiazki i skrypty
Programy i pakiety: