Clear[f];

f[x_,y_]:=(x^2)(y^3)(6-x-y)

Manipulate[Show[Plot3D[(x^2)(y^3)(6-x-y),{x,-10,10},{y,-10,10},ColorFunction->Function[{x,y},Directive[Opacity[0.1],Blue]],Mesh->ff,MeshStyle->Opacity[0.2],AxesLabel->{"x","y","z"}],ParametricPlot3D[{t,0,0},{t,-8,8},ColorFunction->Function[t,Directive[Opacity[1],Green]]],ParametricPlot3D[{0,t,0},{t,-8,8},ColorFunction->Function[t,Directive[Opacity[1],Green]]],ParametricPlot3D[{t,6-t,0},{t,-8,8},ColorFunction->Function[t,Directive[Opacity[1],Green]]],Graphics3D[{Red,PointSize[0.02],Point[{2,3,f[2,3]}]}]],{{ff,True,"Mesh"},{False,True}},SaveDefinitions->True]

Rozważmy funkcję ograniczoną do trójkąta. Musi przyjnmować wartość maksymalną albo na krawędzi albo wewnątrz, w punkcie krytycznym. Ale funkcja jest zerowa na granicy. Więc w punkcie krytycznym będzie maksimum.

f[x,0]

D[f[x,y],{{x,y}}]//Simplify

f[x,y]

f[2,3]

Reduce[D[f[x,y],{{x,y}}]==0,{x,y}]

To znaczy że  punkty krytyczne: to (2,3) oraz wszystkie punkty  (0,y) (oś x) i (x,0) (oś y). Tylko (2,3) jest wewnątrz.

f[2,3]

Ponieważ funkcja jest dodatnia w (2,3) i 0 na krawędzi, w (2,3) mamy globalne maksimum funkcji ograniczonej do trójkąta, a więc także lokalne.

Teraz musimy zbadać zachowanie się f przy prechodzeniu przez granicę.

f[x_,y_]:=(x^2)(y^3)(6-x-y)

Show[ContourPlot[(x^2)(y^3)(6-x-y)==0,{x,-16,16},{y,-16,16},Axes->True],Graphics[{Text[Sign[f[2,3]],{2,3}],Text[Sign[f[4,4]],{4,4}],Text[Sign[f[-2,10]],{-2,10}],Text[Sign[f[-2,4]],{-2,4}],Text[Sign[f[-2,-2]],{-2,-2}],Text[Sign[f[1,-2]],{1,-2}],Text[Sign[f[9,-2]],{9,-2}]}]]

Sprawdzimy co by wyszło gdybyśmy użyli drugich pochodnych.

hh=D[f[x,y],{{x,y},2}]/.{x->2,y->3}

PositiveDefiniteMatrixQ[hh]

NegativeDefiniteMatrixQ[hh]

hh1=D[f[x,y],{{x,y},2}]/.{x->0}

hh2=D[f[x,y],{{x,y},2}]/.{y->0}

a)

Clear[f,g]

f[x_,y_]:=(x^2) +(y^2)

g[x_,y_]:=7-2x-3y

Show[Plot3D[(x^2)+(y^2),{x,-5,5},{y,-5,5},ColorFunction->Function[{x,y},Directive[Opacity[0.2],Blue]],Mesh->False],ParametricPlot3D[{x,(7-2x)/3,(x^2)+((((7-2x)/3))^2)},{x,-5,5},ColorFunction->Function[{x,y},Red]],ParametricPlot3D[{x,(7-2x)/3,0},{x,-5,5},ColorFunction->Function[{x,y},Red]]]

sols=Solve[{D[f[x,y],{{x,y}}]==λ D[g[x,y],{{x,y}}],g[x,y]==0},{x,y,λ}]

f[x,y]/.sols//First

Maximize[{f[x,y],g[x,y]==0},{x,y}]

Minimize[{f[x,y],g[x,y]==0},{x,y}]

For large positive x and for large negative x the function tends to ∞. Hence (49/13) is minimum.

b)

Clear[f,g]

f[x_,y_]:=Sqrt[(x-2)^2+y^2];

g[x_,y_]:=1-x^2-y^2;

Show[Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y},Directive[Opacity[0.2],Blue]],Mesh->False],ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],f[Cos[t],Sin[t]]},{t,-Pi,Pi},ColorFunction->Function[{x,y},Red]],ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0},{t,-Pi,Pi},ColorFunction->Function[{x,y},Red]],PlotRange->All]

Solve[{D[f[x,y],{{x,y}}]==λ D[g[x,y],{{x,y}}],g[x,y]==0},{x,y,λ}]

Maximize[{f[x,y],g[x,y]==0},{x,y}]

Minimize[{f[x,y],g[x,y]==0},{x,y}]

c)

f[x_,y_,z_]:=x y z

(Subscript[g, 1])[x_,y_,z_]:=1-x-y-z

(Subscript[g, 2])[x_,y_,z_]:=1-(x^2)-(y^2)-(z^2)

ParametricPlot3D[{{x,y,1-x-y},{x,y,Sqrt[1-x^2-y^2]},{x,y,-Sqrt[1-x^2-y^2]}},{x,-1,1},{y,-1,1},Mesh->False]

D[{(Subscript[g, 1])[x,y,z],(Subscript[g, 2])[x,y,z]},{{x,y,z}}]

sols=Solve[{D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]==λ D[(Subscript[g, 1])[x,y,z],{{x,y,z}}]+μ D[(Subscript[g, 2])[x,y,z],{{x,y,z}}],(Subscript[g, 1])[x,y,z]==0,(Subscript[g, 2])[x,y,z]==0},{x,y,z,λ,μ}]

f[x,y,z]/.sols

Maximize[{f[x,y,z],(Subscript[g, 1])[x,y,z]==0,(Subscript[g, 2])[x,y,z]==0},{x,y,z}]

Minimize[{f[x,y,z],(Subscript[g, 1])[x,y,z]==0,(Subscript[g, 2])[x,y,z]==0},{x,y,z}]

D[(Subscript[g, 2])[x,y,z],{{x,y,z}}]

e)

f[x_,y_]:=(x^2)+12 x y + 2(y^2)

Show[Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.5],Red}],RegionFunction->Function[{x,y,z},4(x^2)+(y^2)≤25]],ParametricPlot3D[{5Cos[t]/2,5Sin[t],0},{t,0,2Pi}]]

Solve[D[f[x,y],{{x,y}}]==0,{x,y}]

f[0,0]

D[f[x,y],{{x,y}}]==λ D[g[x,y],{{x,y}}]

g[x_,y_]:=4(x^2)+(y^2)-25

rules=Solve[{g[x,y]==0,D[f[x,y],{{x,y}}]==λ D[g[x,y],{{x,y}}]},{x,y,λ}]

f[x,y]/.rules

(j)

Clear[f,g1,g2]

5

f[x_,y,z_]:=x+y+z

Nie ma punktów krytycznych (fukcja liniowa).

g1[x_,y_,z_]:=(x^2)+(y^2)-z

g2[x_,y_,z_]:=z-1

Jeszcze jest

RegionPlot3D[x^2+y^2≤z≤1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,0,1}]

Powierzchnia boczna :

D[g1[x,y,z],{{x,y,z}}]

Maksymalny rząd.

D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]

r1=Solve[{g1(x,y,z)==0,((∂f(x,y,z))/(∂{x,y,z}))==λ ((∂g1(x,y,z))/(∂{x,y,z}))},{x,y,z,λ}]

f[x,y,z]/.r1[[1]]

Powierchnia górna

D[{g1[x,y,z],g2[x,y,z]},{{x,y,z}}]

Maksymalny rząd jeśli x≠0 lub y≠0.

r2=Solve[{g1(x,y,z)==0,g2(x,y,z)==0,((∂f(x,y,z))/(∂{x,y,z}))==λ ((∂g1(x,y,z))/(∂{x,y,z}))+μ ((∂g2(x,y,z))/(∂{x,y,z}))},{x,y,z,λ,μ}]

f[x,y,z]/.r2

Na górnej części: nie ma puntków krytycznych w środku więc

Clear[f,g]

f[x_,y_]:=x+y+1

g[x_,y_]:= (x^2)+(y^2)-1

D[g[x,y],{{x,y}}]

{x,y}/. Solve[{g(x,y)==0,((∂f(x,y))/(∂{x,y}))==λ ((∂g(x,y))/(∂{x,y}))},{x,y,λ}]

f[x,y]/.Solve[{g[x,y]==0,D[f[x,y],{{x,y}}]==λ D[g[x,y],{{x,y}}]},{x,y,λ}]

Clear[f,g]

f[x_,y_,z_]:=x+y+z

Minimum

f[-1/2,-1/2,1/2]

f[(1/(Sqrt[2])),(1/(Sqrt[2])),1]

(k)

Clear[f,g1,g2]

f[x_,y_,z_]:=x+2y

g1[x_,y_,z_]:=(x^2)+(y^2)-1

g2[x_,y_,z_]:=2(y^2)+9(z^2)-1

RegionPlot3D[g1[x,y,z]<=0&&g2[x,y,z]≤1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.5],Green}],Mesh->False,AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->False]

Show[RegionPlot3D[g1[x,y,z]<=0,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.5],Red}],Mesh->False],RegionPlot3D[g2[x,y,z]<=0,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},AxesLabel->{"x","y","z"},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.5],Blue}],Mesh->False],AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->False]

((∂{g1(x,y,z),g2(x,y,z)})/(∂{x,y,z}))

maksymalny rząd poza x=0,z=0.

rls=Solve[{g2(x,y,z)==0,g1(x,y,z)==0,((∂f(x,y,z))/(∂{x,y,z}))==λ ((∂g1(x,y,z))/(∂{x,y,z}))+μ ((∂g2(x,y,z))/(∂{x,y,z}))},{x,y,z,λ,μ},ℝ]

f[x,y,z]/.rls

N[%]

(l)

Clear[f,g1,g2]

f[x_,y_,z_]:= x+2y

g1[x_,y_,z_]:= (x^2)+(y^2)+(z^2)-1

g2[x_,y_,z_]:= (x^2)+4(y^2)+9(z^2)-1

D[{g1[x,y,z],g2[x,y,z]},{{x,y,z}}]

rls=Solve[{g2[x,y,z]==0,g1[x,y,z]==0,D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]== λ D[g1[x,y,z],{{x,y,z}}]+μ D[g2[x,y,z],{{x,y,z}}]},{x,y,z,λ,μ},Reals]

Show[ContourPlot3D[(x^2)+4(y^2)+9(z^2)==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.2],Blue}],Mesh->False],ContourPlot3D[(x^2)+(y^2)+(z^2)==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.2],Red}],Mesh->False],Ticks->False]

Przecięcie to tylko dwa punkty:

Reduce[{(x^2)+(y^2)+(z^2)==1,(x^2)+4(y^2)+9(z^2)==1},{x,y,z},Reals]

f[1,0,0]

f[-1,0,0]

a)

Clear[c]

rozważamy przedział

x+y==c, x≥ 0,y≥0

i funkcję

f[x_,y_]:=((x^n +y^n)/2)

Szukamy localnych ekstremów na poziomicy x+y==c

D[x+y,{{x,y}}]

D[((x^n +y^n)/2),{{x,y}}]

Lagrange

{x+y==c,{1,1}==λ {(1/2) n (x^(n-1)),(1/2) n (y^(n-1))}}

x==y==(c/2)

f[c/2,c/2]

To musi być minimum a maksima są w {0,c} i {c,0} -  ((c^n)/2)

Czyli funckja zawsze większa od ((c^n)/(2^n))= (((((x+y)/2)))^n)

Manipulate[Show[Plot3D[(((x+y)^3)/2),{x,0,5},{y,0,5},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.3],Green}]],ParametricPlot3D[{t,c-t,0},{t,0,c},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Red}]],ParametricPlot3D[{t,c-t,((t^3+(((c-t))^3))/2)},{t,0,c},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Green}]],Ticks->False],{{c,4,"c"},1,10}]

b)

Niech (Norm2[x, q])= ((((∑_(q=1)^n)(Subscript[x, i]^q)))^(1/q))

Mamy pokazać że

(Norm2[x y, 1])≤(Norm2[x, p]) (Norm2[y, q])

dla

(1/p)+(1/q)==1

Można założyć że (Norm2[x, p])=1 i  (Norm2[x, q])=1.

Wystarczy udowodnić

x y ≤(( (x^p))/p)+((y^q)/q)

p+q==1

Rozważamy funkcję

Solve[(1/p)+(1/q)==1,q]

f[p_][x_,y_]=First[ ((x^p)/p)+((y^q)/q)/.Solve[(1/p)+(1/q)==1,q]]

Reduce[{D[((x^p)/p)+(((p-1) (y^(p/(p-1))))/p),{{x,y}}]== λ D[x y -c,{{x,y}}],x y==c},{x,y,λ}]

Eliminate[D[((x^p)/p)+(((p-1) (y^(p/(p-1))))/p),{{x,y}}]== λ D[x y -c,{{x,y}}],λ]

(y^(1-p))==(x^p)

f[x,y]==((x^p)/p)+(((p-1) (y^(p/(p-1))))/p) == (x^p) == (y^(p/(p-1)))

x y == x (x^(p-1)) == (x^p)

x y == f[x, y]

kiedy f(x,y) jest minimum.

Na hiperbolach  x y = c (c>0,x>0,y>0).

Manipulate[Show[Plot3D[((x^p)/p)+(((p-1) (y^(p/(p-1))))/p),{x,0.1,2},{y,0.1,2},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.3],Green}]],ParametricPlot3D[{t,c/t,c},{t,0.1,10},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Red}]],PlotRange->{{0,2},{0,2},{0,3}},Ticks->None],{{c,0.01,"c"},0.01,3},{{p,1.1,"p"},1.1,2}]

f(x_,y_,z_):=({x,y,z}-{1,1,1}).({x,y,z}-{1,1,1})+({x,y,z}-{2,3,4}).({x,y,z}-{2,3,4})

eq1=Simplify[((∂f(x,y,z))/(∂{x,y,z}))==λ ((∂(3 x-2 z))/(∂{x,y,z}))]

rr=Solve[eq1∧3 x-2 z==0,{x,y,z,λ}]

f[x,y,z]/.rr

f[x,y,z]/.x->2/3 z//FullSimplify

a)

f[x_,y_]:=(((x-1))^2)+2(y^2)

Solve[D[f[x,y],{{x,y}}]==0,{x,y}]

D[f[x,y],{{x,y},2}]

Eigenvalues[%]

Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,-1,1}]