Zadanie niniejsze jest kontynuacj± zadania domowego numer 1.
Wprowadzony zostanie inny system dowodzenia dla intuicjonistycznego
rachunku zdań, LJT* z pracy R. Dyckhoff ``Contraction free sequent
calculi for intuitionistic logic'' Journal of Symbolic Logic
57(3) 1992.1
Państwa zadaniem będzie:
pokazanie równoważno¶ci obu systemów (rachunku Gentzena i LJT*)
pokazanie rozstrzygalno¶ci LJT*
(*) stworzyć taktykę dowodz±c± tautologie intuicjonistyczne w
Coqu
(*) przygl±daj±c się dowodowi rozstrzygalno¶ci spróbować
udowodnić pełno¶ć LJT*
Poniżej podana jest definicja systemu LJT*. Sekwent LJT*, G
|- D to para multizbiorów formuł. W systemie nie ma reguł
strukturalnych (ale trzeba pamiętać, że multizbiory nie bior± pod
uwagę kolejno¶ci). Jest jeden aksjomat
G,A |- D,A
Dla każdego symbolu jest pewna liczba reguł prawych i lewych. Dla fałszu jest tylko reguła lewa, z pustym zbiorem przesłanek
G,^ |- D
Dla koniunkcji jest jedna reguła lewa i jedna prawa:
G, A, B |- D
G, A Ů B |- D
G |- D, A G |- D, B
G |- D, A Ů B
Dla alternatywy -- podobnie:
G,A |- D G, B |- D
G, A Ú B |- D
G |- D, A, B
G |- D, A Ú B
Dla implikacji jest jedna reguła prawa oraz aż cztery lewe, które
intuicyjnie zastępuj± lew± regułę implikacji w systemie Gentzena.
Każda z nich dopasowana jest do postaci poprzednika implikacji. Reguła prawa
G, A |- B
G |- D, A ® B
Reguły lewe
G, B, p |- D
G,p ® B, p |- D
G, A1 ® (A2 ® B) |- D
G, (A1 Ů A2) ® B |- D
G, A1 ® B, A2 ® B |- D
G, (A1 Ú A2) ® B |- D
G, B |- D G, A2 ® B |-
A1 ® A2
G,(A1 ® A2) ® B |- D
W pierwszej regule symbol p oznacza formułę atomow± -- czyli zmienn±
zdaniow±.
Jacek Chrz±szcz, 11 kwietnia 2002 ostatnia zmiana: April 18, 2002