Algebra przemienna, 2018/2019

Joachim Jelisiejew (cw), Jaroslaw Wisniewski (wyk.)

picture
orderings, 6 choose 3
source: Wikipedia

Oficjalna strona przedmiotu, USOS

Strona cwiczen z zadaniami

Książki

  • Atiyah, Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley
  • Allufi, Algebra, Chapter 0, AMS
  • Bialynicki-Birula, Algebra, PWN
  • Bialynicki-Birula, Zarys algebry, PWN
  • Browkin, Teoria cial
  • Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry
  • Cox, Little, O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms. Undergrad Texts in Math. Springer
  • Eisenbud, Commutative algebra with a view, Springer GTM150
  • Lang, Algebra, PWN
  • Reid, Undergraduate Commutative Algebra, LMS Students texts 29

Tematy wykładów

  1. Pierścienie i ideały, ideały pierwsze i maksymalne (i ich charakteryzacja przez ilorazy), nilradykał (= przecięcie pierwszych). Spektrum pierścienia, topologia Zariskiego, homomorfizm A -> B daje przekształcenie ciągłe Spec B -> Spec A. [Atiyah, Macdonald ch. 1, Reid ch. 0, 1,6].
  2. Lokalizacja pierścienia względem systemu multiplikatywnego, przykłady. Zachowanie się ideałów przy lokalizacji. Pierścienie lokalne, wprowadzenie, przykłady. Moduły, przykłady, zamiana współczynników, lokalizacja, tw. Cayleya-Hamiltona i różne wersje lematu Nakayamy. [Atiyah, Macdonald, ch. 2, 3; Reid, ch. 2, 6]
  3. Moduły, moduły wolne, suma i produkt kategoryjnie, ciągi dokładne, Hom. Owdzorowania wieloliniowe, produkt tensorowy: własność uniwersalna i kostrukcja, algebra tensorów. Przykłady, Hom i domnażanie nie zachowuje dokładności. Produkt tensorowy jako suma prosta dla algebr. Produkt symetryczny i zewnętrzny. Różniczkowania i moduł różniczek. [Atiyah, Macdonald, ch. 2].
  4. Pierścienie noetherowskie, moduły noetherowskie, charakteryzacje, rozkład elementów na nierozkładalne, rozkład ideałów na nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. [Reid, ch. 3, Atiyah, Macdonald, ch. 6,7].
  5. Rozszerzenia pierścieni, rozszerzenia skończone i całkowite, lematy o składaniu rozszerzeń, całkowite domknięcie, podnoszenie ideałów prostych. Pierścienie normalne, normalizacja. [Reid, ch.4, Atiyah, Macdonald, ch. 5]
  6. Wymiar Krulla, wymiar zachowuje się przy rozszerzeniach skończonych pierścieni. Wymiar Krulla pierścienia wielomianów, bez dowodu [dowód w Coquand, Lombardi, American Math. Monthly 112 (2005), 826-829]. Twierdzenie Noether o normalizacji, dowód dla algebr nad ciałem nieskończonym. [Reid ch. 4]
  7. Twierdzenie Hilberta o zerach, różne wersje, w tym I(V(J))=rad(J). Zbiory algebraiczne w przestrzeni afinicznej, topologia Zariskiego. Topologia Zariskiego jest noetherowska, zbiory nieprzywiedlne, rozkład zbiorów algebraicznych na nieprzywiedlne. [Reid, ch. 5]
  8. Pierścienie i moduły z gradacją, funkcja Hilberta i szereg Poincare; szereg Poincare modułu jako funkcja wymierna, tw. Hilberta-Serre'a. Gradacja na pierścieniu wielomianów, stożki. [Atiyah-Macdonald, ch. 10, 11].
  9. Waluacje dyskretne i pierścienie waluacji. Charakteryzacja pierścieni waluacji: lokalne normalne noetherowskie dziedziny wymiaru Krulla 1. Lokalizacja normalnych noetherowskich dziedzin w ideałach pierwszych wysokości 1 i wybór lokalizacji. [Reid, ch. 8, Atiyah, Macdonald, ch. 5]

Programy i pakiety: