÷ƒ’À; è TeX output 1997.05.15:1206‹ ÿÿÿÿ ®GÌ ýFèQ ¹¯ ý†iD‘ÇaóŒ-ø cmcsc10½Che ‘üÎ;lmiM„Ÿÿ*«Žnski‘ÇKrzysztofŽŸa„‘ÇaóÂÖN cmbx12ÊOn–b@initial-bš` oundary“v‘ÿ@ alue“problems“for“the“inelastic“material“b˜eha viour“ofŽŸ ‘ÇametalsŽŽŽŸ>À‘ßZóý ': cmti10¼We–Ã÷pr›ÿ}'ove“existenc˜e“of“str˜ong“solutions“for“a“sub˜class“of“nonc˜o˜er˜cive,‘Ïûmonotone“c˜onstitutive“e˜quations“in“the“the˜oryŽŸ ‘ßZof–“çinelastic“material“b‘ÿ}'ehaviour“of“metals.ŽŽŽŸ'?Ñ‘Çaó ò"V cmbx10Ë1.‘pF‘ÿ «orm®9ulation–ÕTof“the“initial-bQÇoundary“v‘ÿ\ralue“problemŽŽŽ©Ó‘ßZóKñ`y cmr10²Let›F´ –Y_ó !",š cmsy10¸“ó b> cmmi10µI‘ÿ:RÇŸü^ÿóÙ“ R cmr7±3Ž‘Öî²b•Ge˜an˜op“en˜set˜with˜smo“oth˜b“oundary˜µ@‘ Ž8² ‘ª¨.‘EäThis˜set˜represen¸ãts˜the˜mass˜p“oin¸ãts˜of˜the˜b“o“dy‘ÿ*ª.‘EäLetŽ¤ ‘ßZµu²(µx;‘ª¨t²)–Ǹ2“µI‘ÿ:RÇŸü^ÿ±3Ž‘Ö]²bšGe–F#the“displacemen¸ãt“of“the“mass“p˜oin¸ãt“µx–Ǹ2“² –F#at“time“µt–Ǹ“²0‘ª¨,‘I-let›F#µ“>“²0˜bGe˜the˜densit•¸ãy‘ÿ*ª,‘I-whic“h˜w“e˜assumeŽ¡‘ßZto–$}bšGe“constan¸ãt,‘.Band“let“µT‘c²(µx;‘ª¨t²)–Ǹ2“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘`ì²(the–$}set“of“symmetric“3¸Ž‘Dz3“matrices)“b˜e“the“Cauc•¸ãh“y–$}stress“tensor.‘aW‘ÿ*ªe“study“theŽ¡‘ßZproblemŽ¦‘ÇaµuŸÿó 0e—r cmmi7´ttŽ‘Š¬²(µx;›ª¨t²)–Ç=“divŸÿ´xŽ‘³ŒµT–c²(µx;˜t²)˜µ;‘ª©T“²(µx;˜t²)–Ç=“µDGŸ÷æbó ú±u cmex10« ŽŽŽ‘Ütµ"²(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ‘«Cµu²(µx;˜t²))–8ภ“µ"Ÿÿ´pŽ‘ŸR²(µx;˜t²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘?ÿµ;‘ª©zŸÿ´tŽ‘…V²(µx;˜t²)–Ç=“µf‘Ÿ÷æb« ŽŽŽ‘¨æµ"²(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ‘«Cµu²(µx;˜t²))µ;˜zp—²(µx;˜t²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘?ÿµ:‘"R²(PŽ‘Î:)ŽŽŸÓ‘ßZHere‘Á“µ"²(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ–«Cµu²(µx;›ª¨t²))‘{=Ÿü‘®²±1Ž‘®²Ÿ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ ÞXŸ÷æb« ŽŽŽ‘s¯¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ“µu²(µx;˜t²)– +“(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ‘«Cµu²(µx;˜t²))Ÿü^ÿ´TŽ‘L¶Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘]Œ¸2‘{S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘þ²is–Á“the“linear“strain“tensor,‘Ü¢µ"Ÿÿ´pŽ‘ŸR²(µx;˜t²)–{¸2“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘þ²is–Á“the“plastic“strainŽŸ ‘ßZtensor,‘3Öand‘+wµzp—²(µx;›ª¨t²)–Ç=“Ÿ÷æb« ŽŽŽ–\oµ"Ÿÿ´pŽ‘ŸR²(µx;˜t²)µ;‘Dq²~Ž˜µzŽŽ‘ÁƲ(µx;˜t²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ“¸2–ÇS‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘!“¸‘å$µI›ÿ:RÇŸü^ÿ´N‘ À,óO!â… cmsy7· ±9Ž‘¸“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ Ôï²is–+wthe“vš¸ãector“of“in˜ternal“v‘ÿqÇariables.‘cÒµD‘5²:–ǸS‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘‡¸!“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘gæ²denotesŽ¡‘ßZa–¬jsymmetric“linear“mapping,‘Î3whicš¸ãh“is“called“the“elasticit˜y“tensor.‘9yW‘ÿ*ªe“assume“that“the“mapping“µD‘ó‡²is“pGositiv˜e“denite,Ž¡‘ßZand–‰indepšGenden¸ãt“of“µx“²and“µt‘ª¨².‘oFinally“µf‘1¯²:– µD˜²(µf‘²)“¸“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘˜¸‘[°µI›ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘ ǘ¸!“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘3²is–‰a“giv¸ãen“function.‘oW‘ÿ*ªe“assume“that“one“of“theŽ¡‘ßZt•¸ãw“o–UUhomogeneous“bGoundary“conditionsŽ¦‘Çaµu²(µx;–ª¨t²)Ÿ ¸jŽ‘ÇŸÿÿ´@n9± ŽŽŽ›w²=‘Ç0‘ orŽ‘ꮵT‘c²(µx;“t²)µn²(µx²)Ÿ ¸jŽ‘ÇŸÿÿ´@n9± ŽŽŽ˜²=‘Ç0’ÎÛ(BCŽ‘N;)ŽŽŸS‘ßZis–UUsatised,(µn“²is“the“exterior“unit“normal“v¸ãector“to“µ@‘ Ž8² ‘ª¨.‘qÇThe“initial“conditions“areŽ¦‘Çaµu²(µx;›ª¨²0)–Ç=“µuŸûÞÿ±(0)Ž‘ ¼u²(µx²)˜µ;‘UPuŸÿ´tŽ‘…V²(µx;˜²0)“=“µuŸûÞÿ±(1)Ž‘ ¼u²(µx²)˜µ;‘UPzp—²(µx;˜²0)“=“µzp—ŸûÞÿ±(0)Ž‘-²(µx²)’ È!ú(ICŽ‘ ÕV)ŽŽ¦‘ßZwith–Àgiv¸ãen“functions“µuŸü^ÿ±(0)Ž‘gµ;‘UPuŸü^ÿ±(1)Ž‘ ƒ²:–Ç “¸!“µI›ÿ:RÇŸü^ÿ±3Ž‘:âµ;‘ª©zp—Ÿü^ÿ±(0)Ž‘ ô$²:“ “¸!“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ T µ:–À²W‘ÿ*ªe“also“require“that“there“exists“a“function“µ ‘"ñ²:–ǵDG²(µf‘²)“¸Ž¡‘ßZS‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘uO¸‘8àµI‘ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘ p¸!‘Dz[0µ;‘ª¨¸1²)‘UUwithŽŸ›ä’ €Úµ¸r‘þ¢_Ÿÿ´"Ž‘铵 š[Ù²(µ";‘ª¨zp—²)–Ç=“µT‘7;‘ª©¸r‘þ¢_Ÿÿ´zŽ‘=ðµ ˜²(µ";›ª¨zp—²)–8ณµf‘²(µ";˜zp—²)–Ǹ“²0ŽŸ›ä‘ßZfor–‡Äall“(µ";›ª¨zp—²)–Åϸ2“µDG²(µf‘²)˜.‘ The–‡Äfunction“µ ‘ã²is“called“the“free“energy“and“the“last“inequalit¸ãy“is“called“the“dissipationŽ¡‘ßZinequalitš¸ãy–ÿ*ª.‘æÝF“rom–'the“constitutiv˜e“equation“(P2)“it“follo˜ws“that“µ [Ù²(µ";‘ª¨zp—²)‘$”=Ÿü‘WDZ1Ž‘WÇŸ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ ‡m²[µDG²(µ"–Ä«¸ “µ"Ÿÿ´pŽ›ŸR²)]“¸“²(µ"“¸ “µ"Ÿÿ´pŽ˜²)“+“µ Ÿÿ±1Ž‘|s²(µzp—²)–'with“aŽ¡‘ßZsuitable–UUfunction“µ Ÿÿ±1Ž‘C‹²:–ǵDG²(µ Ÿÿ±1Ž‘|s²)“¸“µI‘ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘ p¸!“²[0µ;–ª¨¸1²)“.ŽŸ\C‘ÇaË2.‘pExistence–ÕTtheory“for“monotone“and“coQÇercivš®9e“constitutiv˜e“equationsŽŽŽ¦‘ßZ²F‘ÿ*ªor–Ømathematical“reasons“it“is“impGortanš¸ãt“to“generalize“equation“(P2)“and“replace“it“b˜y“µT‘c²(µx;›ª¨t²)–(œ=“µDGŸ÷æb« ŽŽŽ‘Ütµ"²(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ‘«Cµu²(µx;˜t²))‘_⸠ŽŸ ‘ßZµB‘ €qzp—²(µx;‘ª¨t²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘?ÿµ;–륲where“µB‘B ²:–ÁœµI‘ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘k¸!“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘ (²is–ë¥a“givš¸ãen“linear“opGerator.‘4·F‘ÿ*ªor“example“w˜e“can“c˜hošGose“for“µB‘l²the“linear“op˜eratorŽ¡‘ßZµz–7¯¸!‘ǵB‘ €qz“²=Ÿü‘úK±1Ž‘úKŸ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ )ñ²(µzŸÿ´pŽ‘nƲ+›ÏtµzŸü^ÿp—´TŽŸápŽŽ‘½M²)– Ÿwhere“µzŸÿ´pŽ‘¿ñ²denotes“the“3˜¸˜²3“matrix“formed“out“of“the“rst“nine“compGonenš¸ãts“of“µz‘?².‘`5Moreo˜v˜er“w˜eŽ¡‘ßZassume–UUthat“the“free“energy“µ ‘±.²has“the“formŽŸW‘u®çµ [Ù²(µ";‘ª¨zšp—²)‘Ç=Ÿù<$‘úK1Ž‘úKŸw‰ fe Ÿ (Ö2ŽŽŽŽ‘ -[µDG²(µ"–8ภ“µB‘ €qz˜²)]“¸“²(µ"“¸ “µB‘ €qz˜²)“+Ÿù<$‘l1Ž‘lŸw‰ fe Ÿ (Ö2ŽŽŽŽ‘ ŸG(µLz˜²)“¸“µzŽŸÃö‘ßZ²with–8ãa“symmetric,‘qÇpšGositiv¸ãe“semi-denite“µN‘¸Ž‘Þ9µN‘Oþ²matrix“µL‘ª¨².‘÷Deriv‘ÿqÇation“of“the“ab˜o•¸ãv“e–8ãexpression“of“µ ‘”¼²yields“¸ µ¸r‘þ¢_Ÿÿ´zŽ‘=ðµ [Ù²(µ";‘ª¨zp—²)‘Ç=Ž¡‘ßZµB‘ €qŸü^ÿ´TŽ‘Í'µDG²(µ"–8ภ“µB› €qzp—²)“¸ “µLz‘7¯²=‘ÇŸ÷÷}‰ fe Î:ŸƒµLŽŽ‘ •R"“¸ “µM‘z‘Åì²with–UUlinear“mapping“Ÿ÷÷}‰ fe Î:ŸƒµLŽŽ‘꧲=‘ǵB˜Ÿü^ÿ´TŽ‘Í'µD‘œr²and“µM‘Þ3²=‘ǵB˜Ÿü^ÿ´TŽ‘Í'µDGB‘¹Q²+‘8àµL‘ª¨².Ž¦‘ßZDenition‘€-.‘Òg¼We–¦×say“that“a“p‘ÿ}'air“²(µf‘ …V;‘ª¨B‘ €q²)“¼of“a“function“µf‘̸²:–¹)µDG²(µf‘²)“¸“S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘<‰¸‘ µI›ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘b¡¸!“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘PO¼and–¦×a“line‘ÿ}'ar“mapping“µB‘9š²:Ž¡‘ßZµI‘ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘³C¸!‘ ËS‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘ ‚x¼is–F of“²monotone‘ôt¸ãypGe¼,›r‘if“ther‘ÿ}'e“exists“a“symmetric,˜²pGositiv¸ãe‘ôdenite“µN‘¸Ž‘Þ9µN›]$¼matrix“µM˜¼with“the“pr–ÿ}'op“ertyŽ¡‘ßZthat–iuthe“symmetric“µN‘¸Ž‘Þ9µN‘€¼matrix“µL–Dz=“µM‘óµ¸ ‘ÜšµB‘ €qŸü^ÿ´TŽ‘Í'µD•GB‘éæ¼is›iu²p“ositiv¸ãe‘'2semi-denite¼,‘qòand˜if˜ther‘ÿ}'e˜exists˜a˜monotone˜functionŽ¡‘ßZµg‘"ñ²:–ǵDG²(µg[Ù²)“¸“µI›ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘ p¸!“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘=_¼such–“çthat“µg[Ù²(µzp—²)–8ณµz›7¯¸‘Dz0–“ç¼for“al‘ ‚Øl“µz˜¸2‘ǵDG²(µg[Ù²)“¼andŽŸgí‘{ëóµf‘²(µ";›ª¨zp—²)–Ç=“µg[ÙŸ÷æb« ŽŽŽ‘ñ0¸ Ž‘¸Nµ¸r‘þ¢_Ÿÿ´zŽ‘=ðµ [Ù²(µ";˜zšp—²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘\o²=“µg[Ù²(µB‘ €qŸûÞÿ´TŽ‘Í'µDG"–8ภ“µM‘z˜²)ŽŽŽŒ‹ * ®GÌ ýFèQ ¹¯ ýO[‘íÊN¼for–“çal‘ ‚Øl“²(µ";›ª¨zp—²)–Ǹ2“µDG²(µf‘²)˜¼,–“çwith“the“p›ÿ}'ositive“semi-denite“quadr˜atic“form“µ [Ù²(µ";‘ª¨zšp—²)‘Ç=Ÿü‘úK±1Ž‘úKŸ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ )ñ²[µDG²(µ"–8ภ“µB‘ €qz˜²)]“¸“²(µ"“¸ “µB‘ €qz˜²)“+Ÿü‘l±1Ž‘lŸ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘›¹²(µLz˜²)“¸“µz‘?:Ž©â‘íÊN²W‘ÿ*ªe–shoš¸ãw“that“the“follo˜wing“equiv‘ÿqÇalen˜t“problem“obtained“from“the“initial{bGoundary“v‘ÿqÇalue“problem“(P)‘ëb˜y“settingŽ¤ ‘íÊNµv‘"ñ²=‘ǵuŸÿ´tŽ‘Ú«²has–UUa“unique“solution:ŽŸ<‘L£aµvŸÿ´tŽ›Ln²=‘ÇdivŽŸù<$‘¬‡1Ž‘–ÀŸw‰ fe +Ÿ (ÖµŽŽŽŽ‘õ‚DG²(µ"–8ภ“µB‘ €qzp—²)‘ª¨µ;‘ª©"Ÿÿ´tŽ˜²=Ÿù<$‘úK1Ž‘úKŸw‰ fe Ÿ (Ö2ŽŽŽŽ‘ -Ÿ÷æb« ŽŽŽ‘ÂÖ¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ›«Cµv‘”¹²+“(¸r‘þ¢_Ÿÿ´xŽ˜µv[Ù²)ŸûÞÿ´TŽ‘L¶Ÿ÷æb«ŽŽŽŽ‘Qº5µ;‘ª©zŸÿ´tŽ˜²=‘ǵg[ÙŸ÷æb« ŽŽŽ‘*¸ “µ¸r‘þ¢_Ÿÿ´zŽ‘=ðµ [Ù²(µ";‘ª¨zp—²)Ÿ÷æb«ŽŽŽŽŸ2¢‘íÊN²with–Ëthe“bGoundary“condition“(BC)‘ºand“the“initial“conditions“(IC).“The“solution“is“a“mapping“(µv[Ù;–ª¨";“zp—²)–Ç:“ –±Í¸“²[0µ;‘ª¨¸1²)‘Ǹ!Ž¡‘íÊNµI›ÿ:RÇŸü^ÿ±3Ž‘¸`¸•(&S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘d•¸“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ T µ:–Lö²W‘ÿ*ªe“write“the“problem“in“the“form“µwŸÿ´tŽ‘…V²(µt²)–Ç=“µC‘ ·²(µw•Dã²(µt²))›ª¨µ;‘ª©w“²(0)–Ç=“µwDãŸü^ÿ±(0)Ž‘ Èp²=“(µv[ÙŸü^ÿ±(0)Ž‘Nµ;˜"Ÿü^ÿ±(0)Ž‘ ¼uµ;˜zp—Ÿü^ÿ±(0)Ž‘-²)–Löof“an“initial“v‘ÿqÇalueŽ¡‘íÊNproblem–žto“an“ev¸ãolution“equation“with“a“maximal“monotone“opGerator“¸ µC‘aIJ,‘°ïand“with“µwDã²(µt²)–A:=“(µv[Ù²(¸µ;–ª¨t²)µ;“"²(¸µ;“t²)µ;“zp—²(¸µ;“t²))‘A::Ž¡‘íÊN –Ǹ!“µI›ÿ:RÇŸü^ÿ±3Ž‘ɸ–8àS‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘uO¸“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ p²=:‘ǵW‘7:Ž¡‘eѲT–ò$h“e“o“r“e“mŽŽ‘B<éLet–Êthe“quadratic“form“µ [Ù²(µ";‘ª¨zšp—²)‘„=Ÿü‘K·±1Ž‘K·Ÿ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ {]²[µDG²(µ"–¿Ø¸ “µB‘ €qz˜²)]“¸“²(µ"“¸ “µB‘ €qz˜²)“+Ÿü‘ó±1Ž‘óŸ£&‰ fe üsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘ "±²(µLz˜²)“¸“µz‘a²b•Ge›Êp“ositiv¸ãe˜denite˜onŽ¡‘íÊN¸S‘ ¿üŸü^ÿ±3Ž‘©—¸‘m(µI›ÿ:RÇŸü^ÿ´NŽ‘ ˜ð²and–ïxlet“µg‘"ñ²:–ǵI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ p¸!“µI˜RÇŸü^ÿ´NŽ‘ ˜ð²bGe–ïxmaximal“monotone“with“µg[Ù²(0)–Ç=“0‘ª¨µ:–ïx²Let“ –Ǹ“µI˜RÇŸü^ÿ±3Ž‘²²bšGe–ïxan“op˜en“set“for“the“Diric¸ãhletŽ¡‘íÊNbšGoundary-v‘ÿqÇalue–¦Áproblem“and“let“ “b˜e“an“op˜en,‘»b˜ounded“set“with“Lipsc¸ãhitz“b˜oundary“for“the“Neumann“b˜oundary-Ž¡‘íÊNv‘ÿqÇalue–H4problem.‘JcThen“the“opGerator“¸ µC‘û²:–[ßµLŸü^ÿ±2Ž›|s²( µ;‘ª¨W‘c²)“¸!“µLŸü^ÿ±2Ž˜²( µ;‘ª¨W‘c²)–H4is“maximal“monotone,‘„ëif“the“space“µLŸü^ÿ±2Ž˜²( µ;‘ª¨W‘c²)“isŽ¡‘íÊNequipšGed–UUwith“the“scalar“pro˜ductŽ¡‘Í~¸h²(µv[Ù;–ª¨e;“zšp—²)µ;“²(Ÿú~™‰ fe 4½ŸgµvŽŽ‘4½;“Ÿú~™‰ fe ¨ŸgeŽŽ‘R©;“Ÿú~™‰ fe ŸgzŽŽ‘ÁƲ)¸i–Dz=“Ÿ÷ñÄ«RŽ‘üŸŽ<± Ž‘_ûµv‘”¹¸‘8àŸú~™‰ fe 4½ŸgµvŽŽ‘ ¦}²+–8à[µDG²(µe“¸ “µB‘ €qz˜²)]“¸“²(Ÿú~™‰ fe ¨ŸgµeŽŽ‘àḠ“µB‘ €qŸú~™‰ fe ŸgzŽŽ‘—²)“+“(µLz˜²)“¸“Ÿú~™‰ fe ŸgµzŽŽ‘ú¦dx‘ª¨:Ž¡‘íÊN²The–Ùtheorem“is“pro•¸ãv“ed–Ùin“[1].‘¿RThe“theory“of“ev¸ãolution“equations“to“maximal“monotone“opGerators“(see“[2])“yieldsŽ¡‘íÊNexistence–UUof“global“solutions“to“large“initial“data“of“our“problem.ŽŸk1‘!UË3.‘pA–ÕTnoncošQÇerciv®9e“example“-“the“monotone“mo˜del“of“Bo˜dner-P®9artomŽŽŽ¦‘íÊN²In–F?the“mošGdel“of“Bo˜dner-Pš¸ãartom“the“v˜ector“µz‘¶Ö²of“in˜ternal“v‘ÿqÇariables“consists“of“the“nine“compGonen˜ts“of“the“plasticŽ¡‘íÊNstrain–œÜtensor“µ"Ÿÿ´pŽ‘Iú²,›®½and“of“one“pGositiv¸ãe“v‘ÿqÇariable“µy‘²,˜whicš¸ãh“describGes“isotropic“hardening.‘H[Th˜us“µN‘Uh²=‘>M10›ª¨,‘®½and“µzp—²(µx;˜t²)‘>M=Ž¡‘íÊNŸ÷æb« ŽŽŽ‘ò_¥µ"Ÿÿ´pŽ‘ŸR²(µx;–ª¨t²)µ;“yš[Ù²(µx;“t²)Ÿ÷æb«ŽŽŽ‘\o¸2‘ǵI‘ÿ:RÇŸü^ÿ±10Ž‘â²with‘UUµy˜²(µx;“t²)–ǵ>“²0‘ª¨.‘qÇThe–UUconstitutiv¸ãe“equations“are“in“the“formŽŸ¨²Ÿù<$’ Ž°6µ@Ž’ ŒáýŸw‰ fe yÇŸ (Ö@‘ Ž8tŽŽŽŽ’ ™9Ÿ"Ÿÿ´pŽ‘fj²=‘ǵF‘cŸ÷æb« ŽŽŽŸù<$‘,¸jµ[Ù¸jŽ‘,Ÿw‰ fe äŸ (Ö‘.öµyŽŽŽŽ‘ 0Ÿ÷æb«ŽŽŽŸù<$‘:µŽ‘sbŸw‰ fe äŸ (Ö¸jµ[Ù¸jŽŽŽŽ‘)ò!µ;Ÿù<$‘¬@Ž‘ÝÝŸw‰ fe yÇŸ (Ö@‘ Ž8tŽŽŽŽ‘#5y‘"ñ²=Ÿù<$‘úK¸jµ[Ù¸jŽ‘úKŸw‰ fe äŸ (Ö‘.öµyŽŽŽŽ‘y F‘cŸ÷æb« ŽŽŽŸù<$‘,¸jµ[Ù¸jŽ‘,Ÿw‰ fe äŸ (Ö‘.öµyŽŽŽŽ‘ 0Ÿ÷æb«ŽŽŽŽŸ³§‘íÊN²where‘ÝYµF‘ W²:–©ÈµI›ÿ:RŸÿ±+Ž‘ MX¸!“µI˜RŸÿ±+Ž‘N8²,‘ÿZis–ÝYa“givš¸ãen“function“and“µ‘¡²=‘©ÈµT‘÷¸ Ÿü‘ÆÀ±1Ž‘ÆÀŸ£&‰ fe üsŸ¿˜3ŽŽŽŽ‘öf²(tr‘ª¨µT‘c²)–“¸“µI‘sŠ².‘ ÓIt–ÝYis“pro˜v˜ed,‘ÿZthat“the“moGdel“is“of“monotoneŽ¡‘íÊNt¸ãypšGe–I8only“for“µF‘c²(µs²)–Ç=“µdsŸü^ÿ´Ž‘®²(a–I8homogeneous“p˜o•¸ãw“er–I8function)“(µ‘N4>‘Dz1).‘m½Th¸ãus“the“system“of“equations“for“the“monotoneŽ¡‘íÊNmošGdel–UUof“Bo˜dner-P¸ãartom“has“the“formŽŸ$ºÏŸôk‘&UµvŸÿ´tŽŽ‘=‹²=Ž‘OR