1. Rozwiąż układ równań
$$\left\{\begin{array}{rrr} 2 x &+& 3 y &=& 1 \\ 3 x &+& y &=& 0 \\ \end{array}\right.$$from gal import IMatrix
A = IMatrix([[2, 3, 1], [3,1,0]], separate=1, var=['x', 'y'])
show(A.as_equations())
A.as_equations().rescale_row(0, -3)
A.as_equations().rescale_row(1, 2)
A.as_equations().add_multiple_of_row(0, 1, 1)
A.as_equations().rescale_row(0, -1/7)
A.as_equations().add_multiple_of_row(1, 0, -2)
A.as_equations().rescale_row(1, 1/6)
A.as_equations().swap_rows(0, 1)
2. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{cccccl} x &+& y && &=& 1 \\ x &+& 2 y &-& 3 z &=& -3 \\ 2 x &+& 4 y &+& z &=& 1 \\ \end{array}\right.$$
# (x, y, z) = (2, -1, 1)
A = IMatrix([[1,1,0,1], [1,2,-3,-3], [2,4,1,1]], separate=1, var=['x','y','z'])
show(A.as_equations())
A.as_equations().add_multiple_of_row(2, 1, -2)
A.as_equations().rescale_row(2, 1/7)
show(A.as_equations())
show(A)
A.add_multiple_of_row(1,2,3)
show(A.as_equations())
A.add_multiple_of_row(1, 0, -1)
A.add_multiple_of_row(0, 1, -1)
show(A.as_equations())
3. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccl} 3 x &+& y &+& z &=& -1 \\ x&& &+& 2 z &=& -6 \\ && 3 y &+& 2 z &=& 0 \\ \end{array}\right.$$
A = IMatrix([[3,1,1,-1], [1,0,2,-6], [0,3,2,0]], separate=1, var=['x','y','z'])
show(A)
A.add_multiple_of_row(0, 1, -3)
A.swap_rows(0,1)
A.add_multiple_of_row(2, 1, -3)
A.rescale_row(2, 1/17)
show(A.as_equations())
A.add_multiple_of_row(0, 2, -2)
A.add_multiple_of_row(1, 2, 5)
show(A.as_equations())
4. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccl} 2 x &+& 3 y &+& 2 z &=& 1 \\ 3 x &+& 4 y &+& 2 z &=& 2 \\ 4 x &+& 2 y &+& 3 z &=& 3 \\ \end{array}\right.$$
# x = 8/7, y = -1/7, z = -3/7
5. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x&+& y&+& z&+& t &=& 1 \\ 2 x &+& 2 y &+& z &+& t &=& 0 \\ 3 x &+& 2 y &+& 3 z &+& 2 t &=& 3 \\ 6 x &+& 4 y &+& 3 z &+& 2 t &=& 2 \\ \end{array}\right.$$
# x = 1, y = -2, z = 3, t = -1
6. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccccccl} x &-& 2 y && &+& 3 s &+& t &=& 1 \\ 2 x &-& 3 y &+& z &+& 8 s &+& 2 t &=& 3 \\ x &-& 2 y &+& z &+& 3 s &-& t &=& 1 \\ && y&& &+& 3 s &+& 5 t &=& 0 \\ x &-& 2 y && &+& 5 s &+& 8 t &=& -1 \\ \end{array}\right.$$
A = IMatrix([[1,-2,0,3,1,1], [2,-3,1,8,2,3],[1,-2,1,3,-1,1],[0,1,0,3,5,0],[1,-2,0,5,8,-1]], separate=1, var=['x','y','z','s','t'])
show(A)
A.add_multiple_of_row(2, 0, -1)
A.add_multiple_of_row(0, 4, -1)
A.swap_rows(0,4)
A.add_multiple_of_row(1, 0, -2)
A.add_multiple_of_row(0, 3, 2)
A.add_multiple_of_row(3, 1, -1)
A.add_multiple_of_row(3, 2, 1)
A.add_multiple_of_row(3, 4, 2)
A.add_multiple_of_row(4, 3, 2)
A.rescale_row(4,-1)
7. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x &+& 2 y &+& z &+& t &=& 7 \\ 2 x &-& y &-& z &+& 4 t &=& 2 \\ 5 x &+& 5 y &+& 2 z &+& 7 t &=& 1 \\ \end{array}\right.$$
8. Rozwiąż układ równań $$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x &+& 2 y &+& 3 z &+& t &=& 1 \\ 2 x &+& 4 y &-& z &+& 2 t &=& 2 \\ 3 x &+& 6 y &+& 10 z &+& 3 t &=& 3 \\ x&+& y&+& z&+& t &=& 0 \\ \end{array}\right.$$
9. Rozwiąż układ równań $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & 2 & 1 & -1 & 0\\ 5 & -1 & 1 & 2 & -4\\ 7 & 8 & 1 & -7 & 6\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\ \end{array}\right]$$
10. Rozwiąż układ równań $$\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & -3 & 1 & -2 & 1 & -5\\ 2 & -6 & 0 & -4 & 1 & -10\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 6 & 2 & 4 & 0 & 10\\ -2 & 6 & 4 & 4 & 1 & 10\\ -1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 5\\ \end{array}\right]$$
11. W zależności od wartości parametru $a$ powiedzieć, czy układ ma jedno rozwiązanie / ma wiele rozwiązań / jest sprzeczny. $$ \left\{\begin{array}{ccccccl} a x&+& y&+& z&=&a - 1 \\ x&+& y&+&a z &=& 1 \\ x&+&a y&+& z&=&-a + 1 \\ \end{array}\right.$$
12. Niech $a, b, c$ będą trzema różnymi liczbami rzeczywistymi. Znaleźć wielomian kwadratowy $$W(x) = \lambda x^2 + \mu x + \nu$$ taki, że $$W(a) = 7, W(b) = 4 \text{ i } W(c) = 9.$$