(a) Zbieżność punktowa do funkcji nieciągłej. Nie jednostajna ani nie niemal jednostajna.

Manipulate[Plot[Evaluate[{x^n,Piecewise[{{0,x<1}},1]}],{x,0,1},PlotRange->{0,1}],{n,1,50,1,Appearance->"Labeled"}]

(b) Zbieżność jdenostajna do 0

Manipulate[Plot[(x^n)-(x^(n+1)),{x,0,1},PlotRange->{0,.25}],{n,1,100,1,Appearance->"Labeled"}]

FullSimplify[(x^n)-(x^(n+1))/.Solve[D[(x^n)-(x^(n+1)),x]==0,x][[1]]]

Limit[(n^n) (((n+1))^(-n-1)),n->∞]

(c) Nie jednostajna do 0. Niemal jednostajna na [0,1).

Clear[x]

D[(x^n)-(x^(2n)),x]

n (x^(n-1))(1-2 (x^n))

Solve[D[(x^n)-(x^(2n)),x]==0,x][[1,1]]

FullSimplify[(x^n)-(x^(2n))/.Solve[D[(x^n)-(x^(2n)),x]==0,x][[1]],Assumptions->{n>0}]

Manipulate[Plot[(x^n)-(x^(2n)),{x,0,1},PlotRange->{0,0.25}],{n,1,100,1,Appearance->"Labeled"}]

(d) Jednostajna do 0

Manipulate[Plot[ (1/(n+x)),{x,0,d},PlotRange->{{0,d},{0,1}}],{n,1,100,1,Appearance->"Labeled"},{{d,1,"granica"},1,20,Appearance->"Labeled"}]

(e) Zbieżność punktowa. Nie jednostajna. Niemal jednostajna.

Together[n (x/(1+n+x))-x]

Simplify[Maximize[{((x (1+x))/(1+n+x)),0≤x≤∞},x],n>1]

Manipulate[Plot[ {n (x/(1+n+x)),x},{x,0,d},PlotRange->{{0,d},{0,d}},Prolog->{Red,Line[{p,q}],Line[{{First[p],n ((First[p])/(1+n+First[p]))},{First[p],First[p]}}],Line[{{First[q],n ((First[q])/(1+n+First[q]))},{First[q],First[q]}}]}],{n,1,100,1,Appearance->"Labeled"},{{d,1,"granica"},1,20,Appearance->"Labeled"},{{p,{0,0}},{0,0},{d,0},Locator},{{q,{1,0}},{0,0},{d,0},Locator}]

(h). Zbieżność jednostajna

Manipulate[Plot[{x ArcTan[n x],Pi/2 Abs[x]},{x,-10,10}],{n,1,20,1,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

g[x_]:=((π x)/2)-x ArcTan[n x]

g[0]

Limit[g[x],x->∞,Assumptions->n>0]

Limit[D[Pi/2 x-x ArcTan[n x],{x,1}],x->∞,Assumptions->{n>0}]

D[g[x],{x,2}]//Simplify

ujemna

malejąca

D[Pi/2 x-x ArcTan[n x],{x,1}]/.x->0

(lim_(x->∞)) ((∂(((π x)/2)-x (tan^(-1))(n x)))/(∂(x^1)))==0

and malejąca więc musi być ≥ 0. A więc g jest rosnąca.

(a).

(∑_(n=1)^∞)(x/(n^2))== x(∑_(n=1)^∞)(1/(n^2))

x(∑_(n=1)^∞)(1/(n^2))

Sup(((Abs[x])/(n^2)))= ∞

a więc nie jednostajna.

Ograniczmy do [a,b]

(Subscript[Sup, [a,b]])(((Abs[x])/(n^2)))=((max((Abs[a]),(Abs[b])))/(n^2))-> 0

(∑_(n=1)^∞)((max((Abs[a]),(Abs[b])))/(n^2))<∞

(b).

Ciąg zbieżny dla każdego x (kryterium asymptotyczne)

Manipulate[Plot[((x^2)/((n^4)+(x^4))),{x,-10,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

D[((x^2)/((n^4)+(x^4))),{x,1}]//Simplify

D[((x^2)/((n^4)+(x^4))),{x,2}]/.x->n

((x^2)/((n^4)+(x^4)))≤((n^2)/(2(n^4)))==(1/(2(n^2)))

2(n^2)(x^2)≤ (n^4)+(x^4)

szereg zbieżny jednostajnie

(c).

(∑_(n=1)^∞)((sin((n^2) x))/((n^2)+(x^2)))

(Abs[((sin((n^2) x))/((n^2)+(x^2)))])≤ (1/(n^2))

Weierstrass

d

Manipulate[Plot[(x^2) Exp[-n x],{x,0,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

D[(x^2) Exp[-n x],x]

sols2=Solve[D[(x^2) Exp[-n x],x]==0,x]

D[(x^2) Exp[-n x],{x,2}]/.%

(x^2) Exp[-n x]/.sols2[[2]]

jednostajnie zbieżny

Druga metoda

(∑_(n=0)^∞)(x^2) (E^(-n x))-(∑_(n=0)^m)(x^2) (E^(-n x))==(∑_(n=m+1)^∞)(x^2) (E^(-n x))

(∑_(n=m+1)^∞)(x^2) (E^(-n x))

Manipulate[Plot[(((x^2) (E^(-n x)))/((E^x)-1)),{x,0,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

e

sols1=Solve[D[x Exp[-n x],x]==0,x]

D[x Exp[-n x],{x,2}]/.sols1

x Exp[-n x]/.sols1[[1]]

nie działa!

However

s-(Subscript[s, n])==(∑_(k=n+1)^∞)x (E^(-k x))

Manipulate[Plot[((x (E^(-n x)))/((E^x)-1)),{x,0,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

Limit[((x (E^(-n x)))/((E^x)-1)),x->0]

Sup na (0,∞) is  >= 1, więc nie zachodzi bieżność jednostajna. Ale na przedziałach zachodzi.

((c (E^(-n c)))/((E^c)-1)), which -> 0 as n->∞.

f)

(e^(-n x))  ma supremum 1 na (0,∞).  Over [a,b] supremum jest

Manipulate[Plot[ (E^(-n x)),{x,0,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

(∑_(n=1)^∞)(E^(-n a))

Niemal jednostajna.

(g)

(∑_(n=1)^∞)((sin((x/n)))/n)

Oczywiście że zbieżny dla każdego x (kryterium asymptityczne z (x/(n^2))).

Dla ustalonego n obliczamy supremum  (Norm[((sin((x/n)))/n)])  na [-100,100] . Wystarczy zrobić dla dużych n.  
Dla dużych n, sin((x/n))<(x/n), więc  (Norm[((sin((x/n)))/n)]) < (100/(n^2)).  Zbieżność jednostajna

Manipulate[Plot[(((Abs[sin((x/n))])/n)),{x,-10,10},PlotRange->{0,1}],{n,1,10,1}]

(h)

Oczywiście dla każdego x zbieżny punktowo z kryterium Leibniza.  Badamy zbieżność jednostajną. Wsystkie powyżze metody nie działają. Ale:

Pierwsza metoda

Najpierw sprawdzamy żę

(Norm[(1/(n+x))])= (1/n) ->0

Możemy “grupować”

(1/(n+x+1))-(1/(n+x))==-(1/((n+x) (n+x+1)))

Teraz używamy kryterium Weierstrassa

(1/((n+x) (n+x+1)))≤ (1/(n^2))

Druga metoda

Można użyć kryterimu Leibniza dla szeregów funkcyjnych.  Takie same jak dla ciągów liczbowych ale trzeba sprawdzić monotoniczność funkcji i fakt że

(Norm[(1/(n+x))])-> 0

Standard example: (x^n) on [0,1] for continuity.

(Subscript[f, n_])[x_]:=((Sin[n x])/n)

uniformly convergent to 0 but (Subscript[f, n])' is divergent.

Manipulate[Plot[x^n,{x,0,1},PlotRange->All],{n,1,50,1}]

a)

f[x_,n_]:=((Sin[n x])/(n^3))

zbieżna punktowo?

((Abs[sin(n x)])/(n^3))≤(1/(n^3))

D[((Sin[n x])/(n^3)),x]

Zbieżność jednostajna przez Weierstrassa

b)

Manipulate[Plot[ArcTan[ArcTan[(x/(n^2))]],{x,-a,a},PlotRange->{{-a,a},{-Pi/2,Pi/2}}],{{n,1,"n"},1,10},{{a,1,"a"},0.1,100}]

h[x_,n_]:=ArcTan[(x/(n^2))]

(Subscript[Sup, ℝ])((Abs[(tan^(-1))((x/(n^2)))]))=(π/2)

Ale zbieżność niemal jednostajna

(Subscript[Sup, [a,b]])((Abs[(tan^(-1))((x/(n^2)))]))==

D[ArcTan[(x/(n^2))],x]//Simplify

(Subscript[Sup, ℝ])[((n^2)/((n^4)+(x^2)))]=(1/(n^2))

więc różniczkowalna

c)

g[x_,n_]:=Cos[(x/n)]-1

Sup((Abs[cos((x/n))-1]))=2

nie dąży do zera więc nie jendostajnie zbieżna. Ale niemal jednostajnie.

D[Cos[(x/n)]-1,x]

Mamy dla wszystkich x:

(Abs[sin(x)])≤(Abs[x])

Reduce[Sin[x]≤x&&x≥0,x,Reals]

Reduce[Sin[x]>=x&&x<=0,x,Reals]

(Abs[((sin((x/n)))/n)])≤((Abs[x])/(n^2))

Na przedziale [a,b] dla wystarczająco dużych n (Abs[((sin((x/n)))/n)])≤((max((Abs[a]),(Abs[b])))/(n^2))

ζ(x)=(∑_(n=1)^∞)(1/(n^x))

?ZetaZero

Solve[{Zeta[x]==0,Abs[x]<200},x]

D[(1/(n^x)),x]

(∑_(n=1)^∞)((-1)/(n^x))log(n)

Trzeba udowodnić niemal jednostajną zbierzność.

przedział [α,β]. α>1. Take (Subscript[α, 1]), 1<(Subscript[α, 1])<α.

Manipulate[Graphics[{Green,PointSize[0.02],Thickness[0.006],Point[{1,0}],Line[{{1.2,0},{2,0}}],Blue,,Line[{{0,0},a}],Point[a],Black,,Point[{1.2,0}],Point[{2,0}],Red,Point[{1.4,0}],Line[{a,{1.2,0}}],,Black,Text["x",{1.4,0.1}],Text["α",{1.2,0.1}],Text["β",{2,0.1}],Text["(Subscript[α, 1])",a+{0,0.1}]},Axes->True,PlotRange->{{0,2.5},{0,0.5}},Ticks->{Automatic,None},ImageSize->Large],{{a,{1.1,0}},{1,0},{1.2,0},Locator}]

x>=(Subscript[α, 1])+(α-(Subscript[α, 1]))

δ=α-(Subscript[α, 1])

α>1

(1/(n^x))log(n)< (1/(n^(Subscript[α, 1])))((log(n))/(n^δ))≤ (1/(n^(Subscript[α, 1])))

dla wystarczająco dużych n

Limit[((log(n))/(n^δ)),n->∞,Assumptions->β>0]

D[(1/(n^x)),{x,2}]

Limit[(((log(n))^2)/(n^β)),n->∞,Assumptions->β>0]

D[(1/(n^x)),{x,5}]

a)

(∑_(n=0)^∞)((x^n)/(2^n))

Jednostajnie zbieżny dla (Abs[x])<2.  Różniczkując wyraz po wyrazie otrzymujemy:

D[((-2)/(-2+x)),x]/.x->1

Sum[(n/(2^n)),{n,0,∞}]

(b)

Pierwsza metoda

Sum[((x^n)/n),{n,1,∞}]

-Log[1-x]

-Log[(2/3)]

Sum[(1/((3^n)n)),{n,1,∞}]

Consider

Sum[((x^n)/n),{n,1,∞}]

Niemal jednostajnie zbieżny na (Abs[x])<1.

Sum[((n^2)/(7^n)),{n,1,∞}]

Sum[((x^n)/(7^n)),{n,1,∞}]

Sum[n(((n-1))/(7^n)),{n,1,∞}]+Sum[(n/(7^n)),{n,1,∞}]

D[Sum[((x^n)/(7^n)),{n,1,∞}],x]/.x->1

Sum[((n )/(7^n)),{n,1,∞}]

D[Sum[((x^n)/(7^n)),{n,1,∞}],{x,2}]/.x->1

Sum[n(((n-1))/(7^n)),{n,1,∞}]

a)

f[x_]:=(1/(2+3(x^2)))

D[f[x],{x,1001}]/.x->0

f[x]+((O[x])^5)

(1/(3 (x^2)+2))=(1/(2 (((3 (x^2))/2)+1)))==(1/2) (∑_(x=0)^∞)(((((-1))^n) (3^n) (x^(2 n)))/(2^n))

(1/2)Sum[(((-1))^n) ((3^n)/(2^n))(x^(2n)),{n,0,∞}]

1001! SeriesCoefficient[(1/(2+3(x^2))),{x,0,1001}]

b)

D[ArcTan[x],{x,999}]/.x->0

ArcTan[x]+O[x]^10

SeriesCoefficient[ArcTan[x],{x,0,999}]

-999!/999

b)

Clear[f]

f[x_]:=(x/((x-2)(x-3)))

Apart[f[x]]

D[f[x],{x,100}]/.x->0

100! SeriesCoefficient[f[x],{x,0,100}]

SeriesCoefficient[(3/(x-3)),{x,0,n}]

SeriesCoefficient[(2/(x-2)),{x,0,n}]

100! ((1/(2^100))-(1/(3^100)))

Nie różniczkowalna granica jednostajna funkcji różniczkowalnych

Manipulate[Plot[{(Sqrt[(1/n)+(x^2)]),Abs[x]},{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{0,2}},AxesOrigin->{0,0},AspectRatio->Automatic],{n,1,1000,1,Appearance->"Labeled"}]

D[(Sqrt[(1/n)+(x^2)]),x]