f[x_]:=Log[1+x]-x+(x^2)/2

Minimize[{f[x],x>=0},x]

Maximize[{f[x],-1<x<0},x]

g[x_]:=(((1+x))^(1/3))-1-(1/3)x+(1/9)(x^2)

Minimize[{g[x],x>0},x]

Manipulate[Plot[x-((x^2)/2)+a (x^3)-Log[1+x],{x,-1,2},PlotRange->{{-0.5,0.5}}],{{a,1/3,"a"},0,1}]

g[x_]:=x-((x^2)/2)+a (x^3)-Log[1+x]

D[g[x],x]

Reduce[ForAll[x,x>=0,D[g[x],{x,1}]>=0]]

Reduce[ForAll[x,-1<x<=0,D[g[x],{x,1}]<=0]]

a==(1/3)

D[g[x],{x,1}]//Simplify

6.

b)

Clear[f]

Plot[{6 Log[(x^2)+1],(E^x)},{x,-1,5}]

Clear[f]

f[x_]:=6 Log[(x^2)+1]-(E^x)

Reduce[f[x] == 0, x, Reals] // N

x == -0.352544 ∨ x == 0.593421 ∨ x == 2.46195

Plot[f[x], {x, -2, 5}]

Obliczamy kolejne pochodne.

f'[x]

((12 x)/((x^2)+1))-(E^x)

Z tego widzimy że dla x <= 0 pochodna jest ujemna, więc będzie najwyżej jeden ujemny pierwiastek. Ponieważ

Limit[f[x],x->-∞]

∞

f[0]

-1

jest dokładnie 1 pierwiastek ujemny. Teraz obliczmy drugą pochodną.

f''[x] // Simplify

-((12 ((x^2)-1))/((((x^2)+1))^2))-(E^x)

Druga pochodna jest ujemna dla x>=1, czyli pierwsza pochodna jest malejąca. Udowodnimy że jest dokładnie 1 pierwiastek  x≥1. Po pierwsze wiemy że

f[1]

-E+6 Log[2]

co jest ≥ 0. Także

Limit[f[x],x->∞]

-∞

A więc musi być conajmniej jeden pierwiastek.

Ponieważ druga pochodna jest ujemna, pierwsza pochodna jest malejąca.

f'[1]

6-E

jest większe niż 0 a

Limit[f'[x],x->∞]

-∞

Czyli pierwsza pochodna ma tylko jeden pierwiastek. Z tego wynika że może być tylko jeden pierwiastek w przedziale [1,∞).

Na koniec rozważamy przedział [0,1] . Mamy

f[0]

-1

f[1]

-E+6 Log[2]

czyli w przedziale jest conajmniej jeden pierwiastek. Pokażemy że moze być tylko jeden.

Simplify[Derivative[3][f][x]]

((24 x (-3+(x^2))-(E^x) (((1+(x^2)))^3))/(((1+(x^2)))^3))

Widzimy że na tym przedziale 3-}pochodna jest zawsze ujemna. A więc druga pochodna może mieć najwyżej jeden pierwiastek.

f'[0]

-1

f'[1]

6-E

Czyli jest dokładnie jeden pierwiastek pochodnej. Ponieważ funkcja zmienia znak pomiędzy 0 i 1, musi tam mieć dokładnie 1 pierwiastek.

c)

Clear[f]

ff[x_,a_]:=(a^x)-x

Manipulate[Plot[ff[x,a],{x,-r,r},AxesOrigin->{0,0},PlotRange->All],{{a,1,"a"},0,4,Appearance->"Labeled"},{{r,10,"range"},0.01,20,Appearance->"Labeled"},SaveDefinitions->True]

Niech 0<a< 1.

((∂((a^x)-x))/(∂x))

Solve[-1+(a^x) Log[a]==0&&0<a<=1,x,Reals]

Clear[x]

Solve[-1+(a^x) Log[a]==0&&1<a,x,Reals]

FullSimplify[First[(a^x)-x/.Solve[-1+(a^x) Log[a]==0&&a>1,x,Reals]],a>1]

(((∂^2)((a^x)-x))/(∂(x^2)))

Log[a]<0 a więc funkcja malejąca i tylko jeden pierwiastek.

Druga pochodna jest zawsze dodatnia, a więc pochodna jest rosnąca, więc równanie ma dwa pierwiastki kiedy

Reduce[1+Log[Log[a]]<0,a,Reals]

E^(1/E)//N