Wstęp

1.

∫((x (x+1) (((((x^2) (E^(2 (x^2)))-(log^2)(x+1)))^2)+2 (E^(3 (x^2))) x (x-(2 (x^3)+2 (x^2)+x+1) log(x+1))))/((((x+1) (log^2)(x+1)-((x^3)+(x^2)) (E^(2 (x^2)))))^2))\[DifferentialD]x

Integrate[(1/(1+(E^x))),x]

Integrate[(x/(1+(E^x))),x]

Integrate[x^x,x]

2.

DSolve[((∂y(x))/(∂x))==(1/((E^x)+1)),y(x),x]

Różniczkowanie i całkowanie w Algebrze

Historia

1.19 wiek  Joseph Liouville, Charles Hermite (funkcje wymierne).
2. Hardy (1928)
3. Ritt (1940s) Algebra różniczkowa (differential algebra)
4. Risch (1968)
5. Manuel Eric Bronstein  (1963-2005) głównie praca doktorska Integration of Elementary Functions 1987 Berkeley

Algebraizacja problemu

Funkcje Elementarne

funkcje wymierne, eksponencjalne, logarytmiczne, algebraiczne (rozwiązania równań algebraicznych), trygonometryczne, odwrotne trygonometryczne, hiperboliczne, odwrotne hiperboliczne. Złożenie funkcji także

Problem

Dana funkcja f znaleźć g taką że

g'==f

Po wprowadzeniu liczb zespolonych lista się zmniejsza:

TrigToExp[Cos[x]]

TrigToExp[ArcCos[x]]

TrigToExp[Cosh[x]]

Rodzaje całek w Mathematice

Integrate[(1/x),x]

Integrate[(1/x),{x,1,2}]

N[Integrate[x^x,{x,1,2}]]

NIntegrate[x^x,{x,1,2}]

Integrate[(1/x),{x,a,b}]

Integrate[(1/x),{x,a,b},GenerateConditions->False]

Integrate[(1/x),{x,a,b},Assumptions->{b>a>0}]

Różne przykłady

Nie zaimplementowana całka.

D[x Sin[x^ArcSin[x]],x]

Integrate[%,x]

Nieciągła całka.

f(x_):=(((x^2)+2 x+4)/((x^4)-7 (x^2)+2 x+17))

Plot[f[x],{x,1,2}]

Solve[(x^4)-7 (x^2)+2 x+17==0,x,Reals]

g[x_]=Integrate[f[x],x]

Plot[g[x],{x,1,3},Exclusions->2]

h[x_]:=ArcTan[(4x+Sqrt[2(15+Sqrt[241])])/(2-Sqrt[2(-15+Sqrt[241])])]+ArcTan[(4x-Sqrt[2(15+Sqrt[241])])/(2+Sqrt[2(-15+Sqrt[241])])]

Plot[h[x],{x,1,3}]

Integrate[f[x],{x,1,3}]

N[%]

NIntegrate[f[x],{x,1,3}]//N

Integrate[f[x],x]/.x->3 - Integrate[f[x],x]/.x->1//N

Całka z funkcjami specjalnymi

∫(x/(Sqrt[1-(x^3)]))\[DifferentialD]x

Integrate[(x/(Sqrt[1-x^3])),{x,0,1/2}]

N[%]

Zadanie 1.

(a) części

∫(x^3) log(x)\[DifferentialD]x

(b) podst.

Integrate[Tan[x],x]

(c) podst.

(d)podst.

(e) podst.

(f) podst.

(g) podst.

(h)

(1/(1+(x^2)+(x^4)))

Factor[1+(x^2)+(x^4)]

(i) podstawienie (e^t)=u

(j)

Plot[Tan[(θ/2)],{θ,-Pi,Pi}]

Integrate[(1/(1+Cos[x])),x]

(k)

części dwar razy

(l)

Chcemy obliczyć całkę

(∫_0^(2 π))(1/(5-3 Cos[θ]))\[DifferentialD]θ

∫(1/(5-3 Cos[θ]))\[DifferentialD]θ

(1/2) ArcTan[2 Tan[(θ/2)]]/.θ->0

Plot[(1/(5-3 Cos[θ])),{θ,0,2Pi},Filling->Bottom]

Plot[(1/2) ArcTan[2 Tan[(θ/2)]],{θ,0,2Pi},Exclusions->Pi]

Najpierw proszę zauważyć rzecz bardzo ważną. Podstawienie

t=tan((θ/2))

którego użyliśmy w (j) nie działa bo funkcja tan((θ/2)) nie jest zdefiniowana na całym przedziale [0,2π]. Rzeczywiście, wygląda ona tak:

Plot[Tan[(θ/2)],{θ,0,2Pi}]

Rzeczywiście:

Integrate[(1/(5-3 cos(θ))),θ]/.θ->2Pi - Integrate[(1/(5-3 cos(θ))),θ]/.θ->0

co daje niepoprawną odpowiedź!

Jedyny sposób na użycie tego podstawienia jest rozbić przedział [0,2π] na sumę [0,π] i [π,2π] i zrobić zadanie tak jak pokazywałem na wykładzie, ale wtedy trzeba obliczyć  całkę niewłaściwą   (∫_0^∞)(1/(4 (t^2)+1))dt które wynosi (π/4). Ale mieliśmy polecone zrobić zadanie bez używania całek niewłaściwych.

Najpierw zwróćmy uwagę na fakt że

(∫_0^(2 π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ =  (∫_0^( π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ +(∫_π^( 2π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ == 2 (∫_0^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

Pokażmy najpierw że

(∫_π^( 2π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ= (∫_0^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

używamy podstawienia

ϕ=θ-π

\[DifferentialD]ϕ=\[DifferentialD]θ

Cos[θ]==Cos[ϕ+π]

Teraz pokażemy że

(∫_0^( π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ== (∫_0^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

Tym razem podstawiamy

ϕ=π-θ

(∫_0^( π))(1/(5-3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ = -(∫_π^0)(1/(5+3 cos(ϕ)))\[DifferentialD]ϕ =(∫_0^π)(1/(5+3 cos(ϕ)))\[DifferentialD]ϕ

Czyli chcemy obliczyć

2(∫_0^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

Nadel nie możemy użyć podstawienia t=tan((θ/2)) bo funkcje tan((θ/2)) jest nieskończona w π (otrzymamy całkę niewłąściwą co jest OK).  Więc rozbijamy całkę na dalsze dwie części.

(∫_0^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ == (∫_0^( (π/2)))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ  +  (∫_(π/2)^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

Pierwszą część możemy obliczyć używając podstawienia t=tan((θ/2)) bo ta funkcja jest zdefiniowana na [0,(π/2)]. Wyjdzie nam (1/4) (π-2 ArcTan[2])  (omijam szczegóły bo są takie jak na ćwiczeniach). Więc musimy jeszcze obliczyć

(∫_(π/2)^( π))(1/(5+3 cos(θ)))\[DifferentialD]θ

W tym celu znowu robimy podstawienie

ϕ= θ-(π/2)

Ponieważ  cos(ϕ+(π/2))==sin(ϕ)  całka zamienia się na

(∫_0^( (π/2)))(1/(5-3 sin(ϕ)))\[DifferentialD]ϕ

Tą całkę znowu możemy obliczyć przez podstawienie

t=tan((ϕ/2))

Wyjdzie nam  ((ArcTan[2])/2).  Dodając do poprzedniego wyniku dostajemy (π/4). Czyli ostateczny wynik jest (π/2).

(m)

∫(1/((x^(3/2))+(Sqrt[x])))\[DifferentialD]x

∫(1/((x^(3/2))+(x^(1/2))))\[DifferentialD]x= 2∫(1/(((((x^(1/2))))^2)+1))(((1 )/2)/(x^(1/2)))\[DifferentialD]x

(Sqrt[x])==u

(n)

części

(o)

Integrate[Abs[x],x]

Integrate[Sqrt[x^2],x]

Integrate[Piecewise[{{x,x≥0},{-x,x<0}}],x]

(p)

podst.

(q)

części

(r)

ułamki częściowe

(s)

formuła pdowójnych kątów

TrigReduce[((Sin[x])^2)]

ogólna funkcja wymierna

(t)

to samo lub (sin^2)(x)+(cos^2)(x)=1

(u)

0  (symetria)

(v)

podstawienie t + 1 = u

(w)

podstawienie  (1/x)= u

(x)

podstawienie

y=(s^2)

n>1

(∫_0^x)(1/((((t^2)+1))^n))\[DifferentialD]t=(∫_0^x)(((t^2)+1)/((((t^2)+1))^n))\[DifferentialD]t-(∫_0^x)((t^2)/((((t^2)+1))^n))\[DifferentialD]t==(∫_0^x)(1/((((t^2)+1))^(n-1)))\[DifferentialD]t-(1/2)(∫_0^x)((t (2 t))/((((t^2)+1))^n))\[DifferentialD]t == (∫_0^x)(1/((((t^2)+1))^(n-1)))\[DifferentialD]t - (1/2)(Subscript[(t * (1/((1-n) ((((t^2)+1))^(n-1))))), 0]^x)+(1/2)(∫_0^x)(1/((1-n)((((t^2)+1))^(n-1))))\[DifferentialD]t  == ((2 n-3)/(2 (n-1)))(Subscript[I, n-1])[x]-(x/(2(1-n) ((((x^2)+1))^(n-1))))

Integrate[1/(t^2 + 1)^n

Integrate[1/(t^2 + 1)^n, {t, 0, x},Assumptions->{x>0,Element[n,Integers]&&n>0}]

Integrate[1/(t^2 + 1)^20, t]

(a)

Clear[f]

f[x_]:=Sqrt[1-(x^2)]

Plot[f[x],{x,-1,1}]

Integrate[Sqrt[Derivative[1][f][x]^2 + 1], {x,-1,1}]

ArcLength[{x,f[x]},{x,-1,1}]

RevolutionPlot3D[{x,f[x]},{x,0,1}]

Clear[f]

f[x_]:=Sqrt[r^2-x^2]

Pi Integrate[((f[x])^2),{x,0,r}]

v

Algorytm Rischa

1. Problem

Funkcje elementarne

{Sin[x],Cos[x],Exp[x],Log[x], ArcSin[x], Cosh[x]}

Clear[f]

Solve[(3 (x^2)+x) ((f(x))^2)+((f(x))^3)-x f(x)+7 (x^2)-3 x+1==0,f[x]]

TrigToExp[log(x+1)+(tan^(-1))((sin^2)(x))]

Ciała różniczkowe

Definicja

Ciało różniczkowe to ciało F wraz z odwzorowaniem (Subscript[𝒟, F]):F-> F takim że dla wszystkich f,g∈F zachodzi

(Subscript[𝒟, F])(f+g)==(Subscript[𝒟, F])(f)+(Subscript[𝒟, F])(g)

(Subscript[𝒟, F])(f g)==g (Subscript[𝒟, F])(f)+f (Subscript[𝒟, F])(g)

Odwzorowania (Subscript[𝒟, F]) nazywa się różniczkowaniem.

Definicja

Ciało różniczkowe (E,(Subscript[𝒟, E])) nazywa się zozszerzeniem ciała różniczkowego (F,(Subscript[𝒟, F])) jeśli F⊂E i dla każdego f∈F

(Subscript[𝒟, E])(f)=(Subscript[𝒟, F])(f)

Definicja

(E,(Subscript[𝒟, E])) i (F,(Subscript[𝒟, F]))  dwa ciała różniczkowe, ϕ:E->F nazywa się homomorfizmem różnicowym jeśli jest homomorpfizmem i

ϕ((Subscript[𝒟, E])(x))==(Subscript[𝒟, F])(ϕ(x))

Definicja

Ciałem stałych ciała różniczkowego (E,(Subscript[𝒟, E])) nazywa się zbiór elementów K⊂E

K={k∈E,(Subscript[𝒟, E])(k)==0}

Przykład

ℚ(x) = {((f(x))/(g(x))),f,g wielomiany} z różniczką

𝒟(x)==1

jest “zwyczajnym” różniczowaniem.

Problem

Dla danego f∈ℚ(x)  znajdź g∈ℚ(x) takie że 𝒟(g)=f.

Zadanie

Wykaż że nie isntieje g∈ℚ(x)takie że 𝒟(g)==(1/x).

Definicja

Niech F będzie ciałem różniczkowym i G różniczkowym rozszerzeniem F.

Jeśli dla elementu v∈G istnieje u∈F takie że

𝒟(v)=((𝒟(u))/u)

to mówimy że v jest logarytmiczne nad F i piszemy v==log(u).

Jeśli dla elementu v∈G istnieje u∈F takie że

((𝒟(v))/v)= 𝒟(u)

to mówimy że v jest wykładnicze nad F i piszemy v=exp(u).

Jeśli dla elementu v∈G istnieje wielomian g∈F[z] taki że

g(v)==0

to mówimy że v jest algebraiczne nad F.

Definicja

Jeśli u∈G nie jest algebraiczne nad F to mówimy że jest przestępne nad F.

Definicja

Element θ∈G nazywa się monomialny nad ciałem F jeśli F(θ) i F mają takie same ciało stałych i θ jest przyestępny oraz albo logarytmiczny albo wykładniczy nad F.

Definicja

Ciałem funkcji elementarnych nad F jest skończenie generowane rozszerzenie które powstaje z rozszerzenia bazowego przez kojene rozszerzenia logarytmieczne, wykładnicze i algebraiczne.

Twierdzenie Liouville’a

Niech F będzie ciałem różniczkowym z ciałem stałych K. Niech f ∈F i niech g∈ G, gdzie G jest elementarnym rozszerzeniem F z takim samym polem stałych K, będzie takie że 𝒟(g)= f . Wtedy istnieją (Subscript[v, 0]),(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[v, m])∈F oraz stałe (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]),…,(Subscript[c, m]) ∈K takie że

f=𝒟((Subscript[v, 0]))+(∑_(i=1)^m)(Subscript[c, i])(( 𝒟((Subscript[v, i])))/(Subscript[v, i]))

czyli

∫f=(Subscript[v, 0])+ (∑_(i=1)^m)(Subscript[c, i]) log((Subscript[v, i]))