SetOptions[EvaluationNotebook[],CellContext->Notebook]

Rozdział IX

f[R_,α_][t_]:={R Cos[t],R Sin[t],α (t/2)}

D[f[R,α][t],t]

Norm[D[f[R,α][t],t]]//ComplexExpand//FullSimplify

Manipulate[Show[ParametricPlot3D[f[R,α][t],{t,0,2 n Pi}],Graphics3D[{Blue,Arrow[Tube[{f[t,R,α],f[R,α][t]+D[f[R,α][t],t]}]],Red,Point[f[R,α][t]]}]/.t->β,PlotRange->{{-12,12},{-12,12},{0,18}}],{{β,Pi/2,"t"},0,2n Pi,Appearance->"Labeled"},{{R,2,"R"},0,4,Appearance->"Labeled"},{{α,1,"α"},0.1,2,Appearance->"Labeled"},{{n,1,"n"},1,5,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Zadanie (praca domowa)

Zrób podobną ilustrację to części b).

(Subscript[f, 1]):[0,2π]-> (ℝ^2)

(Subscript[f, 1])[t_]:={Cos[t],Sin[t]}

(Subscript[f, 1])[2π]-(Subscript[f, 1])[0]

(Subscript[f, 1])'[x]

{-sin(x),cos(x)}

is never {0, 0}.

Prędkość cząsteczki poruszającej się jednostajnie na kole nidgdy nie jest zero, choć końcowa pozycja (po pełnym obrocie) jest taka sama jak startowa.

Manipulate[Show[Graphics[{Red,Arrow[{{0,0},(Subscript[f, 1])[t]}],Arrow[{{0,0},(Subscript[f, 1])[0]}],Arrow[{(Subscript[f, 1])[0],(Subscript[f, 1])[t]}],Blue,Arrow[{(Subscript[f, 1])[t],(Subscript[f, 1])[t]+(Subscript[f, 1])'[t]}]}],ParametricPlot[(Subscript[f, 1])[t],{t,0,2Pi}],PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],{t,0,2Pi,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Ogólnie twierdzenie o wartości średniej dla funkcji f: (ℝ^n)->(ℝ^m) jest nierównością. W przypadku n=1 mówi ono

(Norm[f(b)-f(a)])≤ (Abs[b-a]) (sup_(t∈[a,b])) (Norm[f'(t)])

Rożniczkowanie funkcji wielu zmiennych w Mathematice

Clear[f,g]

Cząstkowa pochodna względem x

D[f[x,y,z],x]

Cząstkowa pochodna względem  pierwszej zmiennej:

Derivative[1,0,0][f][x,y,z]

Cząstkowa pochodna względem względem  pierwszej zmiennej jako funkcja

Derivative[1,0,0][f]

Cząstkowa pochodnia drugiego stopnia

D[f[x,y],{x,2}]

Mieszana cząstkowa pochodna drugiego stopnia

D[f[x,y],x,y]

D[f[x,y],y,x]

Mathematica zakłada że mieszane pochodne są równe (prawda tylko dla funkcji klasy (C^2)).

D[f[x,y],y,x]==D[f[x,y],x,y]

Mieszane pochodne wyższych stopni:

D[f[x,y],{x,2},{y,3}]

Gradient  w Mathematice.

D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]

Macierz Jacobiego w Mathematice.

D[{f[x,y],g[x,y]},{{x,y}}]

Macierz Hesse w Mathematice :

D[f[x,y],{{x,y},2}]

(a)

Jest to przpadek tak zwanego twierdzenia o jednym punkcie krytycznym, które mówi że jeśli funkcja klasy (C^1) ma tylko jeden punkt krytyczny to jeśli jest on minimum lokalnym to musi być minimum globalnym oraz jeśli jest maksimum lokalnym to musi być także maksimum globalnym. Innymi słowy jeśli funkcja ma makzimum lokalne w pukcie krytycznym które nie jest maksimum globalnym to musi mieć przynajmniej jeszcze jeden punkt krytyczny. To łatwo uzasadnić intuicyjnie a także udowodnić.

Plot[-x^2+2x^4,{x,-1,1}]

Dla funkcji jednej zmiennej: jeśli f'(0)=0 i f(0) nie jest maksimum, funkcja musi być gdzieś rosnąca więc musi mieć punkt  0<y taki że f'(y)≥ 0 i punkt z>0  taki że f'(z)≤ 0 , a więc musi istnieć w pomiędzy z  i y takie że f'(w)==0.

To twierdzenie o jedynym punkcie krytycznym nie jest prawdziwe dla funkcji więcej niż jednej zmiennej. Można to łatwo zilustrować za pomocą poziomic ale przy pomocy Mathematici łatwo także skonstuować konkretny przykład.

g[x_,y_]:=-((((4x))^2)+(((4y))^2) (((1-4x))^3))

Show[Plot3D[g[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},RegionFunction->Function[{x,y,z},x^2+y^2≤1]],Plot3D[0,{x,-1,1},{y,-1,1},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.2],Red}],RegionFunction->Function[{x,y,z},x^2+y^2≤1]],Graphics3D[Point[{0,0,0}]],Ticks->False]

g[x,y]//Simplify

g[1/Sqrt[2],1/Sqrt[2]]//N

g[-1/Sqrt[2],1/Sqrt[2]]//N

g[0,0]

D[g[x,y],{{x,y}}]

Solve[D[g[x,y],{{x,y}}]=={0,0},{x,y}]

D[g[x,y],{{x,y},2}]/.{x->0,y->0}

Macierz jest ujemnie określona, czyli maksimum lokalne.

a)

f[x_,y_,z_]:=x Exp[x+2y]

D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]

b)

f[x_,y_,z_]:=(x^(y^z))

D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]

c)

f[x_,y_]:=Log[x,y]

D[f[x,y],{{x,y}}]

d)

f[x_,y_]:= {ArcTan[x Exp[x+y]],x Sin[x y],(x y)^2}

D[f[x,y],{{x,y}}]

f[x_,y_]:=y Abs[x]

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->False]

a)

If x > 0 lub x < 0 obie pochodne istnieją.  Rozważamy tylko punkty  {0,a}.

Obliczmy pochodną cząstkową względem pierszej zmiennej. Ustalając drugą zmienną =a, funkcja przybiera formę:

f[x,a]

Różniczkowalna tylko kiedy a=0.

Ustalamy pierwszą zmienną x=0. Funkcja jest 0. Rożniczkowalna. Czyli druga pochodna cząstkowa istnieje we wszystkich punktach.

b)

f(x_,y_):=(Sqrt[(x^2)+(y^4)])-(Abs[x])

Jeśli x≠0 to obie pochodne cząstkowe istnieją bo pierwiastek jest różniczkowalny poza zerem i wartość bezwzlgędna także.

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},AxesLabel->{"x","y","z"}]

((f(h,a)-f(0,a))/h)= (((Sqrt[(h^2)+(a^4)])-(Abs[h]) -(a^2))/h)= (((Sqrt[(h^2)+(a^4)])-(a^2))/h)-(((Abs[h]) )/h)

(((Sqrt[(h^2)+(a^4)])-(a^2))/h)== ((((Sqrt[(h^2)+(a^4)])-(a^2))((Sqrt[(h^2)+(a^4)])+(a^2)))/(h((Sqrt[(h^2)+(a^4)])+(a^2))))== (h/(((Sqrt[(h^2)+(a^4)])+(a^2)))) -> 0

pod warunkiem że a≠0 . A więc

(lim_(h->0)) ((f(h,a)-f(0,a))/h)==(lim_(h->0)) -((Abs[h])/h)

Nie istnieje dla żadnego (0,a) jeśli a≠0 . Oczywiście jeśli a==0

((f(h,a)-f(0,a))/h)==0

Więc pochodna istnieje i jest równa 0.

a)

Plot3D[(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2))),{x,-2.4,2.4},{y,-2.4,2.4},PlotRange->All,Exclusions->{{0,0}},Mesh->None,AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->None]

(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2)))/.{x->y}

(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2)))/.{x->0}

f[x_,y_]:=(((x^2)(y^2))/((x^2)(y^2)+(((x-y))^2)))

f[{x_,y_}]:=f[x,y]

f[{0,0}+t{u,v}]//Simplify

Limit[f[t u,t v]/t,t->0]

Ale to nie jest zawsze prawda:

Limit[f[t u,t u]/t,t->0]

Czyli nie istnieje pochodna kierunkowa w kierunku przekątnej.  Ale pochodzne cząstkowe istnieją.

b)

Clear[f]

f[x_,y_,z_]:=((x y +x z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))

((x z+y z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))/.x->-y

((x z+y z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))/.{x->z,y->z}

x=-y   granica 0. x=y=z  granica (2/3)

f[t u,t v,t w]/t//Simplify

granica kiedy t->0 istnieje tulko jeśli   u=0  lub v+w==0.

Oznacza to że wszystkie pochodne cząstkowe istnieją.

c)

(Abs[(((x^2) y)/((y^2) (x^2)+(x^2)+(y^2)))])≤(Abs[(((x^2) y)/((x^2)+(y^2)))])≤(Abs[y])(Abs[((x^2)/((x^2)+(y^2)))])≤(Abs[y])≤\[LeftDoubleBracketingBar](x,y)\[RightDoubleBracketingBar]->0

kiedy ‖(x,y)‖->0 gdzie ‖(x,y)‖= (Sqrt[(x^2)+(y^2)]).

gr=Plot3D[(((x^2)y)/((x^(2 ))(y^2)+(x^2)+(y^2))),{x,-0.5,0.5},{y,-0.5,0.5},PlotRange->All,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.5],Blue}]]

Clear[f]

f[x_,y_]:=(((x^2)y)/((x^2)(y^2)+(x^2)+(y^2)))

Limit[f[t u,t v]/t,t->0]

Simplify[f[t u,t v]/t]

Limit[(((u^2) v)/((u^2) ((t^2) (v^2)+1)+(v^2))),t->0]

Nieliniowa funkcja!

Manipulate[Show[gr,ParametricPlot3D[{t Cos[θ],t Sin[θ], t Cos[θ]^2  Sin[θ]},{t,0,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},Red]]],{θ,0,2Pi},SaveDefinitions->True]

d)

Plot3D[(((x^2)y)/((x^4)+(y^2))),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotRange->All,Exclusions->{x==0,y==0},PlotPoints->100,Mesh->None]

(((x^2) y)/((x^4)+(y^2)))/. x->(Sqrt[y])

gr1=Plot3D[(((x^2)y)/((x^4)+(y^2))),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotRange->All,Exclusions->{x==0,y==0},PlotPoints->50,Mesh->None,ColorFunction->Function[{x,y,z},Directive[Opacity[0.2,Yellow]]]];

gr2=ParametricPlot3D[{x,x^2,1/2},{x,-3,3},PlotStyle->Red];

gr3=ParametricPlot3D[{Sqrt[-y],y,-1/2},{y,-9,0},PlotStyle->Red];

gr4=ParametricPlot3D[{-Sqrt[-y],y,-1/2},{y,-9,0},PlotStyle->Red];

gr5=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-9,9},PlotStyle->Red];
gr6=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-9,9},PlotStyle->Red];

Show[gr1,gr2,gr3,gr4,gr5,gr6,PlotRange->All,AxesLabel->{"x","y","z"}]

Clear[f]

f[x_,y_]:=(((x^2)y)/((x^4)+(y^2)))

Limit[f[t u, t v]/t,t->0]

Simplify[f[t u, t v]/t]

f[x_,y_,z_]:=(x^2)y +x y z + 7 (x^2)-9 z

h[x_,y_,z_]:=f[x+u,y+v,z+w]-f[x,y,z]//Simplify//Expand

h[x,y,z]

h[x,y,z]

lst=MonomialList[h[x,y,z],{u,v,w},"DegreeLexicographic"]

L[u_,v_,w_]=Plus@@Take[lst,-3]

Simplify[Abs[(h[x,y,z]-L[u,v,w])/Sqrt[u^2+v^2+w^2]]]//ExpandAll

(Abs[((2 u v x)/(Sqrt[(u^2)+(v^2)+(w^2)]))])==(Abs[v]) (Abs[x]) (Abs[(u/(Sqrt[(u^2)+(v^2)+(w^2)]))])≤ (Abs[v]) (Abs[x]) -> 0

L[u,v,w]=w x y+u v z+v x z+u y z

f[x_,y_,z_]:=(x^2)y +x y z + 7 (x^2)-9 z

D[f[x,y,z],{{x,y,z}}]

{14 x+2 x y+y z,(x^2)+x z,-9+x y}.{u,v,w}//Expand