Algebra II, program rozszerzony, semestr wiosenny 2012/2013

Jaroslaw Wisniewski (wyklad) i Lukasz Sienkiewicz (cwiczenia)

porzadki na zbiorze trojek z szesciu zrodlo: Wikipedia

Terminy: poniedzialki: wyklad 12:15-14:00 (5870), cwiczenia 14:15 - 15:45 (5870) Oficjalna strona przedmiotu Ksiazki i skrypty Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt Milne, Fields and Galois Theory Cox, Little, O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms. Undergrad Texts in Math. Springer Atiyah, Macdonald, Introduction to commutative algebra. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, LMS Students texts 29 Eisenbud, Commutative algebra with a view, Springer GTM150 Bialynicki-Birula, Algebra, PWN Bialynicki-Birula, Zarys algebry, PWN Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry Lang, Algebra, PWN

Tematy wykladow

1. Idealy w pierscieniach wielomianow, porzadki na jednomianach, dzielenie z reszta, idealy jednomianowe, lemat Dicksona, bazy Groebnera [Cox-Little-O'Shea, rozdz 2]
2. Pierscienie i moduly noetherowskie, rozne charakteryzacje, dziedzicznosc, twierdzenie Hilberta o bazie, spektrum pierscienia. Lokalizacje pierscieni i modulow. [Reid rozdz 3, 6, Atiyah-Macdonald rozdz 6].
3. Rozszerzenia algebraiczne cial i calkowite pierscieni, rozszerzenia skonczone, elementy calkowite, charakteryzacja. Calkowite domkniecie. Twierdzenia o skladaniu rozszerzen. Twierdzenie Noether o normalizacji [Reid rozdz 4, Atiyah-Macdonald rozdz 5].
4. Twierdzenie Hilberta o zerach, forma slaba i mocna nad cialem algebraicznie domknietym k. Zbiory algebraiczne w przestrzeni afinicznej, topologia Zariskiego, zbiory nieredukowalne i odpowiednosc z idealami radykalnymi i pierwszymi w pierscieniu wielomianow. Rozmaitosci afiniczne i skonczenie generowane k-algebry bez dzielnikow zera [Reid rozdz. 5].
5. Idealy prymarne, charakteryzacja. Rozklad prymarny idealow w pierscieniach noetherowskich, jednoznacznosc [Reid rozdz. 7, Atiyah-Macdonald rozdz. 7].
6. Wielomiany symetryczne. Liniowe dzialanie grup skonczonych, pierscienie niezmiennikow. Operatory Reynoldsa. Twierdzenie Hilberta i Noether o skonczonej generowalnosci pierscienia niezmiennikow [Cox-Little-O'Shea rozdz. 7].
7. Rozszerzenia algebraiczne i przestepne, stopien (wymiar) przestepny rozszerzenia. Algebraiczne domkniecie ciala, istnienie i jednoznacznosc, wkladanie rozszerzen algebraicznych w algebraiczne domkniecie. Cialo rozkladu wielomianu. Rozszerzenia normalne, charakteryzacja przez obraz w algebraicznym domknieciu. Cialo rozkladu wielomianu = skonczone rozszerzenia normalne. [Aluffi, rozdz. VII, Milne, rozdz. 1 i 8]
8. Wielomiany rozdzielcze, elementy rozdzielcze, rozszerzenia rozdzielcze. Charakteryzacja rozdzielczosci wielomianow przez ich rozniczkowanie. Liczenie odwzorowan rozszerzenia skonczonego ciala w jego algebraiczne domkniecie, stopien rozdzielczy rozszerzenia, twierdzenie o skladaniu stopni rozdzielczych rozszerzen, charakteryzacja skonczonych rozszerzen rozdzielczych przez ich stopien rozdzielczy. Tw Abela o elemencie pierwotnym: skonczone rozszerzenie rozdzielcze jest generowane przez jeden element. [Aluffi, rozdz. VII, Milne, rozdz. 1 i 8]
9. Rozszerzenia pojedyncze i skonczona liczba rozszerzen posrednich. Automorfizmy rozszerzen cial. Skonczone rozszerzenia Galois i ich charakteryzacje: normalne i rozdzielcze, rzad grupy automorfizmow rowny stopniowi rozszerzenia. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois. Zastosowanie: domknietosc ciala liczb zespolonych, rozszerzenia przez pierwiastniki, rozwiazalnosc rownan algebraicznych. [Aluffi, Milne]
10. Rozszerzenia cykliczne. Tw. Dedekinda. Tw. o skonczonosci calkowitego domkniecia dziedziny noetherowskiej w skonczonym rozdzielczym rozszerzeniu jej ciala ulamkow; tw. o skonczonej generowalnosci calkowitego domkniecia k-algebry [Reid, rozdz 8].
11. Pierscienie normalne: normalnosc jest warunkiem lokalnym. Pierscienie waluacji dyskretnych (DVR). Pierscien lokalny noetherowski jest DVR <=> jest normalny wymiaru 1, noetherowski pierscien normalny bez dzielnikow zera jest przecieciem DVRow (lokalizacji wzgledem idealow minimalnych) [Reid, rozdz 8].
12. Pierscienie i moduly z gradacja; warunek na noetherowskosc, idealy jednorodne. Filtracje zwiazane z idealem, pierscien zgradowany odpowiadajacy idealowi. Ciagi Cauchy'ego, uzupelnienia pierscieni i modulow, podstawowe informacje. Twierdzenie Krulla o przecieciu. [Atiyah-Macdonald, rozdz 10]

Zadania na cwiczenia:
Zadania na poniedzialkowe cwiczenia z reguly beda podawane najpozniej w srode wieczorem.

• seria I na 18 lutego: powtorzenie o modulach.
• seria II na 25 lutego: krotki wstep do kategorii i funktorow.
• seria III na 4 marca: produkty tensorowe i lokalizacja.
• seria IV na 11 marca: rozszerzenia pierscieni i calkowite domkniecie.
• seria V na 18 marca: tw. Hilberta, zbiory algebraiczne, idealy prymarne.
• seria VI na 25 marca: rozklady prymarne idealow.
• seria VII na 15 kwietnia: algebraiczne domkniecie ciala, cialo rozkladu wielomianu, homomorfizm Frobeniusa, pierwiastki z 1.
• seria VIII na 22 kwietnia: rozszerzenia normalne i rozdzielcze.
• seria IX na 29 kwietnia: rozszerzenia cial, norma i slad, grupa Galois.
• seria X na 6 maja: teoria Galois.
• seria XI na 13 maja: zastosowania teorii Galois cd.
• seria XII na 27 maja: waluacje uzupelnienia i tropikalizacja.
• seria XIII na 3 czerwca: uzupelnienia cd.

Warunki zaliczenia cwiczen, egzamin:

• Warunki zaliczenia cwiczen: zadania domowe i dwa kolokwia.
• Zadania na poniedzialkowe cwiczenia beda wywieszane na tej stronie w srode do godz 22. Zgloszenia zrobionych zadan beda przyjmowane na poczatku cwiczen i potem zadania beda rozwiazywane przy tablicy. Punktacja za zadania:
  • kazde zadanie jest za 1 punkt, chyba ze przy zadaniu jest napisane inaczej lub zachodzi ktorys z dalszych warunkow,
  • zadania, ktore zostana rozwiazane przez nie wiecej niz 3 osoby, beda za przynajmniej 2 punkty,
  • zadania, ktore rozwiaze co najwyzej jedna osoba, beda za 3 punkty.
• W trakcie semestru odbeda sie dwa kolokwia po 90 min, terminy zostana ustalone pozniej (nie bedzie poprawek!).
• Egzamin bedzie zarowno pisemny jak i ustny: ocena bedzie uwzgledniala wyniki z cwiczen.

1. Wstep, powtorzenie z teorii grup
2. Porzadki, bazy Groebnera; przyklad zastosowania: znajdowanie ekstremum funkcji (autor: Maria Donten-Bury)
3. Niezmienniki grup skonczonych oraz invariants of finite groups.

Programy i pakiety:

• Wydzialowy serwer Sage
• SAGE, SAGE notebook login,
• MAGMA i kalkulator magmowy
• GAP
• Macaulay2
• CoCoA