Geometria algebraiczna

wyklad fakultatywny z cwiczeniami, semestr jesienny 2011/2012

Jaroslaw Wisniewski


powierzchnia Kummera
zrodlo: Wikipedia 		Terminy: cwiczenia - czwartki 12:15-14:00, sala 4010, wyklady - piatki 8:30-10:00, sala 5940.

Oficjalna strona przedmiotu w USOSie

Wstep: Geometria algebraiczna to klasyczna dziedzina matematyki majaca zwiazki z algebra, teoria liczb, analiza zespolona, topologia i matematyka dyskretna. Dynamiczny rozwoj wspolczesnej geometrii algebraicznej zwiazany jest z jej zastosowaniami w fizyce teoretycznej, biologii, kryptografii i inzynierii.

Wymagania: Przedmioty fundamentalne powiazane z wykladem, wymagane: algebra 2 i geometria rozniczkowa; zalecane: topologia 2 i funkcje analityczne. Inne przedmioty fakultatywne zwiazane z wykladem: topologia algebraiczna, analiza zespolona, geometria rozniczkowa 2, grupy Liego.

Podstawowe teksty

Tematy wykladow i wymagania egzaminacyjne
  1. Nullstellensatz i wnioski z niego.
  2. Snop funkcji regularnych i rozmaitosci afiniczne.
  3. Prerozmaitosci, produkt pre-rozmaitosci, separowalnosc, rozmaitosci.
  4. Funkcje wymierne. Wymiar jako stopien przestepny ciala funkcji wymiarnych, wymiar Krulla.
  5. Odwzorowania algebraiczne i ich wlokna. Rozdmuchanie. Zbiory konstruowalne, tw. Chevalley.
  6. Zupelnosc, zupelnosc przestrzeni rzutowej, (globalne) funkcje regularne na rozmaitosciach zupelnych.
  7. Moduly nad pierscieniem wspolrzednych rozmaitosci afinicznej i snopy modulow stowarzyszone z nimi.
  8. Snopy (quasi)koherentne. Snopy koherentne na przestrzeni rzutowej i moduly z gradacja.
  9. Snopy lokalnie wolne i wiazki wektorowe. Przestrzen styczna, rozniczki Kaehlera, snop rozniczek.
  10. Waluacje zwiazane z podrozmaitosciami kowymiaru 1. Dywizory Weila. Dywizory glowne, grupa klas.
  11. Dywizory Cartier, grupa Picarda. Systemy liniowe i odwzorowania w przestrzen rzutowa.
  12. Kohomologie Cecha. Rezolwenta acykliczna. Kohomologie snopow koherentnych mozna liczyc na pokryciu afinicznym.
  13. Kohomologie wiazek liniowych nad przestrzenia rzutowa. Wzory Botta. Charakterystyka Eulera.
  14. Kohomologie snopow koherentnych na rozmaitosciach rzutowych. Twierdzenia A i B Serra. Twierdzenie Riemanna-Rocha na krzywych dla wiazek liniowych (latwa wersja).
Problemy na cwiczenia/Homework: na czwartkowe zajecia beda podawane najpozniej do polnocy w poprzedzajaca czwartek niedziele
  1. pierwsza seria oraz wersja angielska homework problems, set one,; kategorie i funktory (na 7 pazdz).
  2. druga seria oraz wersja angielska homework problems, set two; lemat Yonedy, granice proste i odwrotne, usnopienie (na 14 pazdz)
  3. trzecia seria oraz wersja angielska homework problems, set three; snop strukturalny rozmaitosci, produkt rozmaitosci, snop modulow (na 20 pazdz)
  4. czwarta seria oraz wersja angielska homework problems, set four; pierscienie z gradacja, przestrzen rzutowa (na 27 pazdz).
  5. piata seria oraz wersja angielska homework problems, set five; rozne problemy.
  6. szosta seria oraz wersja angielska homework problems, set six; przestrzen rzutowa i rozmaitosci rzutowe, snop modulow (na 17 list).
  7. siodma seria oraz wersja angielska homework problems, set seven; snopy modulow koherentnych (na 24 list).
  8. osma seria oraz wersja angielska homework problems, set eight; snopy modulow koherentnych na przestrzeni rzutowej (na 1 grud).
  9. dziewiata seria oraz wersja angielska homework problems, set nine; differentials (na 8 grud).
  10. dziesiata seria, homework, set ten, tym razem jedynie po angielsku (prosze sie pytac, jesli tresc jest niezrozumiala), dywizory Weila (na 15 grud)
  11. jedenasta seria, homework, set eleven, kohomologie Cecha (na 12 stycz)
  12. homework, set 12, review problems (for Jan 19)
Pierwsze domowe kolokwium, i wersja angielska first take-home mid-term exam, na 10 listopada.
Drugie domowe kolokwium, second take-home mid-term, wylacznie po angielsku, na 6 stycznia.

Warunki zaliczenia cwiczen, egzamin:

Odnosniki