ShowPositionVectors2D[l_List,m_List,Opts___]:=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{{0,0},#1}],Text[#2,#1+{0.05,0.05},FormatType->TraditionalForm]}&@@@Transpose[{l,m}]],Opts];
ShowLabeledPositionVectors3D[l_List,m_List,Opts___]:=Block[{},Show[Graphics3D[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{{0,0,0},#1}],Text[#2,#1+{0.05,0.05,0.05},FormatType->TraditionalForm]}&@@@Transpose[{l,m}]],Opts]];
ShowPositionVectors3D[l_List,Opts___]:=Show[Graphics3D[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{{0,0,0},#1}]}&/@l],Opts];

Odległość i Norma

Metryką lub odległością na dowlonym zbiorze X nazywamy funkcję ρ:X×X⟶(SuperPlus[ℝ]) taką że (Subscript[∀, {x,y,z}]){x,y,z}∈ℝ

ρ(x,x)==0

ρ(x,y)==ρ(y,x)

ρ(x,z)+ρ(z,y)≥ρ(x,y)

Przykład. Dowlony zbiór i r(x,y)==1, jeśli x≠y, ρ(x,x)==0. Metryka dyskretna.

Najczęściej X=(ℝ^n).

Odległości w Mathematice.

Wsystkie funkcje w Mathematice które mają w nazwie słowo "Distance" (odległość) można zobaczyć tak:

?*Distance

Na przykład funkcja BinaryDistance  nazywa się także "metryką dyskretną"

BinaryDistance[x,y]

BinaryDistance[x,y]+BinaryDistance[y,z]≥ BinaryDistance[x,z]//FullSimplify

FullSimplify[%,Assumptions->Element[_,Reals]]

Zwykła odległość Euklidesowa to EuclideanDistance

?EuclideanDistance

EuclideanDistance[{a,b,c},{x,y,z}]

ComplexExpand[EuclideanDistance[{a,b,c},{x,y,z}]]

Odległość euklidesowa na przestrzeni (ℂ^n) jest tym samym co ozwykła odległóść euklidesowa na przestrzeni (ℝ^(2n))

ComplexExpand[EuclideanDistance[{x,y},{u,v}],{x,y,u,v}]

Odległość "miejska" to

?ManhattanDistance

ManhattanDistance[{a,b,c},{x,y,z}]

ChessboardDistance[{a,b,c},{x,y,z}]

CanberraDistance[{a,b,c},{x,y,z}]

Przykład.

Udowodnij że ChessboardDistance spełnia nierówność trójkąta (dla trójkąta prostokątnego).

FullSimplify[ChessboardDistance[{a,b},{c,d}]≤ChessboardDistance[{a,b},{a,d}]+ChessboardDistance[{a,d},{c,d}]]

Udowodnij w ogólności.

FullSimplify[ManhattanDistance[{a,b},{c,d}]≤ManhattanDistance[{a,b},{u,v}]+ManhattanDistance[{u,v},{c,d}]]

Funkcja odległości kolejowej nie jest wbudowana w Mathematica ale można ją łatwo zdefiniować.

Manipulate[Graphics[{Tooltip[Line[{p,q}],dist[p,q]],Tooltip[Line[{p,r}],dist[p,r]],Tooltip[Line[{q,r}],dist[q,r]]},PlotRange->{{0,4},{0,4}},Axes->True],{{p,{1,1}},{0,0},{4,4},Locator},{{q,{3,1}},{0,0},{4,4},Locator},{{r,{2,2}},{0,0},{4,4},Locator},{{dist,EuclideanDistance,"distance"},{EuclideanDistance,ManhattanDistance,CanberraDistance,ChessboardDistance,If[#1[[2]]#2[[1]]==#2[[2]]#1[[1]],EuclideanDistance[#1,#2],EuclideanDistance[#1,{1,1}]+EuclideanDistance[#2,{1,1}]]&->"kolejowa"},PopupMenu},Bookmarks->{"1":>{p={2.,2.},q={3.,3.},r={2.,1.}}}]

Topologia.

Metryka na  X daje topologię na X. Aby zdefiniować topologię musimy na X musimy zdefiniować rodzinę tzw “zbiorów otwartych”. 

Otwarta kulal B((Subscript[x, 0]),r) ze środkiem  (Subscript[x, 0]) i promieniem  r>0 to zbiórt B((Subscript[x, 0]),r)= {x∈X, d(x,(Subscript[x, 0]))<r}. Podzbiór N⊂X nazywa się otoczeniem n∈N jeśli istnieje r>0 takie że B(n,r)⊂N. Podzbiór U⊂X  nazywa się otwarty w X jeśli jest otoczeniem wszystkich swoich punktów. Pusty zbiór i cały zbiór  X są otwarte w X.  Domknięte zbiory to dopełnienia zbiorów otwartych.

Żeby zrozumieć topologię w danej metryce należy zrozumieć jak wyglądają otwarte kule. Podajemy program który rysuje otwartą kulę dla danej metryki:

ball[metric_,r_]:= RegionPlot[metric[{x,y},{0,0}]<r,{x,-2r,2r},{y,-2r,2r}]

ball[EuclideanDistance,1]

Zobaczymy teraz że chociaż otwarte kule w różnych metrykach mogą wyglądać różnie, topologie mogą być takie same. Jedna topologia jest silniejsza od drugiej jeśli ma więcej zbiorów otwartych.  Np. jeśli  każda kula pierwszej metryki zawiera kulę drugiej to pierwsza topologia jest słabsza. Jeśli każda kula w jednej metryce zawiera kulę  w drugiej i na odwrót to topologie są takie same.

Show[ball[#[[1]],#[[2]]]&/@{{EuclideanDistance,1},{ManhattanDistance,1/2},{ChessboardDistance,1/4},{EuclideanDistance,1/8}}]

Mówimy że  dwie metryki (Subscript[d, 1])   i  (Subscript[d, 2])  na X są   równoważne jeśli istnieją stałe  (Subscript[c, 1])>0  and  (Subscript[c, 2])>0   takie  że    (Subscript[c, 1]) (Subscript[d, 1])(x,y)≤ (Subscript[d, 2])(x,y)≤ (Subscript[c, 2])(Subscript[d, 1])(x,y)  dla wszystkich x,y∈ X. Łatwo pokazać że wszytkie powyższe metryki są równoważne ale nie są równważne metryce dyskretnej (BinaryDistance).

Przestrzeń  (ℝ^n)

Przestrzeń (ℝ^n): przestrzeń wektorowa. Wektory można dodawać i odejmować  i mnożyć przez skalar.  W Mathematice vector to poprostu lista.

Geometryczne Dodawanie wectorów

u={1,1,3};v={-1,-2,3};

u+v

2u+3v

geometrycznie

ShowLabeledPositionVectors3D[{u,v,u-v},{"u","v","u-v"}]

Normy.

Normą na przestrzeni wektorowej X nazywamy funkcję  (Norm[ ]):X-> (SuperPlus[ℝ]) tąką że

(Norm[x])==0⟺x==0

(Norm[λ x])==λ (Norm[x])

(Norm[x+y])≤(Norm[x])+(Norm[y])

Każda norma definiuje metrykę przez

ρ(x,y)==(Norm[x-y])

ale nie każda metryka pochodzi od jakiejś normy.

Zadanie 3.

Znajdź przykład metryki na przestrzeni wektorowej która nie pochodzi od normy.

p-Normy

Niech p≥1 będzie dowolną liczbą. Wtedy na przestreni (ℝ^n) mamy normę która anzywa się p-normą daną przez

(Norm2[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]), …,(Subscript[x, n])}, p])

W Mathematice mamy

Clear[p]

Norm[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])},3]

Normę euklidesową uzyskujemy biorąc p=2.

Mamy także normę dla p=∞.

Norm[{x, y, z, w}, Infinity]

Możemy zrobić podobną ilustrację dla nom.

Manipulate[Graphics[{Tooltip[Line[{p,q}],Norm[p-q,i]],Tooltip[Line[{p,r}],Norm[p-r,i]],Tooltip[Line[{q,r}],Norm[q-r,i]]},PlotRange->{{0,4},{0,4}},Axes->True],{{p,{1,1}},{0,0},{4,4},Locator},{{q,{3,1}},{0,0},{4,4},Locator},{{r,{2,2}},{0,0},{4,4},Locator},{{i,2,"i"},{Infinity,1,2,3},PopupMenu}]

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów w Mathematice oblicza się przy użyciu .

{a,b,c,d}.{x,y,z,w}

Lub

Dot[{a,b,c,d},{x,y,z,w}]

Normę euklidsową można zdefiniować przez iloczyn skalarny:

Simplify[(Norm[{x,y,z}])==(Sqrt[{x,y,z}.{x,y,z}]),Assumptions->Element[_,Reals]]

Należy zrócić uwagę że w formule

Norm[{x,y,z},2]

wartości bezwzględne są nie potrzebne jeśli mamy doczynienia z liczbami rzeczywistymi ale są potrzebne w przypadku zespolonym.

Iloczyn skalarny może być także zdefiniowany przy pomocy normy:

(OverVector[x]) .(OverVector[y]) == ((((Norm[x+y])^2)-((Norm[x-y])^2))/4)

pod warunkiem że zachodzi "równość równoległoboku"

((Norm[x-y])^2)+((Norm[x+y])^2)==2 (((Norm[x])^2)+((Norm[y])^2))

Dla dowolnej przestrzeni wektorowej V iloczyn skalarny do funkcja  i*V×V -> ℝ z własnościami

i(u,v)==i(v,u)

i(u,v+w)=i(u,v)+i(u,w)

i(α u,v) = α i(u,v)

Udowodnijmy teraz własność normy która pochodzi z iloczynu skalarnego, czyli “równość równoległoboku”.

Block[{u={1,1},v={2,0}},Graphics[{Red,Line[{{0,0},u,u+v,v,{0,0}}],Blue,Line[{{0,0},u+v}],Line[{u,v}]}]]

Dowód:

Clear[u,v]

((Norm[u-v])^2)+((Norm[u+v])^2)==(u-v) (u+v)+(u+v).(u+v)

Distribute[(u+v).(u+v),Plus]+Distribute[(u+v).(u-v),Plus]

to jest to samo co

2 ((Norm[u])^2)+2 ((Norm[v])^2)

Ten dowód działa dla wszystkich przestrzeni wektorowych z iloczynem skalarnym.

Możemy teraz użyć Mathematici do pokazania że  ∞-norm i 3-norma nie pochodzą od iloczynu skalarnego:

FindInstance[2 (Norm[{x,y},3]^2+Norm[{1,0},3]^2)≠Norm[{x,y}+{1,0},3]^2+Norm[{x,y}-{1,0},3]^2&&Element[{x,y},Reals],{x,y}]

FindInstance[2 (Norm[{x,y},Infinity]^2+Norm[{1,0},Infinity]^2)≠Norm[{x,y}+{1,0},Infinity]^2+Norm[{x,y}-{1,0},Infinity]^2&&Element[{x,y},Reals],{x,y}]

Okazuje się że jedyna p-norma która pochodzi od iloczynu skaarnego to 2-norm.

FindInstance[2 (Norm[{x,y},2]^2+Norm[{1,0},2]^2)≠Norm[{x,y}+{1,0},2]^2+Norm[{x,y}-{1,0},2]^2&&Element[{x,y},Reals],{x,y}]

{}

Z elementarnej geometrii wiemy że

u.v==cos(θ) (Norm[u]) (Norm[v])

gdzie θjest  (ostrym) kątem pomiędzy wektorami u i v.  Dla dowolnego iloczynu skalarnego na (ℝ^n)można udowodnić że

(Abs[u.v])≤\[LeftDoubleBracketingBar]u\[RightDoubleBracketingBar] \[LeftDoubleBracketingBar]v\[RightDoubleBracketingBar]

(nierówność Cauchy-Schwarza). Mathematica może ją sprawdzić dla małych wartości n.

Reduce[ForAll[{u,v,p,q},Element[{u,v,p,q},Reals],Abs[{u,v}.{p,q}]≤Norm[{p,q}] Norm[{u,v}]]]

Granice, Zbiory otwarte i domknięte i funkcje ciągłe.

Jeśli mamy na przesztrzeni X metrykę ρ, to możemy zdefiniować granicę ciągu. Mówimy że x∈X jest granicą ciągu \[RawEscape]{(Subscript[x, n])} jeśli ciąg ρ((Subscript[x, n]),x)->0. 
Jeśli Α⊂ X i x∈X to x jest punktem skupienia A jeśli istnieje ciag (Subscript[x, n])∈A, (Subscript[x, n])≠x taki że (lim_(n->∞)) (Subscript[x, n])==x.

A jest zbiorem otwartym ⟺ każy punt jest środkiem otwartego koła zawartego w A.  Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorów otwartych. Równoważnie: zbiór A jest domknięty jeśli zawiera wszyskie granice ciągów których elementy są w A (mówi się także że jest ciągowo domknięty). 

Mówimy że dwie metryki (Subscript[ρ, 1]), (Subscript[ρ, 2]) na przestrzeni X są równoważne jeśli istnieją stałe a, b >0  takie że dla wszystkich x,y∈ X

a (Subscript[ρ, 1])(x,y)≤(Subscript[ρ, 2])(x,y)≤b (Subscript[ρ, 1])(x,y)

Niech f:X -> Y będzie funkcją z przestrzeni metrycznej (X,ρ) do przestrzeni metrycznej (Y,δ).  Mówimy że f jest ciągła jeśli spełnia jeden z warunków:

Dla każdego ciągu (Subscript[x, n])->x w X, mamy (lim_(n->∞)) f((Subscript[x, n]))=f(x).

Dla każdego zbioru otwartego B⊂Y , przeciwobraz  (f^((-1)))(B) jest otwarty.

Dla każdego zbioru dokniętego B⊂Y , przeciwobraz  (f^((-1)))(B) jest domknięty.

Zadanie 4

Udowodnij że jeśli dwie metriki (Subscript[ρ, 1]), (Subscript[ρ, 2]) są równoważne to mają takie same granice ciągów.

Zadanie 5

Udowodniej że metryka euklidesowa i metrka miejska (Manhattan)  są równoważne. Czy metryka euklidesowa i kolejowa sią równoważne?

Definicja równoważności dla norm jest podobna. Dwie normy (Subscript[N, 1]) i (Subscript[N, 2]) są rownoważne jeśli istnieją a,b>0 takie że dla wszystkich x∈X zachodzi

a (Subscript[N, 1])(x)≤(Subscript[N, 2])(x)≤b (Subscript[N, 1])(x)

Zadanie 6 (trudniejsze)

Udowodnij że dowolne dwie normy na (ℝ^n) są równoważne.

Uwaga. Trzeba użyć twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów.

Rozwiązania niektórych zadań ze skryptu Moszyńskiego.

Manipulate[RegionPlot[If[y p[[1]]==p[[2]]x,EuclideanDistance[{x,y},p],EuclideanDistance[{0,0},p]+EuclideanDistance[{x,y},{0,0}]]<=1,{x,-2,2},{y,-2,2},Epilog->{Point[p],Text[w,{0.05,0.05}],Text[a,p+{0.1,0.1}],Point[{0,0}],Circle[{0,0},1],If[p≠{0,0},{Directive[Opacity[0.5],Red],Line[{p-(p/(Norm[p])),p+(p/(Norm[p]))}]},{}]},AspectRatio->Automatic,PerformanceGoal->"Quality",PlotPoints->100,PlotStyle->{Opacity[0.5],Red}],{{p,{0,0}},Locator}]

Niech A będzie takim  podzbiorem. Niech a∈A. Wtedy kula  B[a,1/2] jest zawarta w A. Z drugiej strony, niech b∈ B=X-A. wtedy kula  B[b,1/2] jest zawarta w  B.

Niech x∈ B(a,r). Wtedy B(x,s)⊂B(a,r), gdzie s≤ r-d(a,x). w części 2 najlpeiej użyć domkniętości ciągłowej.

Bierzemy sumę wszystkich kul zawartych w U ze środkami w punktach U.

a) Każdy zbiór jest sumą zbiorów jednopunktowych.
 b) Można wząć komplement tego lub przecięcie wszystkich kul o środku w jednym punkcie.

Domknięty ⟹ Ciągowo domknięty

Rozważmy ciąg  (Subscript[k, n])-> s. Niech s∈ (ℝ^n)-K. Istnieje otwarta kula  K(a,r) ⊂ (ℝ^n)-K. Sprzeczność.

Manipulate[Graphics[{Disk[{0,0},1],Blue,Circle[{0.8,0.8},1/10],Red, PointSize[0.05],,Point[{{0.8,0.8},{0.8-(1/n),0.8-(1/n)}}]}],{n,2,30,1}]

Ciągowo Domknięty -> Domknięty
Niech s ∈ (ℝ^n)-K .  Załóżmy że nie ma K(s,r)  in (ℝ^n)-K. Wtedy każda  kula wokół s zawiera element K. IOtrzymujemy ciąg (Subscript[k, n])->s. Czyli s∈K, sprzeczność.

Manipulate[Graphics[{Disk[{0,0},1],Blue,Table[Circle[{Sqrt[2]/2,Sqrt[2]/2},1/i],{i,1,10}],Red, PointSize[0.02],,Point[{{Sqrt[2]/2,Sqrt[2]/2},{Sqrt[2]/2-(1/(n+1)),Sqrt[2]/2-(1/(n+1))}}]}],{n,2,30,1}]

Najpierw ograniczoność. Jeśli  K jest nie ogranicozny -można skonstruować niezbieżny ciąg.

Manipulate[Show[Plot[x,{x,0,n},Filling->Top],Graphics[{Red,Point[Table[{i /Sqrt[2],i/Sqrt[2]+1/2},{i,1,n-1}]],Green,Table[Circle[{0,0},i],{i,1,n}]}],AspectRatio->Automatic],{{n,5,"n"},5,20,1}]

Teraz załóżmy że mamy ciąg elementów (Subscript[k, n])->a .

Manipulate[Show[Graphics[{Opacity[0.4],Blue, Disk[{0,0},1],Opacity[0.8],Yellow,PointSize[0.02],Point[{1/Sqrt[2],1/Sqrt[2]}],Blue,Point[Table[{Sqrt[1/2]-1/i,Sqrt[1/2]-1/i},{i,2,n}]]}]],{n,5,100}]

Odpwiedź jest tak - dla każdej metryki ρ. Niech (Subscript[x, n])-> x w metryce ρ.  Oznacza to że ρ((Subscript[x, n]),x)->0.

((Abs[g(x)-g((Subscript[x, n]))]))=(Abs[ρ(a,x)-ρ(a,(Subscript[x, n]))])≤ ρ[x,(Subscript[x, n])]->0

Czyli

(lim_(n->∞)) g((Subscript[x, n])) =g(x)

i funkcja g jest ciągła.

Manipulate[Graphics[{Red,Point[p],Point[q],Line[{p,{0,0}}],Line[{q,{0,0}}]},PlotRange->2],{{p,{1/2,1/2}},Locator},{{q,{1/3,0}},Locator}]

Manipulate[Graphics[{Red,Point[p],Point[q]},PlotRange->2],{{p,{1/2,1/2}},Locator},{{q,{1/3,0}},Locator}]

a)

b)

Manipulate[Graphics[{Red,Table[Line[{{i,-m},{i,m}}],{i,-d,d}]},PlotRange->{{-d,d},{-m,m}},Axes->True],{d,3,20,1},{m,1,20,1}]

c)

Manipulate[Show[Graphics3D[{Point[{1,0,0}],Red,Point[Table[{1-1/i,0,0},{i,2,n}]]}],RegionPlot3D[x^2+y^2+z^2<1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.2],Blue}]]],{n,3,100}]

Na poniedziałek.

f(x_,y_):=((x y)/((x^2)+(y^2)))

f[x,x]

f[0,x]

Show[Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},AxesLabel->{"x","y","z"},Mesh->False,ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[0.3],Red}]],ParametricPlot3D[{x,0,f[x,0]},{x,-1,1},{y,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[1],Green}]],ParametricPlot3D[{x,x,f[x,x]},{x,-1,1},{y,-1,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},{Opacity[1],Yellow}]],Ticks->False]

(a) (lim_(y->0)) (lim_(x->0)) f(x,y)==0

zwykła granica nie istnieje.

(b) zwykła granica = 0, iterowana granica nie istnieje

Log[((Subscript[x, 2])^2)+2,((Subscript[x, 1])^2)+2]

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}->((log((((Subscript[proj, 1])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])))^2)+2))/(log((((Subscript[proj, 2])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])))^2)+2)))

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}->(((((((((Subscript[proj, 1])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])))^2)+1))^((((Subscript[proj, 2])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])))^2)+1))))^((Subscript[proj, 1])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))))

a)

Plot3D[(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2))),{x,-2.4,2.4},{y,-2.4,2.4},PlotRange->All,Exclusions->{{0,0}},Mesh->None,AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->None]

(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2)))/.{x->y}

1

(((x^2)(y^2))/((x^(2 ))(y^2)+(((x-y))^2)))/.{x->0}

0

b)

((x z+y z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))

((x z+y z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))/.x->-y

((x z+y z)/((x^2)+(y^2)+(z^2)))/.{x->z,y->z}

x=-y   granica 0. x=y=z  granica (2/3)

c)

(Abs[(((x^2) y)/((y^2) (x^2)+(x^2)+(y^2)))])≤(Abs[(((x^2) y)/((x^2)+(y^2)))])≤(Abs[y])(Abs[((x^2)/((x^2)+(y^2)))])≤(Abs[y])≤\[LeftDoubleBracketingBar](x,y)\[RightDoubleBracketingBar]->0

kiedy ‖(x,y)‖->0 gdzie ‖(x,y)‖= (Sqrt[(x^2)+(y^2)]).

Plot3D[(((x^2)y)/((x^(2 ))(y^2)+(x^2)+(y^2))),{x,-0.5,0.5},{y,-0.5,0.5},PlotRange->All]

d)

Plot3D[(((x^2)y)/((x^4)+(y^2))),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotRange->All,Exclusions->{x==0,y==0},PlotPoints->100,Mesh->None]

(((x^2) y)/((x^4)+(y^2)))/. x->(Sqrt[y])

gr1=Plot3D[(((x^2)y)/((x^4)+(y^2))),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotRange->All,Exclusions->{x==0,y==0},PlotPoints->50,Mesh->None,ColorFunction->Function[{x,y,z},Directive[Opacity[0.2,Yellow]]]];

gr2=ParametricPlot3D[{x,x^2,1/2},{x,-3,3},PlotStyle->Red];

gr3=ParametricPlot3D[{Sqrt[-y],y,-1/2},{y,-9,0},PlotStyle->Red];

gr4=ParametricPlot3D[{-Sqrt[-y],y,-1/2},{y,-9,0},PlotStyle->Red];

gr5=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-9,9},PlotStyle->Red];
gr6=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-9,9},PlotStyle->Red];

Show[gr1,gr2,gr3,gr4,gr5,gr6,PlotRange->All,AxesLabel->{"x","y","z"}]

FindInstance[{Sin[Sin[Cos[x y]]]==Sin[Sin[x+y]]*y,x≥-1,y≤1},{x,y}]//FullSimplify

{Sin[Sin[Cos[x y]]]==Sin[Sin[x+y]]*y,x≥-1,y≤1}/.{x->0,y->1}

FullSimplify[{Sin[Sin[Cos[x y]]]==Sin[Sin[x+y]]*y,x≥-1,y≤1}/.%]

(a).

RegionPlot[x>y,{x,-3,3},{y,-3,3}]

Otwarty, nie ograniczony.

(b) Domknięty, nie ograniczony ponieważ (Subscript[x, 2]) może być dowolną liczbą dodatnią (Subscript[x, 1])==(Subscript[x, 2])

RegionPlot[2x+3≥ Exp[x-y],{x,-5,100},{y,-5,100}]

Domknięty, nie ograniczony ponieważ  można wziąć dowolny (Subscript[x, 2])>0 i  (Subscript[x, 1])==(Subscript[x, 2])

(c)

Reduce[Exp[x+(y^2)]==Log[(1/(1+(x^2)+(y^2)))],{x,y},Reals]

Pusty. Lewa strona dodatnia, prawa ujemna.

(d) closed, unbounded

Sin[Sin[Cos[x  y]]]-Sin[Sin[x+y]]*y==0&&x≥-1&&y≤1/.{x->0,y->1}

(d) Na pewno domknnięty.  Jeśli nie pusty to nie ogrnaiczony bo (Subscript[x, 3]) może być dowolne. Trzeba pokazać że nie jest pusty.

(e)

Reduce[,Reals]//FullSimplify

Ta nierówność jest rownoważna poniższej.

Show[Graphics[{Red,PointSize[0.01],PointSize[0.03],Point[{{0,1}}]}],RegionPlot[(1/((((x-1))^2)+(y^2)))<(1/((((y-1))^2)+(x^2))),{x,-2,2},{y,-2,2},ColorFunction->Function[{x,y},Directive[Opacity[0.1],Blue]]],PlotRange->All,Axes->True]

Nieograbiczony, otwarty.

Plot[1/x,{x,-1,1}]

pierwsza metoda)

Zakładamy że

{(Subscript[x, n]),(1/(Subscript[x, n]))}->{x,y}

jeśli (Subscript[x, n])-> x to

(1/(Subscript[x, n]))->(1/x)

ale

(1/(Subscript[x, n]))-> y

czyli

(1/x)== y

druga metoda)

f: (ℝ^2)-> ℝ

f[x_,y_]:= x y

przeciwobraz {1}

{1} domknięty a f ciągła więc przeciwobraz także domknięty.

ContourPlot[x y==1,{x,-10,10},{y,-10,10},Contours->{1}]

Maximize[{x^2+y^2,(1/((((x-1))^2)+(y^2)))<(1/((((y-1))^2)+(x^2)))&&x<y},{x,y}]