<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[notitlepage]{article} 
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{anysize}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\marginsize{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}

\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Propozycja}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Wniosek}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definition}{Definicja}
\newtheorem{example}{PrzykĹad}
\newtheorem{remark}[theorem]{Uwaga}

\title{Analiza I.1, seria VI}  
\author{Adam Michalik}

\begin{document}
\maketitle

\paragraph{Zadanie 1}
OczywiĹcie mamy:
\begin{equation}
  0 \leq \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} \leq \sqrt{x_n}
\end{equation}
zatem jeĹźeli $\sum x_n$ jest zbieĹźny, to teza wynika z kryterium
porĂłwnawczego. 

JeĹźeli natomiast $\sum \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}}$ jest zbieĹźny, to
oczywiĹcie $ \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} \to 0$, stÄd dla d.d.d. $n$:
\begin{eqnarray}
  \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} &amp;&lt;&amp; \frac{1}{2} \\
  \sqrt{x_n} &amp;&lt;&amp; \frac{1}{2} \sqrt{1+x_n} \\
  x_n &amp;&lt;&amp; \frac{1}{4}(1 + x_n)  \\
  \frac{3}{4} x_n &amp;&lt;&amp; \frac{1}{4} \\
  x_n &amp;&lt;&amp; \frac{1}{3} 
\end{eqnarray}
zatem:
\begin{equation}
  0 &lt; \sqrt{\frac{x_n}{1 + \frac{1}{3}}} &lt; \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} 
\end{equation}
skÄd $\sum \sqrt{\frac{x_n}{1 + \frac{1}{3}}}$ jest zbieĹźny, ale wtedy
rĂłwnieĹź $\sum \sqrt{x_n}$ zbieĹźny.

\paragraph{Zadanie 2}
\subparagraph{a)}
OczywiĹcie szereg nie jest zbieĹźny: 
\begin{eqnarray}
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})} &amp;=&amp;
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})}[n\,
  \rm{parzyste}] \\ 
  &amp;+&amp; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n +
    n^2(1+(-1)^{n+1})}[n\, \textrm{nieparzyste}] \\  
  &amp;=&amp; \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1 +2
  (2n-1)^2}
\end{eqnarray}

OczywiĹcie pierwszy ze skĹadnikĂłw nie jest rozbieĹźny, a drugi jest
zbieĹźny (bo jest bezwzglÄdnie zbieĹźny, gdyĹź wyraz ogĂłlny jest
ograniczony z gĂłry przez bewzglÄdnie zbieĹźny szereg $\sum
\frac{1}{n}$), zatem gdyby wyjĹciowy szereg byĹ zbieĹźny, to zbieĹźny
byĹby rĂłwnieĹź szereg:
\begin{equation}
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})} +
  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1 +2 (2n-1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}
\end{equation}

\subparagraph{b)}
Oczywiste jest, Ĺźe dla $|a| &gt; 2$ wyraz ogĂłlny nie zbiega do 0, szereg
zatem jest rozbieĹźny.

Skorzystajmy z kryterium Cauchy'ego:
\begin{equation}
  \sqrt[n]{\left|\frac{a(n+1)}{2n+1}\right|^{3n}} =
  \left|\frac{a(n+1)}{2n+1}\right|^{3} \to \frac{|a|^3}{8}
\end{equation}
stÄd dla $|a| &lt; 2$ szereg jest bezwzglÄdnie zbieĹźny. 

Niech $a = 2$. Wtedy 
\begin{eqnarray}
  \left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)^{3n} &amp;=&amp; \left(1 +
    \frac{1}{2n+1}\right)^{3n} \\
  &amp;=&amp; \left(\left(1 +
      \frac{1}{2n+1}\right)^{2n+1}\right)^{\frac{3n}{2n+1}} \to e^{\frac{3}{2}}
\end{eqnarray}
zatem dla $a=2$ szereg jest rozbieĹźny. OczywiĹcie podciÄg zĹoĹźony z
wyrazĂłw o parzystym indeksie jest rĂłwnieĹź zbieĹźny do
$e^{\frac{3}{2}}$, ale jest on rĂłwnieĹź podciÄgiem ciÄgu wyrazĂłw
szeregu dla $a = -2$, skÄd ciÄg wyrazĂłw szeregu dla $a = -2$ ma
podciÄg, ktĂłry nie jest zbieĹźny do $0$, zatem dla $a=-2$ szereg
rĂłwnieĹź jest rozbieĹźny. 

\paragraph{Zadanie 3}
Zbadajmy najpiew bezwzglÄdnÄ zbieĹźnoĹÄ. OczywiĹcie:
\begin{equation}
  \sum_{n=0}^\infty |x^n - x^{n+1}| = \sum_{n=0}^\infty |x^n| |1 - x|
  = |1-x| \sum_{n=0}^\infty |x^n|
\end{equation}
wiÄc mamy szereg geometryczny, ktĂłry oczywiĹcie jest zbieĹźny dla $|x|
&lt; 1$, oraz $x = 1$, bo wtedy wszystkie wyrazy rĂłwnajÄ siÄ zeru. 

BadajÄc zbieĹźnoĹÄ warunkowÄ widzimy, Ĺźe ciÄg sum czeĹciowych szeregu
ma postaÄ:
\begin{equation}
  \sum_{n=0}^{N} (x^n - x^{n+1}) = 1 -  x^{N+1}
\end{equation}
skÄd w sposĂłbo oczywisty widaÄ, Ĺźe szereg jest zbieĹźny tylko wtedy,
gdy $|x| &lt; 1$, a suma jest rĂłwna $1$.

\paragraph{Zadanie 4}
OczywiĹcie szereg nie jest bezwzglÄdnie zbieĹźny: wystarczy przyjÄÄ za
$a_n = 1$, wtedy szereg $\sum \frac{1}{\ln n}$ jest rozbieĹźny.

OczywiĹcie szereg $\sum (-1)^n(g-a_n)$ jest zbieĹźny z kryterium
Leibniza. Oznaczmy jego sumÄ przez $C$. Wtedy d.d.d. $N$ mamy:
\begin{eqnarray}
|\sum_{n=1}^N (-1)^n(g-a_n)| &amp;&lt;&amp; 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n - \sum_{n=1}^N (-1)^n g| &amp;&lt;&amp; 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n| - |\sum_{n=1}^N (-1)^n g| &amp;&lt;&amp; 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n| &amp;&lt;&amp; 2C+g  
\end{eqnarray}
zatem ciÄg sum czÄĹciowych $(-1)^n a_n$ jest ograniczony,
$\frac{1}{\ln n}$ zbiega monotonicznie do 0, wiÄc teza wynika z
kryterium Dirichleta.

\end{document}
</pre></body></html>