(* funkcja do rozwiniecia *)
f[x_]:=Abs[x];
f[x_]:=x;
f[x_]:=Abs[x];
(*f[x_]:=x^2/4;
f[x_]:=If[x>2,1,0];*)
(* przedluzenie do funkcji okresowej *)
g[u_]:=f[Pi Mod[(u+Pi)/Pi,2]-Pi];
Plot[g[u],{u,-10,10},PlotStyle->Thick,PlotRange->All,ImageSize->400]

(* Dlugosc rozwinięcia *)
max=10;
(* Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji o okresie 2π *)
ϕ[F_,G_]:=Integrate[F G,{x,-π,π}]

(* Wyraz staly *)
a=N[ϕ[f[x],1]/(2π)]

(* Wspolczynniki przy cosinusach *)
b=N[Table[ϕ[f[x], Cos[k x]]/Pi,{k,1,max}]]

(* Wspolczynniki przy sinusach *)
c=N[Table[ϕ[f[x], Sin[k x]]/Pi,{k,1,max}]]

(* 
Rzut funkcji f na przestrzen rozpieta przez sin(kt) i cos (kt) dla k≤n 
*)
szereg[x_]:=a+Sum[b[[k]]Cos[k x]+c[[k]]Sin[k x],{k,1,max}];
Print[szereg[x]];

szeregt[x_,t_]:=a+Sum[Exp[-k^2t](b[[k]]Cos[k x]+c[[k]]Sin[k x]),{k,1,max}];
Print[szereg[x]];
Manipulate[Plot[{g[x],szeregt[x,t]},{x,-10,10},PlotStyle->Thick,PlotRange->All,ImageSize->400],{t,0,5,0.001}]