Ćwiczenia I (15 X 2020). Układy równań¶

1. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{rrr} 2 x &+& 3 y &=& 1 \\ 3 x &+& y &=& 0 \\ \end{array}\right.$$

2. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{cccccl} x &+& y && &=& 1 \\ x &+& 2 y &-& 3 z &=& -3 \\ 2 x &+& 4 y &+& z &=& 1 \\ \end{array}\right.$$

3. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccl} 3 x &+& y &+& z &=& -1 \\ x&& &+& 2 z &=& -6 \\ && 3 y &+& 2 z &=& 0 \\ \end{array}\right.$$

4. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccl} 2 x &+& 3 y &+& 2 z &=& 1 \\ 3 x &+& 4 y &+& 2 z &=& 2 \\ 4 x &+& 2 y &+& 3 z &=& 3 \\ \end{array}\right.$$

5. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x&+& y&+& z&+& t &=& 1 \\ 2 x &+& 2 y &+& z &+& t &=& 0 \\ 3 x &+& 2 y &+& 3 z &+& 2 t &=& 3 \\ 6 x &+& 4 y &+& 3 z &+& 2 t &=& 2 \\ \end{array}\right.$$

6. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccccccl} x &-& 2 y && &+& 3 s &+& t &=& 1 \\ 2 x &-& 3 y &+& z &+& 8 s &+& 2 t &=& 3 \\ x &-& 2 y &+& z &+& 3 s &-& t &=& 1 \\ && y&& &+& 3 s &+& 5 t &=& 0 \\ x &-& 2 y && &+& 5 s &+& 8 t &=& -1 \\ \end{array}\right.$$

7. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x &+& 2 y &+& z &+& t &=& 7 \\ 2 x &-& y &-& z &+& 4 t &=& 2 \\ 5 x &+& 5 y &+& 2 z &+& 7 t &=& 1 \\ \end{array}\right.$$

8. Rozwiąż układ równań

$$\left\{\begin{array}{ccccccccl} x &+& 2 y &+& 3 z &+& t &=& 1 \\ 2 x &+& 4 y &-& z &+& 2 t &=& 2 \\ 3 x &+& 6 y &+& 10 z &+& 3 t &=& 3 \\ x&+& y&+& z&+& t &=& 0 \\ \end{array}\right.$$

9. Rozwiąż układ równań

$$\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & 2 & 1 & -1 & 0\\ 5 & -1 & 1 & 2 & -4\\ 7 & 8 & 1 & -7 & 6\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\ \end{array}\right]$$

10. Rozwiąż układ równań

$$\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & -3 & 1 & -2 & 1 & -5\\ 2 & -6 & 0 & -4 & 1 & -10\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 6 & 2 & 4 & 0 & 10\\ -2 & 6 & 4 & 4 & 1 & 10\\ -1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 5\\ \end{array}\right]$$

11. W zależności od wartości parametru $a$ powiedzieć, czy układ ma jedno rozwiązanie / ma wiele rozwiązań / jest sprzeczny.

$$\left\{\begin{array}{ccccccl} a x&+& y&+& z&=&a - 1 \\ x&+& y&+&a z &=& 1 \\ x&+&a y&+& z&=&-a + 1 \\ \end{array}\right.$$

12. Niech $a, b, c$ będą trzema różnymi liczbami rzeczywistymi. Znaleźć wielomian kwadratowy

$$W(x) = \lambda x^2 + \mu x + \nu$$ taki, że $$W(a) = 7, W(b) = 4 \text{ i } W(c) = 9.$$