<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage[english,polish]{babel}
\usepackage{color}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsfonts}
\newtheorem{lemma}{Lemat}
\newtheorem{dfn}{Definicja}
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}
\hoffset=-0.8in
\addtolength{\textwidth}{1.6in}
\voffset=-0.8in
\addtolength{\textheight}{1.6in}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{RP WNE 2017\slash 2018, \,III seria zada"n domowych (trzy zadania)}

\vspace{0.5cm}

{\bf Imi"e i nazwisko ................................................... Numer indeksu ................}

\end{center}



\vspace{0.5cm}

\noindent {\bf \emph{W zadaniach poni"rej, za liczb"e $k$ prosz"e podstawi"c sum"e cyfr w numerze indeksu, za liczb"e $m$ - najwi"eksz"a cyfr"e w numerze indeksu, za"s za liczb"e $n$ - najmniejsz"a cyfr"e w numerze indeksu, powi"ekszon"a o $1$. Prosz"e zapisa"c pe"lne rozwi"azania zada"n (przekszta"lcenia, podstawienia), a w odpowiednich miejscach wpisa"c dodatkowo odpowiedzi ko"ncowe (odpowied"z powinna by"c liczb"a w postaci u"lamka dziesi"etnego zaokr"aglonego do czterech miejsc po przecinku).}}

\vspace{0.5cm}

\textbf{6.} Urna zawiera $n+1$ bia"lych kul oraz $k(n+1)$ czarnych kul. Na jednej bia"lej kuli oraz na pewnej liczbie czarnych kul umieszczono cyfr"e $1$, na pozosta"lych kulach umieszczono cyfr"e $0$. Losujemy kul"e z urny i rozwa"ramy zdarzenia $A=\{\,$wylosowana kula jest bia"la$\,\}$, $B=\{\,$na wylosowanej kuli umieszczono cyfr"e $0\,\}$. Wiadomo, "re zdarzenia $A$ i $B$ s"a niezale"rne. Na ilu czarnych kulach umieszczono cyfr"e $1$?

\bigskip

ODPOWIED"Z: \begin{tabular}{|r|}
  \hline
 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad  \\
\qquad \\
  \hline
\end{tabular}

\smallskip

Rozwi"azanie:


\newpage

\textbf{7.} Ka"rdego dnia pracy, akwizytor odwiedza jedn"a z $n+3$ firm, wybran"a w spos"ob losowy (ka"rda z nich ma t"e sam"a szans"e, wybory w r"o"rnych dniach s"a niezale"rne). Je"sli w ustalonym dniu akwizytor z"lo"ry"l wizyt"e w tej samej firmie co w dniu poprzednim, jego prze"lo"rony udziela mu nagany. Akwizytor traci prac"e w dniu w kt"orym otrzyma $m$-t"a nagan"e. Obliczy"c prawdopodobie"nstwo, "re akwizytor zostanie zwolniony w  $k$-tym dniu swojej pracy.

\bigskip

ODPOWIED"Z: \begin{tabular}{|r|}
  \hline
 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad  \\
\qquad \\
  \hline
\end{tabular}

\smallskip

Rozwi"azanie:

\newpage

\textbf{8.} Informatyk administruje prac"a $2n$ serwer"ow, z kt"orych ka"rdy obs"luguje jednocze"snie $m^2$ program"ow zabezpieczonych has"lem. Ka"rdego dnia informatyk wybiera losowo serwer oraz program przeze"n obs"lugiwany (ka"rdy wyb"or ma t"e sam"a szans"e, wybory w r"o"rnych dniach s"a niezale"rne), a nast"epnie zmienia has"lo dost"epu do tego programu. Korzystaj"ac z twierdzenia Poissona, obliczy"c przybli"rone prawdopodobie"nstwo tego, "re w ci"agu $2kmn$ kolejnych dni, informatyk zmieni has"lo w najkr"otszym programie co najmniej dwa razy.

\smallskip

\noindent \emph{Uwaga: }Zak"ladamy, "re ka"rde dwa programy maj"a r"o"rn"a d"lugo"s"c.

\bigskip

ODPOWIED"Z: \begin{tabular}{|r|}
  \hline
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad  \\
\qquad \\
  \hline
\end{tabular}

\smallskip

Rozwi"azanie:

\end{document}

</pre></body></html>